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- 2021-06-11 发布
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1．定积分的概念
在ʃf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
(1)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)；
(2)ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；
(3)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a0.( √ )
(3)若ʃf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( × )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的．( × )
(5)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃ(x2－x)dx.( × )
1．(2017·福州质检)ʃ(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
答案 C
解析 ʃ(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝e＋1－1＝e.
2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4 C．2 D．4
答案 D
解析 如图，y＝4x与y＝x3的交点为A(2,8)，
图中阴影部分即为所求图形面积．
S阴＝ʃ(4x－x3)dx
＝(2x2－x4)|
＝8－×24＝4，故选D.
3．(教材改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是( )
A. m B．6 m C. m D．7 m
答案 A
解析 s＝ʃ(3t＋2)dt＝(t2＋2t)|
＝×4＋4－(＋2)
＝10－＝(m)．
4．若ʃx2dx＝9，则常数T的值为________．
答案 3
解析 ʃx2dx＝x3|＝T3＝9，∴T＝3.
5．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则ʃf(x)dx的值为________．
答案
解析 ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃdx
＝x3|＋ln x|＝＋ln e＝.
题型一 定积分的计算
例1 (1)(2016·九江模拟)若ʃ(2x＋λ)dx＝2(λ∈R)，则λ等于( )
A．0 B．1 C．2 D．－1
(2)定积分ʃ|x2－2x|dx等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 (1)B (2)D
解析 (1)ʃ(2x＋λ)dx＝(x2＋λx)|＝1＋λ＝2，
所以λ＝1.
(2)ʃ|x2－2x|dx
＝ʃ(x2－2x)dx＋ʃ(2x－x2)dx
＝(－x2)|＋(x2－)|
＝＋4＋4－＝8.
思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：
(1)对被积函数要先化简，再求积分；
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．
(1)若则实数a的值为( )
A．－1 B．1 C．－ D.
(2)设f(x)＝则ʃf(x)dx等于( )
A. B. C. D.
答案 (1)A (2)C
解析
＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，
∴a＝－1.
(2)ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ(2－x)dx
＝x3|＋(2x－x2)|
＝＋(4－×4)－(2－)
＝.
题型二 定积分的几何意义
命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分
例2 (1)计算：ʃ dx＝________.
(2)若ʃ dx＝，则m＝________.
答案 (1)π (2)－1
解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积，
∴ʃdx＝×π×4＝π.
(2)根据定积分的几何意义ʃ dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，
又ʃ dx＝为四分之一圆的面积，
结合图形知m＝－1.
命题点2 求平面图形的面积
例3 (2017·青岛月考)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．
答案 4－ln 3
解析 由xy＝1，y＝3可得交点坐标为(，3)．
由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，
由y＝x，y＝3得交点坐标为(3,3)，
由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为
＝(3－1－ln 3)＋(9－－3＋)＝4－ln 3.
思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分；
(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤
①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
(1)定积分ʃdx的值为( )
A．9π B．3π
C.π D.π
(2)由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．
答案 (1)C (2)
解析 (1)由定积分的几何意义知ʃdx是由曲线y＝，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故ʃdx＝＝π，故选C.
(2)由解得x＝－1，依题意可得，
所求的封闭图形的面积为ʃ(2x2＋4x＋2)dx＝(x3＋2x2＋2x)|1－1＝(×13＋2×12＋2×1)－[×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝.
题型三 定积分在物理中的应用
例4 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
答案 C
解析 令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，
∴汽车行驶距离s＝ʃ(7－3t＋)dt
＝[7t－t2＋25ln(1＋t)]|
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.
思维升华 定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ʃv(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝ʃF(x)dx.
一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为( )
A. J B. J C. J D．2 J
答案 C
解析 ʃF(x)cos 30°dx＝ʃ(5－x2)dx
＝＝，
∴F(x)做的功为 J.
4．利用定积分求面积
典例 由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________．
错解展示
解析 所求面积S＝ʃ(x2－1)dx＝(x3－x)|＝.
答案
现场纠错
解析 如图所示，由y＝x2－1＝0，
得抛物线与x轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．
所以S＝ʃ|x2－1|dx
＝ʃ(1－x2)dx＋ʃ(x2－1)dx
＝(x－)|＋(－x)|
＝(1－)＋[－2－(－1)]＝2.
答案 2
纠错心得 利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系；定积分可正可负，而面积总为正．
1．等于( )
A．0 B.－
C.－ D.－1
答案 B
解析
2．ʃ dx的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ʃ dx的几何意义为以(0,0)为圆心，
以1为半径的圆位于第一象限的部分，圆的面积为π，
所以ʃ dx＝.
3．(2016·南昌模拟)若ʃ(2x＋)dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 A
解析 由题意知ʃ(2x＋)dx＝(x2＋ln x)|＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，解得a＝2.
4．定积分ʃ|x－1|dx等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
答案 A
解析 ʃ|x－1|dx＝ʃ|x－1|dx＋ʃ|x－1|dx
＝ʃ(1－x)dx＋ʃ(x－1)dx
＝(x－)|＋(－x)|
＝(1－)＋(－2)－(－1)＝1.
5．由曲线f(x)＝与y轴及直线y＝m(m>0)围成的图形的面积为，则m的值为( )
A．2 B．3 C．1 D．8
答案 A
解析
解得m＝2.
6．若S1＝ʃx2dx，S2＝ʃdx，S3＝ʃexdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1
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