高中数学必修2教案4_示范教案（2_1_4 平面与平面之间的位置关系） 5页

‎2.1.4 平面与平面之间的位置关系 整体设计 教学分析 ‎ 空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.‎ 三维目标 ‎1.结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系.‎ ‎2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.‎ ‎3.培养学生全面思考问题的能力.‎ 重点难点 ‎ 平面与平面的相交和平行.‎ 课时安排 ‎ 1课时 教学过程 复习 ‎1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.‎ ‎2.直线与平面的位置关系：‎ ‎①直线在平面内——有无数个公共点,‎ ‎②直线与平面相交——有且只有一个公共点,‎ ‎③直线与平面平行——没有公共点.‎ 导入新课 思路1.(情境导入)‎ ‎ 拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？‎ 思路2.(事例导入)‎ ‎ 观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？‎ 图1‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①什么叫做两个平面平行？‎ ‎②两个平面平行的画法.‎ ‎③回忆两个平面相交的依据.‎ ‎④什么叫做两个平面相交?‎ ‎⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.‎ 活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.‎ 问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.‎ 问题②怎样体现两个平面平行的特点.‎ 问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.‎ 问题④回忆公理三.‎ 问题⑤鼓励学生自我训练.‎ 讨论结果：‎ ‎①两个平面平行——没有公共点.‎ ‎②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ ‎③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l.‎ ‎④两个平面相交——有一条公共直线.‎ ‎⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.‎ 如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.‎ 两平面平行与相交的图形表示如图4.‎ 图4‎ 应用示例 思路1‎ 例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?‎ 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.‎ 解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.‎ 图5‎ 例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.‎ 解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.‎ 图6‎ 变式训练 ‎ α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )‎ A.α、β都平行于直线l、m B.α内有三个不共线的点到β的距离相等 C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β 分析：如图7,分别是A、B、C的反例.‎ ‎ ‎ 图7‎ 答案：D 点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.‎ 思路2‎ 例1 α∩β=l,aα,bβ,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.‎ 活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.‎ 解：如图8,直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.‎ 图8‎ 变式训练 ‎ α∩β=l,aα,bβ,b∩β=P,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.‎ 解：如图9,直线a、b的位置关系是相交、异面.‎ 图9‎ ‎ 直线a、b不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后可以证明.‎ 点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力.‎ 例2 如图10，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1‎ 的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，‎ 图10‎ ‎（1）画出l的位置；‎ ‎（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长.‎ 解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，‎ 则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.‎ QN即为所求作的直线l.如图10.‎ ‎（2）设QN∩A1B1=P,‎ ‎∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1,‎ ‎∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N,‎ ‎∴A1P=D1N=C1D1=a.‎ ‎∴PB1=A1B1－A1P=.‎ 变式训练 ‎ 画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.‎ 解：如图11,分别连接并延长线段EF、BD，‎ 图11‎ ‎∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P.‎ ‎∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线.‎ 点评：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点.‎ 知能训练 ‎ 三棱柱的各面把空间分成几部分?‎ 解：分为21部分.‎ 拓展提升 ‎ 已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a,‎ 求证：b、c是异面直线.‎ 证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交.‎ ‎(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.‎ ‎(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.‎ ‎∴ABβ,即bβ.这与b∩β=A矛盾.‎ ‎∴b,c是异面直线.‎ 课堂小结 ‎ 本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：‎ ‎ ①两个平面平行——没有公共点；‎ ‎ ②两个平面相交——有一条公共直线.‎ ‎ 另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.‎ 作业 ‎ 课本习题2.1 B组1、2、3.‎ 设计感想 ‎ 本节内容较少，与上一节课一样,教材没有讨论面面平行的判定和性质，只介绍了平面与平面的位置关系.平面与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力.‎