高中数学人教a版选修1-1第一章常用逻辑用语学业分层测评1word版含答案 5页

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下列语句不是命题的有( ) ①2＜1；②x＜2 016；③若 x＜2，则 x＜1；④函数 f(x)＝x2是 R 上的偶函数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】 ②不是命题，故选 B. 【答案】 B 2．下列命题是真命题的是( ) A．{∅}是空集 B．{x∈N||x－1|＜3}是无限集 C．π是有理数 D．x2－5x＝0的根是自然数 【解析】 解方程 x2－5x＝0得 x＝0或 x＝5.故 D正确． 【答案】 D 3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论 是( ) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形 【解析】 把命题改写成“若 p，则 q”的形式后可知 C正确． 【答案】 C 4．(2016·日照高二期末)下列命题正确的是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＞－b，则－a＞b C．若 ac＞bc，则 a＞b D．若 a＞b，则 a－c＞b－c 【解析】 当 c＝0时选项 A不正确；a＞－b时，－a＜b，选项 B 不正确；当 c＜0时，选项 C不正确；由不等式的性质知选项 D正确， 故选 D. 【答案】 D 5．下列说法正确的是( ) A．命题“x＋y为有理数，则 x，y也都是有理数”是真命题 B．语句“当 a＞4时，方程 x2－4x＋a＝0有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当 x＜0时，方程 x2－4x＝0有负根”是假命题 【解析】 选项 A不正确，如 x＝ 3，y＝－ 3，则 x＋y＝0为有 理数；语句“当 a＞4时，方程 x2－4x＋a＝0有实根．”是陈述句而且 可以判断真假，并且是假的，所以选项 B是错误的；选项 C是错误的， 应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项 D是正确的． 【答案】 D 二、填空题 6．把命题“末位数字是 4的整数一定能被 2整除”改写成“若 p， 则 q”的形式为________. 【导学号：26160003】 【答案】 若一个整数的末位数字是 4，则它一定能被 2整除 7．命题“3mx2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，则实数 m的取值 范围是________． 【解析】 “3mx2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，需对 m进行分 类讨论． 当 m＝0时，1＞0恒成立，所以 m＝0满足题意； 当 m＞0时，且Δ＝m2－12m＜0，即 0＜m＜12时，3mx2＋mx＋1 ＞0恒成立，所以 0＜m＜12满足题意； 当 m＜0时，3mx2＋mx＋1＞0不恒成立． 综上知 0≤m＜12. 【答案】 [0,12) 8．设 a，b，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①(a·b)c＝(c·a)b； ②|a|－|b|＜|a－b|； ③(b·c)a－(c·a)b 不与 c 垂直； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中是真命题的序号是________． 【解析】 由于 c 与 b 不一定共线，故①错；又[(b·c)a－(c·a)b]·c ＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，从而知③错． 【答案】 ②④ 三、解答题 9．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)函数 y＝ax是指数函数； (2)关于 x的方程 ax＋1＝x＋2有唯一解． 【解】 (1)当 a＞0且 a≠1时，函数 y＝ax是指数函数，所以是假 命题． (2)关于 x的方程 ax＋1＝x＋2，即(a－1)x＝1，当 a＝1时，方程无 解；当 a≠1时，方程有唯一解，所以是假命题． 10．把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断真假． (1)内接于圆的四边形的对角互补； (2)被 5整除的整数的末位数字是 5； (3)三角形相似，对应边成比例． 【解】 (1)若四边形内接于圆，则它的对角互补．真命题． (2)若一个整数被 5整除，则它的末位数字是 5.假命题． (3)若两个三角形相似，则它们的对应边成比例．真命题． [能力提升] 1．给出命题“方程 x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真 命题的 a的一个值可以是( ) A．4 B．2 C．0 D．－3 【解析】 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4＜0.故当 a＝0时适合 条件． 【答案】 C 2．对于向量 a，b，c 和实数λ，下列命题中，真命题是( ) A．若 a·b＝0，则 a＝0或 b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或 a＝0 C．若 a2＝b2，则 a＝b 或 a＝－b D．若 a·b＝a·c，则 b＝c 【解析】 a·b＝0，在 a，b 为非零向量时可得 a⊥b；a2＝b2可改 写为|a|2＝|b|2，只能得出|a|＝|b|；a·b＝a·c，可移项得 a⊥(b－c)，不可 两边同除以向量． 【答案】 B 3．把下面命题补充完整，使其成为一个真命题． 若函数 f(x)＝3＋log2x(x＞0)的图象与 g(x)的图象关于 x轴对称，则 g(x)＝________. 【解析】 设 g(x)图象上任一点(x，y)，则它关于 x轴的对称点为(x， －y)，此点在 f(x)的图象上，故有－y＝3＋log2x成立，即 y＝－3－log2x(x ＞0)． 【答案】 －3－log2x(x＞0) 4．已知集合 A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若 A∩B ＝∅是真命题，求实数 m的取值范围． 【导学号：26160004】 【解】 当Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)<0，即－1