2020年高中数学第二章数列 5页

第4课时 数列求和 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．在等差数列{an}中，a9＋a11＝10，则数列{an}的前19项和为(　　)‎ A．98 B．95‎ C．93 D．90‎ 解析：S19＝＝＝＝95.‎ 答案：B ‎2．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　)‎ A．－6(1－3－10)　　　　　　　 B.(1－3－10)‎ C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)‎ 解析：由＝－，由a2＝－，∴a1＝4，‎ ‎∴Sn＝3，令n＝10得S10＝3(1－3－10)．‎ 答案：C ‎3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1＝(　　)‎ A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)‎ C.(1－4－n) D.(1－2－n)‎ 解析：由＝q3＝＝知q＝，而新的数列{anan＋1}仍为等比数列，且公比为q2＝.‎ 又a‎1a2＝4×2＝8，‎ 故a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．‎ 答案：C ‎4．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为(　　)‎ A. B. C. D. 5‎ 解析：依题意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故选B.‎ 答案：B ‎5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由S5＝‎5a3及S5＝15得a3＝3，‎ ‎∴d＝＝1，a1＝1，∴an＝n，＝＝－，所以数列的前100项和T100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选A.‎ 答案：A ‎6．数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{}的前10项和为________．‎ 解析：由题意得：‎ an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝，‎ 所以＝2(－)，Sn＝2(1－)＝，S10＝.‎ 答案： ‎7．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 017＝________.‎ 解析：∵an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π＝(－1)n＋1，∴当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝－1，k∈N*，∴S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.‎ 答案：－1 007‎ ‎8．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和为________．‎ 解析：该数列的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an，‎ 而an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1.‎ ‎∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.‎ 答案：2n＋1－2－n 5‎ ‎9．已知{an} 为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．‎ 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ ‎∵a3＝－6，a6＝0，∴解得 ‎∴an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.‎ ‎(2)设等比数列{bn}的公比为q，‎ ‎∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，‎ ‎∴－8q＝－24，‎ ‎∴q＝3，‎ ‎∴{bn}的前n项和Sn＝＝＝4(1－3n)．‎ ‎10．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解析：(1)设数列{an}的公比为q，‎ 由题知：2(a3＋2)＝a2＋a4，‎ ‎∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.‎ ‎∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.‎ ‎(2)bn＝n·2n，‎ ‎∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①‎ ‎2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②‎ ‎①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－2－(n－1)·2n＋1.‎ ‎∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．数列1，，，…，的前n项和为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：该数列的通项为an＝，分裂为两项差的形式为an＝2，令n＝1,2,3，…，则Sn＝2，‎ 5‎ ‎∴Sn＝2＝.‎ 答案：B ‎2．数列，，，…，，…的前n项和为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵an＝ ‎＝，‎ ‎∴S n＝a1＋a2＋a3＋…＋an ‎＝ ‎＝ ‎＝×＝.‎ 答案：B ‎3．已知点在直线l：y＝－x＋＋2上，则数列{an}的前30项的和为________．‎ 解析：点在直线l：y＝－x＋＋2上，∴an＝2－sin ，sin的最小正周期为4，取值是1,0，－1,0的循环，∴数列{an}的前30项和S30＝30×2－[7×(1＋0－1＋0)＋1＋0]＝59.‎ 答案：59 ‎4．设f(x)＝，则f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝________.‎ 解析：f(x)＝，f(1－x)＝＝＝，‎ ‎∴f(x)＋f(1－x)＝＝，‎ 5‎ 即f(x)＋f(1－x)是一个定值．‎ ‎∴f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝6×＝3.‎ 答案：3 ‎5．(2016·高考全国Ⅱ卷)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.‎ ‎(1)求b1，b11，b101；‎ ‎(2)求数列{bn}的前1 000项和．‎ 解析：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，‎ 解得d＝1.‎ 所以{an}的通项公式为an＝n.‎ b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，‎ b101＝[lg 101]＝2.‎ ‎(2)因为bn＝ 所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.‎ ‎6．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．‎ 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 由已知得，解得.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝2n＋n.‎ 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)‎ ‎＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)‎ ‎＝＋ ‎＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.‎ 5‎