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- 2021-06-11 发布
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10.1.3 古典概型
学习目标 1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计
算问题.
知识点一 随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件 A 的概率用 P(A)表示.
知识点二 古典概型
一般地,若试验 E 具有以下特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
称试验 E 为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
知识点三 古典概型的概率公式
一般地,设试验 E 是古典概型,样本空间Ω包含 n 个样本点,事件 A 包含其中的 k 个样本点,
则定义事件 A 的概率 P(A)=k
n
=nA
nΩ.
1.古典概型中每个事件发生的可能性相同.( × )
2.古典概型有两个重要条件:①样本空间中样本点总数是有限的,每次试验只出现其中的一
个结果;②各个样本点的出现是等可能的.( √ )
3.用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点,此点小于 2”的概率.( × )
4.从甲地到乙地共 n 条线路,且这 n 条线路长短各不相同,求某人任选一条路线正好选中最
短路线的概率是古典概型问题.( √ )
一、古典概型的判断
例 1 下列概率模型是古典概型吗?为什么?
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数 2 的概率;
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率;
(3)从 1,2,3,…,100 这 100 个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率.
解 (1)不是古典概型,因为区间[1,10]中有无限多个实数,取出的实数有无限多种结果,与
古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.
(2)不是古典概型,因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等,与古
典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.
(3)是古典概型,因为在试验中所有可能出现的结果是有限的,而且每个整数被抽到的可能
性相等.
反思感悟 古典概型需满足两个条件
(1)样本点总数有限.
(2)各个样本点出现的可能性相等.
跟踪训练 1 下列问题中是古典概型的是( )
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一颗质地不均匀的骰子,求掷出 1 点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于 1.5 的概率
D.同时掷两颗质地均匀的骰子,求向上的点数之和是 5 的概率
答案 D
解析 A,B 两项中的样本点的出现不是等可能的;C 项中样本点的个数是无限多个;D 项
中样本点的出现是等可能的,且是有限个.故选 D.
二、古典概型概率的计算
例 2 一个口袋内装有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球,从中摸出 2 个球.
求:
(1)样本空间的样本点的总数 n;
(2)事件“摸出 2 个黑球”包含的样本点的个数;
(3)摸出 2 个黑球的概率.
解 由于 4 个球的大小相等,摸出每个球的可能性是均等的,所以是古典概型.
(1)将黑球编号为黑 1,黑 2,黑 3,从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球,
样本空间Ω={(黑 1,黑 2),(黑 1,黑 3),(黑 1,白),(黑 2,黑 3),(黑 2,白),(黑 3,白)},
其中共有 6 个样本点.
(2)事件“摸出 2 个黑球”={(黑 1,黑 2),(黑 2,黑 3),(黑 1,黑 3)},共 3 个样本点.
(3)样本点总数 n=6,事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数 m=3,故 P=3
6
=1
2
,即摸出
2 个黑球的概率为1
2.
反思感悟 求古典概型概率的步骤
(1)确定样本空间的样本点的总数 n.
(2)确定所求事件 A 包含的样本点的个数 m.
(3)P(A)=m
n.
跟踪训练 2 为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,
余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________.
答案 2
3
解析 从 4 种颜色的花中任选 2 种颜色的花种在一个花坛中,余下 2 种颜色的花种在另一花
坛的种数有:红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红
黄,共 6 种,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—
红白、白紫—红黄,共 4 种,故所求概率为 P=4
6
=2
3.
三、较复杂的古典概型的概率计算
例 3 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
(1)求点数之和为 7 的概率;
(2)求掷出两个 4 点的概率;
(3)求点数之和能被 3 整除的概率.
解 如图所示,从图中容易看出样本点与所描点一一对应,共 36 种.
(1)记“点数之和为 7”为事件 A,从图中可以看出,事件 A 包含的样本点共有 6 个:(6,1),
(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6).
故 P(A)= 6
36
=1
6.
(2)记“掷出两个 4 点”为事件 B,从图中可以看出,事件 B 包含的样本点只有 1 个,即(4,4).
故 P(B)= 1
36.
(3)记“点数之和能被 3 整除”为事件 C,则事件 C 包含的样本点共 12 个:(1,2),(2,1),(1,5),
(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6).
故 P(C)=12
36
=1
3.
反思感悟 在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体样本点用平面直
角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法
求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,更方便.
跟踪训练 3 某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1,A2,A3 和 3 个欧洲国家 B1,B2,B3 中
选择 2 个国家去旅游.
(1)若从这 6 个国家中任选 2 个,求这 2 个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率.
解 (1)由题意知,从 6 个国家中任选 2 个国家,其一切可能的结果有(A1,A2),(A1,A3),
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),
(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共 15 个.
所选 2 个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共 3
个,
则所求事件的概率为 P= 3
15
=1
5.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,其一切可能的结果有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),共 9 个.
包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有
(A1,B2),(A1,B3),共 2 个,
则所求事件的概率为 P=2
9.
1.下列不是古典概型的是( )
A.从 6 名同学中,选出 4 人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀的骰子,点数和为 7 的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10 个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
答案 C
解析 A,B,D 为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征:有限性和等可能性,而 C
不满足等可能性,故不为古典概型.
2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是( )
A.1
6 B.1
2 C.1
3 D.2
3
答案 C
解析 样本点有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.甲站在中间
的事件包括:乙甲丙、丙甲乙,共 2 个,所以甲站在中间的概率 P=2
6
=1
3.
3.已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品的
概率为( )
A.0.4 B.0.6
C.0.8 D.1
答案 B
解析 记 3 件合格品分别为 A1,A2,A3,2 件次品分别为 B1,B2,从 5 件产品中任取 2 件,
有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,
B2),(B1,B2),共 10 种可能,其中恰有一件次品有 6 种可能,由古典概型得所求事件概率
为 6
10
=0.6.
4.用 1,2,3 组成无重复数字的三位数,这些数能被 2 整除的概率是( )
A.1
6 B.1
2 C.1
3 D.2
3
答案 C
解析 用 1,2,3 组成的无重复数字的三位数共 6 个,分别为 123,132,213,231,312,321,其中能
被 2 整除的有 132,312 这 2 个数,故能被 2 整除的概率为1
3.
5.从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,则其和为 5 的概率是________.
答案 0.2
解析 两数之和等于 5 有两种情况(1,4)和(2,3),总的样本点有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 10 种,所以 P= 2
10
=0.2.
1.知识清单:
(1)古典概型.
(2)古典概型的概率公式.
2.方法归纳:常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数.
3.常见误区:列举样本点的个数时,要按照一定顺序,做到不重、不漏.
1.下列是古典概型的是( )
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率,将取出的正整数作为样本点
C.在甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中,任选一名志愿者去参加跳高项目,求甲被选中的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止,抛掷的次数作为样本点
答案 C
解析 A 项中由于点数的和出现的可能性不相等,故 A 不是;B 项中的样本点的个数是无
限的,故 B 不是;C 项中满足古典概型的有限性和等可能性,故 C 是古典概型;D 项中样
本点既不是有限个也不具有等可能性,故 D 不是.
2.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的
数字之和为奇数的概率为( )
A.1
3 B.1
2 C.2
3 D.3
4
答案 C
解析 试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共 6 个样本点,且每
个样本点出现的可能性相同,数字之和为奇数的有 4 个样本点,所以所求概率为2
3.
3.从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )
A.1
2 B.1
3 C.1
4 D.1
6
答案 B
解析 样本点的总数为 6,
构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的样本点的个数为 2,
所以所求概率 P=2
6
=1
3
,故选 B.
4.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是 M,I,N 中的一个字母,
第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. 8
15 B.1
8 C. 1
15 D. 1
30
答案 C
解析 ∵Ω={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),
(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)},∴基本事件总数为 15.
∵正确的开机密码只有 1 种,∴P= 1
15.
5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的概率是
( )
A.4
5 B.3
5 C.2
5 D.1
5
答案 D
解析 设“所取的数中 b>a”为事件 A,如果把选出的数 a,b 写成数对(a,b)的形式,则样
本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),
(5,1),(5,2),(5,3)},共 15 个,事件 A 包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共 3 个,因此所
求的概率 P(A)= 3
15
=1
5.
6.从三男三女共 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的概率均相等),则 2 名都是女同学的
概率为________.
答案 1
5
解析 用 A,B,C 分别表示三名男同学,用 a,b,c 分别表示三名女同学,则从 6 名同学
中选出 2 人的所有选法为 AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,
bc,共 15 种.其中 2 名都是女同学包括 ab,ac,bc,共 3 种.故所求的概率为 3
15
=1
5.
7.在 1,2,3,4 四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的 2 倍的概率是
________.
答案 1
4
解析 用列举法知,可重复地选取两个数共有 16 种可能,其中一个数是另一个数的 2 倍的
有(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)共 4 种,故所求的概率为 4
16
=1
4.
8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1
个,标号为 2 的小球 n 个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号是 2 的小球的概率是1
2
,
则 n 的值为________.
答案 2
解析 由题意可知 n
1+1+n
=1
2
,解得 n=2.
9.某学校有初级教师 21 人,中级教师 14 人,高级教师 7 人,现采用分层随机抽样的方法从
这些教师中抽取 6 人对绩效工资情况进行调查.
(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数;
(2)若从分层随机抽样抽取的 6 名教师中随机抽取 2 名教师做进一步数据分析,求抽取的 2
名教师均为初级教师的概率.
解 (1)共抽取 6 人,又 21∶14∶7=3∶2∶1,所以应从初级教师、中级教师、高级教师中
抽取的人数分别为 3,2,1.
(2)在分层随机抽样抽取的 6 名教师中,3 名初级教师分别记为 A1,A2,A3,2 名中级教师分别
记为 A4,A5,高级教师记为 A6,则从中抽取 2 名教师的样本空间为Ω={(A1,A2),(A1,A3),
(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),
(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6)},即样本点的总数为 15.抽取的 2 名教师均为初级
教师(记为事件 B)包含的样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共 3 个.
所以 P(B)= 3
15
=1
5.
10.某小组共有 A,B,C,D,E 五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/
米 2)如下表所示:
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1)从该小组身高低于 1.80 米的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 米以下的概率;
(2)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 米以上且体重指标都在[18.5,23.9)
中的概率.
解 (1)由题意知,从该小组身高低于 1.80 米的同学中任选 2 人这一试验 E1 的样本空间Ω1
={AB,AC,AD,BC,BD,CD},共 6 个样本点,且每个样本点出现的可能性相同,故属
于古典概型.设事件 M 表示“选到的 2 人身高都在 1.78 米以下”,则 M={AB,AC,BC},
共含有 3 个样本点,
所以 P(M)=3
6
=1
2.
(2)从该小组同学中任选 2 人,这一试验 E2 的样本空间Ω2={AB,AC,AD,AE,BC,BD,
BE,CD,CE,DE},共 10 个样本点,且每个样本点出现的可能性相等.设事件 N 表示“选
到的 2 人的身高都在 1.70 米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中”,则 N={CD,CE,DE},
共含有 3 个样本点,所以 P(N)= 3
10.
11.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从
1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )
A. 1
10 B.1
5 C. 3
10 D. 1
20
答案 A
解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),
(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},共 10 个,其中勾股数有(3,4,5),所以概率为 1
10.
12.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面
的点数分别为 x,y,则 log2xy=1 的概率为( )
A.1
6 B. 5
36 C. 1
12 D.1
2
答案 C
解析 所有样本点的个数为 36.由 log2xy=1 得 2x=y,其中 x,y∈{1,2,3,4,5,6},所以 x=1,
y=2
或 x=2,
y=4
或 x=3,
y=6
满足 log2xy=1,故事件“log2xy=1”包含 3 个样本点,所以所求的
概率为 P= 3
36
= 1
12.
13.一次掷两枚均匀的骰子,得到的点数为 m 和 n,则关于 x 的方程 x2+(m+n)x+4=0 无实
数根的概率是________.
答案 1
12
解析 总的样本点个数为 36.因为方程无实根,所以Δ=(m+n)2-16<0.即 m+n<4,其中有
(1,1),(1,2),(2,1),共 3 个样本点.
所以所求概率为 3
36
= 1
12.
14.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛,则甲、乙都被选中的概率为________.
答案 3
10
解析 从五个人中选取三人,则试验的样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,
戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,
戊),(丙,丁,戊)},共 10 个样本点,甲、乙都被选中的结果有 3 种,故所求的概率为 3
10.
15.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数字,
把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称“甲、乙心有灵犀”.现
任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.1
9 B.2
9 C. 7
18 D.4
9
答案 D
解析 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a-b|≤1,由于 a,b∈{1,2,3,4,5,6},则满足要
求的事件可能的结果有:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),
(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共 16 种,而依题意得,样本点总数为 36.因此他们
“心有灵犀”的概率 P=16
36
=4
9.
16.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转
盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别
为 x,y.奖励规则如下:
①若 xy≤3,则奖励玩具一个;
②若 xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,
并说明理由.
解 (1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),
(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}即
样本点的总数为 16,
记“xy≤3”为事件 A,则事件 A 包含的样本点共 5 个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),
所以 P(A)= 5
16
,即小亮获得玩具的概率为 5
16.
(2)记“xy≥8”为事件 B,“3 5
16
,
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
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