高考数学专题复习练习第五章 第四节 数列求和 课下练兵场 6页

第五章 第四节 数列求和 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 分组转化求和 ‎6‎ ‎12‎ 错位相减法求和 ‎11‎ 裂项相消求和 ‎4‎ ‎7、10‎ 公式求和 ‎1、3‎ ‎2、5、8、9‎ 一、选择题 ‎1.已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于 (　　)‎ A.16　　　　　　　　B‎.8 C.4 D.不确定 解析：由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，可得数列{an}是等差数列，S25＝＝100，解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8.‎ 答案：B ‎2.设an＝－n2＋17n＋18，则数列{an}从首项到第几项的和最大 (　　)‎ A.17 B‎.18 C.17或18 D.19‎ 解析：令an≥0，得1≤n≤18 .‎ ‎∵a18＝0，a17＞0，a19＜0，‎ ‎∴到第18项或17项和最大.‎ 答案：C ‎3.等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝4，a2＋a3＋a4＝－2，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由于q＝＝＝－，‎ 所以a3＋a4＋a5＝(a2＋a3＋a4)×(－)＝1，‎ a6＋a7＋a8＝(a3＋a4＋a5)×(－)3＝－，‎ 于是a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝.‎ 答案：D ‎4.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，‎ ‎∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，‎ ＝＝－，‎ 用裂项法求和得Sn＝.‎ 答案：A ‎5.设f(x)是定义在R上恒不为0的函数，对任意x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n为常数)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是 (　　)‎ A.[，2) B.[，2] C.[，1] D.[，1)‎ 解析：f(2)＝f2(1)，f(3)＝f(1)f(2)＝f3(1)，‎ f(4)＝f(1)f(3)＝f4(1)，a1＝f(1)＝，‎ ‎∴f(n)＝()n，Sn＝＝1－∈[，1).‎ 答案：D ‎6.设数列{an}是首项为1公比为3的等比数列，把{an}中的每一项都减去2后，得到一个新数列{bn}，{bn}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，下列结论正确的是 (　　)‎ A.bn＋1＝3bn，且Sn＝(3n－1)‎ B.bn＋1＝3bn－2，且Sn＝(3n－1)‎ C.bn＋1＝3bn＋4，且Sn＝(3n－1)－2n D.bn＋1＝3bn－4，且Sn＝(3n－1)－2n 解析：因为数列{an}是首项为1公比为3的等比数列，所以数列{an}的通项公式 an＝3n－1，则依题意得，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1－2，∴bn＋1＝3n－2,3bn＝3(3n－1－2)＝3n－6，‎ ‎∴bn＋1＝3bn＋4.{bn}的前n项和为：‎ Sn＝(1－2)＋(31－2)＋(32－2)＋(33－2)＋…＋(3n－1－2)＝(1＋31＋32＋33＋…＋3n－1)－2n＝－2n ‎＝(3n－1)－2n.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7.数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为　　　　.‎ 解析：∵an＝＝－，‎ ‎∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ‎＝(－1)＋(－)＋…＋(－)‎ ‎＝－1，‎ 令－1＝10，得n＝120.‎ 答案：120‎ ‎8.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝　　　　.‎ 解析：∵an＋1－an＝2n，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2‎ ‎＝＋2＝2n－2＋2＝2n.‎ ‎∴Sn＝＝2n＋1－2.‎ 答案：2n＋1－2‎ ‎9.若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋…＋＝　　　　.‎ 解析：令n＝1，得＝4，∴a1＝16.‎ 当n≥2时，‎ ＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1).‎ 与已知式相减，得 ＝(n2＋3n)－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2，‎ ‎∴an＝4(n＋1)2，n＝1时，a1适合an.‎ ‎∴an＝4(n＋1)2，∴＝4n＋4，‎ ‎∴＋＋…＋＝＝2n2＋6n.‎ 答案：2n2＋6n 三、解答题 ‎10.等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎(2)求＋＋…＋.‎ 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，‎ an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.‎ 依题意有 解得 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.‎ ‎(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，‎ 所以＋＋…＋ ‎＝＋＋＋…＋ ‎＝(1－＋－＋－＋…＋－)‎ ‎＝(1＋－－)‎ ‎＝－.‎ ‎11.(2009·山东高考)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.‎ ‎(1)求r的值；‎ ‎(2)当b＝2时，记bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，‎ 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，‎ 由于b＞0且b≠1，‎ 所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，‎ 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，‎ 即＝b，解得r＝－1.‎ ‎(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，‎ 所以bn＝＝.‎ Tn＝＋＋＋…＋.‎ Tn＝＋＋…＋＋，‎ 两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－ ‎＝＋－＝－－，‎ 故Tn＝－－＝－.‎ ‎12.数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＋2n－1＝0(n∈N*且n≥2).‎ ‎(1)求a2、a3的值；‎ ‎(2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(3)求数列{an}的前n项和Sn.‎ 解：(1)∵a1＝3，an＋an－1＋2n－1＝0(n∈N*且n≥2)，‎ ‎∴a2＝－a1－4＋1＝－6，a3＝－a2－6＋1＝1.‎ ‎(2)∵＝ ‎＝＝－1(n≥2)，‎ ‎∴数列{an＋n}是首项为a1＋1＝4，公比为－1的等比数列，‎ ‎∴an＋n＝4×(－1)n－1，‎ 即an＝4×(－1)n－1－n，‎ 当n＝1时，a1＝4－1＝3，‎ ‎∴{an}的通项公式是an＝4×(－1)n－1－n(n∈N*).‎ ‎(3)∵an＝4×(－1)n－1－n(n∈N*)，‎ Sn＝a1＋a2＋…＋an ‎＝[4(－1)0－1]＋[4(－1)1－2]＋[4(－1)2－3]＋…＋‎ ‎[4(－1)n－1－n]‎ ‎＝4[(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)n－1]－(1＋2＋3＋…＋n)‎ ‎＝2[1－(－1)n]－.‎