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- 2021-06-11 发布
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3.2.1几种不同增长的函数模型
【导学目标】
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并能在实际应用的背景中理解它们的增长差异。体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型。
2. 理解直线上升、对数增长、指数爆炸、幂函数增长的含义,及其各种函数模型性质的比较。
【自主学习】
知识回顾:
回顾指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质
新知梳理:
1.直线模型:即一次函数模型,是增函数,增长特点是直线匀速上升。现实生活中很多事例可以用直线模型表示,例如:匀速直线运动的时间和位移的关系、弹簧的伸长与拉力大小的关系等.
2.指数函数模型:指数函数增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数),形象地称之为“指数爆炸”.通过细胞分裂增长实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“爆炸”的威力.
3.对数函数模型:对数增长的特点是随着自变量的增大(底数),函数值增大的速度越来越慢.
4.幂函数模型:幂函数在上是增函数。指数越大,增长的越快。
思考探究:如何选取几种不同增长的函数模型,将成为利用函数模型,解决应用问题的关键所在:
增长速度不变的函数模型,是一次函数模型,
增长速度越来越快,呈“爆炸”式的函数模型,是指数型函数模型,
增长速度平稳的函数模型,是幂函数模型,
增长速度越来越慢的的函数模型,是对数型函数模型,
掌握各类函数的特征,正确理解题意、分析实质、对照归纳:
对点练习:1. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( ).
A. 一次函数 B. 二次函数
C. 指数型函数 D. 对数型函数
对点练习: 2. 下列函数中,增长速度最快的是( )
A. B.
C. D.
对点练习:3. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台,第2个月销售200台,第3个月销售400台,第4个月销售790台,则销量y与投放市场的月数x之间的关系可近似写成 .
4
【合作探究】
典例精析
例题1:假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0 .4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
变式训练:1.今有一组实验数据如下:
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
A. B.
C. D.
例题2、某汽车制造商在2013年初公告:随着金融危机的解除,公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
年份
2010
2011
2012
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>
4
0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系?
变式训练2:函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图.
(1)指出C1,C2分别对应图中哪一个函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).
例题3.有一种储蓄按复利计算利息,本金为元,每期利率为,设本利和为,存期为,写出本利和随存期变化的函数式。如果存入本金为1000元,每期利率为3%,试计算5期后的本利和。
4
变式训练3:工厂生产某种产品的月产量与月份满足关系,现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此工厂3月份该产品的产量为 万件.
【课堂小结】
4
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