2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第9章 章末综合提升 11页

[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1】　如图，在平面四边形 ABCD 中，AB＝2，BD＝ 5，AB⊥BC，∠BCD ＝2∠ABD，△ABD 的面积为 2. (1)求 AD 的长； (2)求△CBD 的面积． [思路探究]　(1)由面积公式求出 sin∠ABD，进而得 cos∠ABD 的值，利用余 弦定理可解； (2)由 AB⊥BC 可以求出 sin∠CBD 的大小，再由二倍角公式求出 sin∠BCD， 可判断△CBD 为等腰三角形，利用正弦定理求出 CD 的大小，最后利用面积公式 求解． [解]　(1)由 S △ABD ＝1 2AB·BD·sin∠ABD＝ 1 2 ×2× 5×sin∠ABD＝2，可得 sin∠ABD＝2 5 5， 又∠ABD∈(0，π 2)，所以 cos∠ABD＝ 5 5 . 在△ABD 中，由 AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD， 可得 AD2＝5，所以 AD＝ 5. (2)由 AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝π 2 ， 所以 sin∠CBD＝cos∠ABD＝ 5 5 . 又∠BCD＝2∠ABD，所以 sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝4 5 ，∠BDC＝π－ ∠CBD－∠BCD＝π－(π 2 －∠ABD)－2∠ABD＝π 2 －∠ABD＝∠CBD， 所以△CBD 为等腰三角形，即 CB＝CD. 在△CBD 中，由正弦定理知， BD sin∠BCD ＝ CD sin∠CBD ， 得 CD＝BD·sin∠CBD sin∠BCD ＝ 5 × 5 5 4 5 ＝5 4 ， 所以 S△CBD＝1 2 ×5 4 ×5 4 ×4 5 ＝5 8. 利用正、余弦定理解三角形要注意以下几个方面 (1)画图，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求． (2)明确解题过程中所使用的定理，有些题目两个定理都适用． (3)注意对三角形内角和定理、大边对大角的应用，避免出现增解或漏解的错 误． (4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中利用正、余弦定理求解． [跟进训练] 1．如图所示，在△ABC 中，B＝π 3 ，AB＝8，点 D 在 BC 边上，CD＝2，cos∠ADC ＝1 7. (1)求 sin∠BAD； (2)求 BD，AC 的长． [解]　(1)在△ADC 中， 因为 cos∠ADC＝1 7 ， 所以 sin∠ADC＝4 3 7 ， 所以 sin∠BAD＝sin(∠ADC－B) ＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B ＝4 3 7 ×1 2 －1 7 × 3 2 ＝3 3 14 . (2)在△ABD 中，由正弦定理，得 BD＝ABsin∠BAD sin∠ADB ＝ 8 × 3 3 14 4 3 7 ＝3. 在△ABC 中，由余弦定理， 得 AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B ＝82＋52－2×8×5×1 2 ＝49， 所以 AC＝7. 三角变换与解三角形的综合问题 角度 1　三角形形状的判断 【例 2】　在△ABC 中，若(a 2＋b2)sin(A－B)＝(a 2－b2)·sin(A＋B)，试判断 △ABC 的形状． [解]　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)] ＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B， 即 a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 法一：由正弦定理知 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又 sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC 中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B， ∴A＝B 或 A＋B＝π 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理，得 a2b×b2＋c2－a2 2bc ＝b2a×a2＋c2－b2 2ac ， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0 或 a2＋b2－c2＝0. 即 a＝b 或 a2＋b2＝c2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 判定三角形形状的三个注意点 (1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的关系． (2)“边化角”后要注意用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式推出 角的关系． (3)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别． [跟进训练] 2．在△ABC 中，若 B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状． [解]　法一：∵2b＝a＋c，由正弦定理， 得 2sin B＝sin A＋sin C. ∵B＝60°，∴A＋C＝120°. ∴2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C. 展开整理得 3 2 sin C＋1 2cos C＝1. ∴sin(C＋30°)＝1. ∵0°2 时，如图②， 在△APQ 中，AP＝8t，AQ＝10t－20， ∴PQ＝ AQ2＋AP2－2AQ × AP × cos 60° ＝2 21t2－60t＋100. 综合①②③知， PQ＝2 21t2－60t＋100(t≥0)． 当且仅当 t＝30 21 ＝10 7 时，PQ 最小． 所以甲、乙两船行驶10 7 小时后，相距最近． [培优层·素养升华] 【例题】　△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sin B－sin C)2＝ sin2A－sin Bsin C. (1)求 A； (2)若 2a＋b＝2c，求 sin C. [思路探究]　(1)利用正弦定理结合余弦定理求解角 A 的大小； (2)根据(1)中的结论结合正弦定理化简题中的等量关系，利用两角差的正弦公 式求解 sin C. [解]　(1)由已知得 sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C， 故由正弦定理得 b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝1 2. 因为 0°＜A＜180°，所以 A＝60°. (2)由(1)知 B＝120°－C， 由题设及正弦定理得 2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C， 即 6 2 ＋ 3 2 cos C＋1 2sin C＝2sin C， 整理得 cos(C＋60°)＝－ 2 2 . 因为 0°＜C＜120°，所以 sin(C＋60°)＝ 2 2 ， 故 sin C＝sin(C＋60°－60°) ＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60° ＝ 6＋ 2 4 . 本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、两角差的正弦公式，综 合性较强.综合应用正、余弦定理解三角形一直是高考的热点内容之一，着重考查 直观想象、数学运算等学科素养. [素养提升练] △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－1 4 ，则b c ＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 A　[∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴由正弦定理得 a2－b2＝4c2，即 a2＝4c2＋b2. 由余弦定理得 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝b2＋c2－(4c2＋b2) 2bc ＝－3c2 2bc ＝－1 4 ，∴b c ＝6.]