高考数学专题复习练习第4讲 指数与指数函数 5页

第4讲 指数与指数函数 一、选择题 ‎1．函数y＝a|x|(a>1)的图像是(　　)‎ 解析 y＝a|x|＝当x≥0时，与指数函数y＝ax(a>1)的图像相同；当x<0时，y＝a－x与y＝ax的图像关于y轴对称，由此判断B正确．‎ 答案 B ‎2．已知函数f(x)＝，则f(9)＋f(0)＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析 f(9)＝log39＝2，f(0)＝20＝1，‎ ‎∴f(9)＋f(0)＝3.‎ 答案 D ‎3．不论a为何值时，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，则函数y＝(a－1)2x－恒过定点.‎ 答案　C ‎4．定义运算：a*b＝如1*2=1,则函数f(x)=2x *2-x的值域为 (　　)．‎ A．R B．(0，＋∞)‎ C．(0,1] D．[1，＋∞)‎ 解析　f(x)＝2x*2－x＝∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴01，b>0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值为(　　)‎ A. B．2或－2‎ C．－2 D．2‎ 解析 (ab＋a－b)2＝8⇒a2b＋a－2b＝6，‎ ‎∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.‎ 又ab>a－b(a>1，b>0)，∴ab－a－b＝2.‎ 答案 D ‎6．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是下图中的 (　　)．‎ 解析　函数f(x)＝(k－1)ax－a－x为奇函数，则f(0)＝0，即(k－1)a0－a0＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－a－x，又f(x)＝ax－a－x为减函数，故00，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，‎ 若01，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示．‎ 答案　(1，＋∞)‎ ‎10．已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．‎ 解析　x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，x2∈[0,2]时，g(x2)∈，即g(x2)∈，要使∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，只需f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，故m≥.‎ 答案　 三、解答题 ‎11．已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)判断函数f(x)的奇偶性；‎ ‎(2)求证f(x)在R上为增函数．‎ ‎(1)解　因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝1－，所以f(－x)＋f(x)＝‎ eq lc( c)(avs4alco1(1－f(2,2－x＋1)))＋＝2－＝2－＝2－＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．‎ ‎(2)证明　设x1，x2∈R，且x10,2x2＋1>0，‎ ‎∴f(x1)0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．‎ ‎(1)求f(x)；‎ ‎(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解析 (1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得 结合a>0且a≠1，解得 ‎∴f(x)＝3·2x.‎ ‎(2)要使()x＋()x≥m在(－∞，1]上恒成立，‎ 只需保证函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．‎ ‎∵函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上为减函数，‎ ‎∴当x＝1时，y＝()x＋()x有最小值.‎ ‎∴只需m≤即可．‎ ‎∴m的取值范围(－∞，]‎ ‎13．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.‎ ‎(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)有最大值3，求a的值．‎ 解析 (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，‎ 令t＝－x2－4x＋3，‎ 由于t(x)在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，‎ 而y＝t在R上单调递减，‎ 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，‎ 即函数f(x)的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．‎ ‎(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，‎ 由于f(x)有最大值3，‎ 所以h(x)应有最小值－1，‎ 因此必有解得a＝1.‎ 即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.‎ ‎14．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.‎ ‎(1)若f(x)＝，求x的值；‎ ‎(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)当x<0时， f(x)＝0，无解；‎ 当x≥0时，f(x)＝2x－，‎ 由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，‎ 看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，‎ ‎∵2x>0，∴x＝1.‎ ‎(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，‎ 即m(22t－1)≥－(24t－1)，‎ ‎∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，‎ ‎∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，‎ 故m的取值范围是[－5，＋∞)．‎