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  • 2021-06-11 发布

北师版高中数学必修一第9讲:指数运算与指数函数(教师版)

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1 指数运算与指数函数 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 理解根式、分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质. 2、 掌握指数函数的概念、图像和性质。 一、有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂 ( ) n na a a a a n N         个 ; (2)零指数幂 )0(10  aa ; (3)负整数指数幂  1 0,n na a n Na     (4)0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1)  0, ,m n m na a a a m n Q   (2)   0, ,nm mna a a m n Q   (3)   0, 0,m m mab a b a b m Q    二、根式 1、根式的定义:一般地,如果 ax n  ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中   Nnn ,1 ,n a 叫 做根式, n 叫做根指数, a 叫被开方数。 2、对于根式记号 n a ,要注意以下几点: (1) n N , 且 1n  ; (2)当 n 是奇数,则 aan n  ;当 n 是偶数,则      0 0 aa aaaan n ; (3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零。 3、规定: (1)  0, , , 1 m n mna a a m n N n    ; (2)  1 1 0, , , 1 m n m n m n a a m n N n aa       2 三、对指数函数定义的理解 一般地,函数 )10(  aaay x 且 叫做指数函数。 1、定义域是 R 。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数,所以在 0a  的前提下, x 可以 是任意实数。 2、规定 0a  ,且 1a  的理由: (1)若 0a  , 0 0 0 x x x a x a    当 时, 恒等于 ; 当 时, 无意义。 (2)若 0a  , 如 ( 2)xy   ,当 1 4x  、 1 2 等时,在实数范围内函数值不存在。 (3)若 1a  , 1 1xy   ,是一个常量,没有研究的必要性。 为了避免上述各种情况,所以规定 0a  ,且 1a  。 3、式上的严格性: 指数函数的定义表达式 xy a 中, xa 前的系数必须是 1。自变量 x 在指数的位置上。比如 12 , 1,x x xy a y a y a     等, 都不是指数函数;有些函数看起来不像指数函数,实际上却是, 如 xy a ( 0 1)a a 且 ,因为它可以化为 1 x y a      ,其中 1 0a  ,且 1 1a  。 四、指数函数的图象和性质: 1a  0 1a  图象 性 质 定义域: R 值域: 0, 图像都过点  0,1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 特别提醒: 角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律: 在 y 轴右侧,图像从下往上相应的底数由小变大;在 y 轴左侧,图像从上往下相应的底数由小变 大。即不论在 y 轴右侧还是左侧,底数按逆时针增大。 五、比较幂值得大小 底数相同:利用函数的单调性进行比较; 指数相同:方法一:可转化为底数相同进行比较;方法二:可借助函数图像进行比较。指数函 数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律:即无论在 y 轴右侧还是在 y 轴左侧底 数按逆时针方向由小变大。 指数、底数都不同:可利用中间量进行比较。 六、指数方程的可解类型,可分为: 形如      0, 1f x g xa a a a   的方程,化为    f x g x 求解。 形如 2 0x xa b a c    的方程,可令 xt a 进行换元,转化成  2 0 0t bt c t    一元二次方程 进行求解。 七、指数不等式的解法: 当 1a  时 ,    f x g xa a 与    f x g x 同 解 , 当 0 1a  时 ,    f x g xa a 与 3    f x g x 同解。 类型一 根式与分数指数幂的互化 例 1:(1)用根式表示下列各式:a 1 5 ;a 3 4 ;a-2 3 ; (2)用分数指数幂表示下列各式: 3 a5; 3 a6; 1 3 a2 . 解析:(1)a 1 5 = 5 a;a 3 4 = 4 a3;a- 2 3 = 1 a 2 3 = 1 3 a2 . (2) 3 a5=a 5 3 ; 3 a6=a 6 3 =a2; 1 3 a2 = 1 a 2 3 =a- 2 3 . 答案:见解析 练习 1:把根式化为分数指数幂的形式: 4 a2b3=__________. 答案:a 1 2 b 3 4 练习 2:用根式表示下列各式:x 3 5 ;x- 1 3 . 答案:x 3 5 = 5 x3. x- 1 3 = 1 3 x . 类型二 根式与分数指数幂的混合运算 例 2:计算:1.5-1 3 +80.25× 4 2+( 2× 3)4- -2 3 2 3 . 解析:原式=(3 2 )- 1 3 +(23) 1 4 ×2 1 4 +(61 2 )4- 4 9 1 3 =(2 3 ) 1 3 +2 3 4 ×21 4 +62-(2 3 ) 1 3 =2+36 =38. 答案:38 练习 1:化简:1.5 1 3 × -7 6 0+80.25× 4 2+( 3 2× 3)6- -3 2 2 3; 答案:110 练习 2:(2014~2015 学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)化简 3-π 2+ 3 -π-3 3 =( ) A.-2π B.6 C.2π D.-6 答案:D 4 类型三 指数函数的定义 例 3:下列函数中,哪些是指数函数? ① y=10x;② y=10x+1;③ y=10x+1;④ y=2·10x; ⑤ y=(-10)x;⑥ y=(10+a)x(a>-10,且 a≠-9); ⑦ y=x10. 解析:①y=10x 符合定义,是指数函数; ②y=10x+1 是由 y=10x 和 y=10 这两个函数相乘得到的复合函数,不是指数函数; ③y=10x+1 是由 y=10x 和 y=1 这两个函数相加得到的复合函数; ④y=2·10x 是由 y=2 和 y=10x 这两个函数相乘得到的复合函数,不是指数函数; ⑤y=(-10)x 的底数是负数,不符合指数函数的定义; ⑥由于 10+a>0,且 10+a≠1,即底数是符合要求的常数,故 y=(10+a)x(a>-10,且 a≠-9) 是指数函数; ⑦y=x10 的底数不是常数,故不是指数函数. 综上可知,①、⑥是指数函数. 答案: ①、⑥ 练习 1:若函数 y=(a-3)·(2a-1)x 是指数函数,求 a 的值. 答案:4 练习 2:(2014~2015 学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则有( ) A.a=1 或 a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0 且 a≠1 答案:C 类型四 指数函数的图象和性质 例 4:函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.00 D.00,∴b<0. 答案:D 练习 1:若函数 y=ax+m-1(a>0)的图象经过第一、三和第四象限,则( ) A.a>1 B.a>1,且 m<0 C.00 D.01,所以指数函数 y=1.7x 在(-∞,+∞)上是增函数. ∵2.5<3,∴1.72.5<1.73. (2)考察函数 y=0.8x,由于 0<0.8<1, 所以指数函数 y=0.8x 在(-∞,+∞)上为减函数. ∵-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2. (3)由指数函数的性质得 1.70.3>1.70=1, 0.93.1<0.90=1, ∴1.70.3>0.93.1. 答案:< < > 练习 1: 比较下列各题中两个值的大小. (1)0.3x 与 0.3x+1; (2) 1 2 -2 与 2 1 2 . 答案:> > 练习 2: (2014~2015 学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)函数 f(x)=ax-1+2(a>0,a≠1) 恒过定点________. 答案:(1,3) 类型六 指数函数性质的综合应用 例 6: 函数 f(x)=x2-bx+c,满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(0)=3,比较 f(bx)与 f(cx)的大小. 解析:∵f(1+x)=f(1-x), ∴f(x)=x2-bx+c 的对称轴为 x=1. 即b 2 =1 ⇒ b=2.又 f(0)=3,∴c=3. ∴f(bx)=f(2x),f(cx)=f(3x). 若 x≥0,则 3x≥2x≥1,而 f(x)=x2-2x+3 在[1,+∞)上为增函数, ∴f(3x)≥f(2x),即 f(cx)≥f(bx), 若 x<0,则 0<3x<2x<1,而 f(x)=x2-2x+3 在(-∞,1)上为减函数, ∴f(3x)>f(2x),即 f(cx)>f(bx), 综上所述,f(cx)≥f(bx). 答案:f(cx)≥f(bx). 6 练习 1: (2015·陕西文,4 改编)设 f(x)= 1- x x≥0 2x x<0 ,则 f[f(-2)]=________. 答案:1 2 练习 2: 设函数 f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x -1,则 f(1 3 )、f(3 2 )、f(2 3 )的大小关系为__________. 答案:f(2 3 )<f(3 2 )<f(1 3 ) 1、把下列各式中的 a 写成分数指数幂的形式 (1) 5 256a  ;(2) 4 28a  ; 答案:(1) 1 5256a  ;(2) 1 428a   2、计算 (1) 3 29 ; (2) 3 216  答案:(1)  3 33 22 32 229 3 3 3 27      ;(2)  3 3 2 3 12 2 116 4 4 64 64        3、求下列各式的值 (1)  33 2 ; (2)  44 2 ; 答案:(1)  33 2 2   ; (2)  44 2 2  4、用分数指数幂的形式表示下列各式: (1) 2a a (2) 33 2 a a 答案:(1) 1 1 522 2 2 2 2a a a a a a       ; (2) 2 2 11333 2 3 3 3 3a a a a a a       5、若函数  2 2 3 x y a a   是一个指数函数,求实数 a 的取值范围。 答案:       ,1 5 1 5, 1 3,1 5 1 5,         6、函数 32 3xy   恒过定点 。 答案: 3,4 _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 7 基础巩固 1.(2014~2015 学年度河北刑台二中高一上学期月考)下列命题中正确命题的个数为( ) ① n an=a;②若 a∈R,则(a2-a+1)0=1;③ 3 x4+y3=x 4 3 +y;④ 3 -5= 6 -5 2. A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B 2.(2014~2015 学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)设 a>0,将 a2 a· 3 a2 写成 分数指数幂,其结果是( ) A.a 3 2 B.a 1 2 C.a 5 6 D.a 7 6 答案:D 3.(2014~2015 学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)计算:2- 1 2 + -4 0 2 + 1 2-1 - 1- 5 0=____. 答案:2 2 4.(2014~2015 学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若 a<1 4 ,则化简 4 4a-1 2的结果是 ( ) A. 1-4a B. 4a-1 C.- 1-4a D.- 4a-1 答案:A 5.(2014~2015 学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试)函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与 最小值的和为 3,则 a=( ) A.1 2 B.2 C.4 D.1 4 答案:B 能力提升 8 6 . (2014 ~ 2015 学 年 度 济 南 市 第 一 中 学 高 一 上 学 期 期 中 测 试 ) 若 函 数 f(x) = f x+2 x<2 2-x x≥2 ,则 f(-3)的值为( ) A.2 B.8 C.1 2 D.1 8 答案:D 7.(2014~2015 学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数 y=ax+1+1(a>0 且 a≠1)的图象 必经过定点________. 答案:(-1,2) 8.(2014~2015 学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则当 x<0 时,f(x)=________. 答案:3-2-x 9. (2014~2015 学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1) 是奇函数. (1)求常数 k 的值; (2)若 a>1,试判断函数 f(x)的单调性,并加以证明. 答案:(1)函数 f(x)的定义域为 R. 又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0, 即 k-1=0,∴k=1. (2)当 a>1 时,函数 f(x)是 R 上的增函数. 由(1)知 f(x)=ax-a-x. 设任意实数 x11,∴a x10. 又 1+ 1 a x1+x2 >0, ∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1). 9 故当 a>1 时,函数 f(x)在 R 上是增函数. 10. 已知定义域为 R 的函数 f(x)=b-2x 2x+a 是奇函数. (1)求 a、b 的值; (2)用定义证明 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数; (3)若对于任意 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的范围. 答案:(1)∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,b=1. 又 f(-1)=-f(1),得 a=1. (2)任取 x1,x2∈R,且 x10, 又(2 x1+1)(2 x2+1)>0,f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x)为 R 上的减函数. (3)∵t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立, ∴f(t2-2t)<-f(2t2-k). ∵f(x)是奇函数,∴f(t2-2t)k-2t2. 即 k<3t2-2t 恒成立, 而 3t2-2t=3(t-1 3 )2-1 3 ≥-1 3 , ∴k<-1 3 .