高考数学专题复习练习：14-1-2 专项基础训练 6页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：50分钟)‎ ‎1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；‎ ‎(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其直线l的距离相等，求点P的坐标．‎ ‎【解析】 (1)椭圆C的参数方程为：(θ为参数)，‎ 直线l的普通方程为x－y＋9＝0.‎ ‎(2)设P(2cos θ，sin θ)，‎ 则|AP|＝＝2－cos θ，‎ P到直线l的距离 d＝＝.‎ 由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，‎ 得sin θ＝，cos θ＝－.‎ 故P.‎ ‎2．(2015·陕西高考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ ‎【解析】 (1)由ρ＝2sin θ，‎ 得ρ2＝2ρsin θ，‎ 从而有x2＋y2＝2y，‎ 所以x2＋(y－)2＝3.‎ ‎(2)设P，又C(0，)，‎ 则|PC|＝ ‎＝，‎ 故当t＝0时，|PC|取得最小值，‎ 此时，点P的直角坐标为(3，0)．‎ ‎3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l过点P(8，2)，直线l和曲线C：(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.‎ ‎(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；‎ ‎(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)曲线C的普通方程为＋＝1，‎ 直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：‎ ‎(8＋tcos α)2＋8(2＋tsin α)2＝32，‎ 整理得(8sin2α＋cos2α)t2＋(16cos α＋32sin α)t＋64＝0，‎ 由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin2α＋cos2α)＞0，‎ 得cos α＞sin α，故α∈，‎ ‎∴|PM1||PM2|＝|t1t2|‎ ‎＝∈.‎ ‎4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin.现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(－2，－3)，求|PA|·|PB|的值．‎ ‎【解析】 (1)ρ＝4sin＝4sin θ＋4cos θ，‎ 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，‎ 所以x2＋y2－4x－4y＝0，‎ 即(x－2)2＋(y－2)2＝8；‎ 直线l的普通方程为x－y＋2－3＝0.‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入到圆C：‎ x2＋y2－4x－4y＝0中，‎ 得t2－(4＋5)t＋33＝0，‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1t2＝33.‎ 点P(－2，－3)显然在直线l上，‎ 由直线标准参数方程下t的几何意义知 ‎|PA|·|PB|＝|t1t2|＝33，‎ 所以|PA|·|PB|＝33.‎ ‎5．(2017·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4.‎ ‎(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)试判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【解析】 (1)直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)．‎ 由题知C点的直角坐标为(0，4)，圆C的半径为4，‎ ‎∴圆C的方程为x2＋(y－4)2＝16，‎ 将代入得，‎ 圆C的极坐标方程为ρ＝8sin θ.‎ ‎(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－5－＝0，‎ 圆心C到l的距离为d＝＝＞4，‎ ‎∴直线l与圆C相离．‎ ‎6．(2017·沈阳模拟)已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C2的极坐标方程为θ＝，曲线C1，C2相交于A，B两点．‎ ‎(1)求A，B两点的极坐标；‎ ‎(2)曲线C1与直线(t为参数)分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．‎ ‎【解析】 (1)由得ρ2cos ＝8，‎ 所以ρ2＝16，即ρ＝±4.‎ 所以A，B两点的极坐标为：A，B或B.‎ ‎(2)由曲线C1的极坐标方程得其直角坐标方程为x2－y2＝8，‎ 将直线代入x2－y2＝8，‎ 整理得t2＋2t－14＝0，‎ 即t1＋t2＝－2，t1·t2＝－14，‎ 所以|MN|＝＝2.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：40分钟)‎ ‎7．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎【解析】 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.‎ 则|PA|＝ ‎＝|5sin(θ＋α)－6|，‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ ‎8．(2017·洛阳模拟)极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求＋的值．‎ ‎【解析】 (1)由ρsin2θ＝8cos θ得，ρ2sin2θ＝8ρcos θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.‎ ‎(2)易得直线l与x轴的交点为F(2，0)，‎ 将直线l的方程代入y2＝8x，‎ 得(tsin α)2＝8(2＋tcos α)，‎ 整理得sin2α·t2－8cos α·t－16＝0.‎ 由已知sin α≠0，‎ Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，‎ ‎∴t1＋t2＝，t1t2＝－＜0，‎ 故＋＝＝ ‎＝＝＝.‎ ‎9．(2017·甘肃兰州模拟)在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若α∈，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)∵C的直角坐标为(1，1)，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3.‎ 化为极坐标方程是ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0.‎ ‎(2)将代入圆C的直角坐标方程(x－1)2＋(y－1)2＝3，得 ‎(1＋tcos α)2＋(1＋tsin α)2＝3，即 t2＋2t(cos α＋sin α)－1＝0.‎ ‎∴t1＋t2＝－2(cos α＋sin α)，t1·t2＝－1.‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝2.‎ ‎∵α∈，∴2α∈，∴2≤|AB|＜2，即弦长|AB|的取值范围是[2，2)．‎ ‎10．(2017·江西联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点P的坐标为(3，)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．‎ ‎【解析】 (1)由得直线l的普通方程为x＋y－3－＝0，‎ 又由ρ＝2sin θ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 即x2＋(y－)2＝5.‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得＋＝5，‎ 即t2－3t＋4＝0，‎ 由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，‎ 故可设t1，t2是上述方程的两个实数根，‎ 所以 又直线l过点P(3，)，A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.‎