高考数学专题复习练习第6讲 空间向量及其运算 6页

第6讲 空间向量及其运算 一、选择题 ‎1．以下四个命题中正确的是 (　　)．‎ A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向 量的另一组基底 C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0‎ D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析　若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．‎ 答案　B ‎2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝ (　　)．‎ A．－4 B．－‎2 ‎ C．4 D．2‎ 解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，‎ ‎∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．‎ ‎∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.‎ 答案　D ‎3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)．‎ A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}‎ C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}‎ 解析　若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．‎ 答案　C ‎4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为 (　　)．‎ A．0 　　　　 B. ‎ C. 　　　　 D. 解析　设＝a，＝b，＝c，‎ 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，‎ ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.‎ 答案　A ‎5．如图所示，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是 (　　)．‎ A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析　＝＋＝＋(－)‎ ‎＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.‎ 答案　A ‎6．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)‎ A. B. C．1‎ D. 解析 ＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.‎ 答案　D 二、填空题 ‎7. 设R，向量，且，则 解析 .‎ 答案 ‎ ‎8. 在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.‎ 解析　如图，设＝a，＝b，＝c，‎ ·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.‎ 答案　0‎ ‎9．已知ABCD－A1B‎1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B‎1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．‎ 解析 由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A‎1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确．‎ 答案 ①②‎ ‎10．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．‎ 解析　设＝a，＝b，＝c.‎ OA与BC所成的角为θ，‎ ·＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋)－a·(a＋)＝a2＋a·－a2－a·＝24－16.‎ ‎∴cos θ＝＝＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎11．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．‎ ‎(1)判断、、三个向量是否共面；‎ ‎(2)判断点M是否在平面ABC内．‎ 解　(1)由已知＋＋＝3 ，‎ ‎∴－＝(－)＋(－)，‎ 即＝＋＝－－，‎ ‎∴，，共面．‎ ‎(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，‎ ‎∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．‎ ‎12．把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：‎ ‎(1)EF的长；‎ ‎(2)折起后∠EOF的大小．‎ 解 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A（0，－a,0），‎ B（a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，－a，a），‎ F（a，a,0）.‎ ‎(1)||2＝2＋2＋2＝a2，∴|EF|＝a.‎ ‎(2)＝，＝，‎ ·＝0×a＋×＋a×0＝－，‎ ‎||＝，||＝，cos〈，〉＝＝－，‎ ‎∴∠EOF＝120°.‎ ‎13．如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线．‎ 证明　设＝a，＝b，＝c，则 ＝＋＝＋ ‎＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，‎ ＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝－a＋b＋c＝.‎ ‎∴∥，即B、G、N三点共线．‎ ‎14．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：‎ ‎(1)·；(2)·；(3)EG的长；‎ ‎(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．‎ 解　设＝a，＝b，＝c.‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，‎ ·＝·(－a)＝a2－a·c＝，‎ ‎(2)·＝(c－a)·(b－c)‎ ‎ ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；‎ ‎(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ‎ ＝－a＋b＋c，‎ ‎||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.‎ ‎(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，‎ cos〈，〉＝＝－，‎ 由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，‎ 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.‎