北师版高中数学必修一第9讲：指数运算与指数函数（教师版） 9页

1 指数运算与指数函数 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质． 2、 掌握指数函数的概念、图像和性质。 一、有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂 ( ) n na a a a a n N         个 ； （2）零指数幂 )0(10  aa ； （3）负整数指数幂  1 0,n na a n Na     （4）0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1）  0, ,m n m na a a a m n Q   （2）   0, ,nm mna a a m n Q   （3）   0, 0,m m mab a b a b m Q    二、根式 1、根式的定义：一般地，如果 ax n  ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中   Nnn ,1 ，n a 叫 做根式， n 叫做根指数， a 叫被开方数。 2、对于根式记号 n a ，要注意以下几点： （1） n N ， 且 1n  ； （2）当 n 是奇数，则 aan n  ；当 n 是偶数，则      0 0 aa aaaan n ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、规定： （1）  0, , , 1 m n mna a a m n N n    ； （2）  1 1 0, , , 1 m n m n m n a a m n N n aa       2 三、对指数函数定义的理解 一般地，函数 )10(  aaay x 且 叫做指数函数。 1、定义域是 R 。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在 0a  的前提下， x 可以 是任意实数。 2、规定 0a  ,且 1a  的理由： （1）若 0a  ， 0 0 0 x x x a x a    当 时， 恒等于 ； 当 时， 无意义。 （2）若 0a  ， 如 ( 2)xy   ，当 1 4x  、 1 2 等时，在实数范围内函数值不存在。 （3）若 1a  ， 1 1xy   ，是一个常量，没有研究的必要性。 为了避免上述各种情况，所以规定 0a  ,且 1a  。 3、式上的严格性： 指数函数的定义表达式 xy a 中， xa 前的系数必须是 1。自变量 x 在指数的位置上。比如 12 , 1,x x xy a y a y a     等， 都不是指数函数；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是， 如 xy a ( 0 1)a a 且 ，因为它可以化为 1 x y a      ，其中 1 0a  ，且 1 1a  。 四、指数函数的图象和性质： 1a  0 1a  图象 性 质 定义域： R 值域： 0, 图像都过点  0,1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 特别提醒： 角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律： 在 y 轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在 y 轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变 大。即不论在 y 轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。 五、比较幂值得大小 底数相同：利用函数的单调性进行比较； 指数相同：方法一：可转化为底数相同进行比较；方法二：可借助函数图像进行比较。指数函 数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：即无论在 y 轴右侧还是在 y 轴左侧底 数按逆时针方向由小变大。 指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。 六、指数方程的可解类型，可分为： 形如      0, 1f x g xa a a a   的方程，化为    f x g x 求解。 形如 2 0x xa b a c    的方程，可令 xt a 进行换元，转化成  2 0 0t bt c t    一元二次方程 进行求解。 七、指数不等式的解法： 当 1a  时 ，    f x g xa a 与    f x g x 同 解 ， 当 0 1a  时 ，    f x g xa a 与 3    f x g x 同解。 类型一 根式与分数指数幂的互化 例 1：(1)用根式表示下列各式：a 1 5 ；a 3 4 ；a－2 3 ； (2)用分数指数幂表示下列各式： 3 a5； 3 a6； 1 3 a2 . 解析：(1)a 1 5 ＝ 5 a；a 3 4 ＝ 4 a3；a－ 2 3 ＝ 1 a 2 3 ＝ 1 3 a2 . (2) 3 a5＝a 5 3 ； 3 a6＝a 6 3 ＝a2； 1 3 a2 ＝ 1 a 2 3 ＝a－ 2 3 . 答案：见解析 练习 1：把根式化为分数指数幂的形式： 4 a2b3＝__________. 答案：a 1 2 b 3 4 练习 2：用根式表示下列各式：x 3 5 ；x－ 1 3 . 答案：x 3 5 ＝ 5 x3. x－ 1 3 ＝ 1 3 x . 类型二 根式与分数指数幂的混合运算 例 2：计算：1.5－1 3 ＋80.25× 4 2＋( 2× 3)4－ －2 3 2 3 . 解析：原式＝(3 2 )－ 1 3 ＋(23) 1 4 ×2 1 4 ＋(61 2 )4－ 4 9 1 3 ＝(2 3 ) 1 3 ＋2 3 4 ×21 4 ＋62－(2 3 ) 1 3 ＝2＋36 ＝38. 答案：38 练习 1：化简：1.5 1 3 × －7 6 0＋80.25× 4 2＋( 3 2× 3)6－ －3 2 2 3； 答案：110 练习 2：(2014～2015 学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)化简 3－π 2＋ 3 －π－3 3 ＝( ) A．－2π B．6 C．2π D．－6 答案：D 4 类型三 指数函数的定义 例 3：下列函数中，哪些是指数函数？ ① y＝10x；② y＝10x＋1；③ y＝10x＋1；④ y＝2·10x； ⑤ y＝(－10)x；⑥ y＝(10＋a)x(a>－10，且 a≠－9)； ⑦ y＝x10. 解析：①y＝10x 符合定义，是指数函数； ②y＝10x＋1 是由 y＝10x 和 y＝10 这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数； ③y＝10x＋1 是由 y＝10x 和 y＝1 这两个函数相加得到的复合函数； ④y＝2·10x 是由 y＝2 和 y＝10x 这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数； ⑤y＝(－10)x 的底数是负数，不符合指数函数的定义； ⑥由于 10＋a>0，且 10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故 y＝(10＋a)x(a>－10，且 a≠－9) 是指数函数； ⑦y＝x10 的底数不是常数，故不是指数函数． 综上可知，①、⑥是指数函数． 答案: ①、⑥ 练习 1：若函数 y＝(a－3)·(2a－1)x 是指数函数，求 a 的值． 答案:4 练习 2：(2014～2015 学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( ) A．a＝1 或 a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0 且 a≠1 答案：C 类型四 指数函数的图象和性质 例 4：函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是( ) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．00，∴b<0. 答案：D 练习 1：若函数 y＝ax＋m－1(a>0)的图象经过第一、三和第四象限，则( ) A．a>1 B．a>1，且 m<0 C．00 D．01，所以指数函数 y＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵2.5<3，∴1.72.5<1.73. (2)考察函数 y＝0.8x，由于 0<0.8<1， 所以指数函数 y＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2. (3)由指数函数的性质得 1．70.3>1.70＝1， 0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1. 答案：< < > 练习 1: 比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与 0.3x＋1； (2) 1 2 －2 与 2 1 2 . 答案：> > 练习 2: (2014～2015 学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)函数 f(x)＝ax－1＋2(a>0，a≠1) 恒过定点________． 答案：(1,3) 类型六 指数函数性质的综合应用 例 6: 函数 f(x)＝x2－bx＋c，满足 f(1＋x)＝f(1－x)，且 f(0)＝3，比较 f(bx)与 f(cx)的大小． 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(x)＝x2－bx＋c 的对称轴为 x＝1. 即b 2 ＝1 ⇒ b＝2.又 f(0)＝3，∴c＝3. ∴f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)． 若 x≥0，则 3x≥2x≥1，而 f(x)＝x2－2x＋3 在[1，＋∞)上为增函数， ∴f(3x)≥f(2x)，即 f(cx)≥f(bx)， 若 x<0，则 0<3x<2x<1，而 f(x)＝x2－2x＋3 在(－∞，1)上为减函数， ∴f(3x)>f(2x)，即 f(cx)>f(bx)， 综上所述，f(cx)≥f(bx)． 答案：f(cx)≥f(bx)． 6 练习 1: (2015·陕西文，4 改编)设 f(x)＝ 1－ x x≥0 2x x<0 ，则 f[f(－2)]＝________. 答案：1 2 练习 2: 设函数 f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线 x＝1 对称，且当 x≥1 时，f(x)＝3x －1，则 f(1 3 )、f(3 2 )、f(2 3 )的大小关系为__________． 答案：f(2 3 )＜f(3 2 )＜f(1 3 ) 1、把下列各式中的 a 写成分数指数幂的形式 （1） 5 256a  ；（2） 4 28a  ； 答案：（1） 1 5256a  ；（2） 1 428a   2、计算 （1） 3 29 ； （2） 3 216  答案：（1）  3 33 22 32 229 3 3 3 27      ；（2）  3 3 2 3 12 2 116 4 4 64 64        3、求下列各式的值 （1）  33 2 ； （2）  44 2 ； 答案：（1）  33 2 2   ； （2）  44 2 2  4、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1） 2a a （2） 33 2 a a 答案：（1） 1 1 522 2 2 2 2a a a a a a       ； （2） 2 2 11333 2 3 3 3 3a a a a a a       5、若函数  2 2 3 x y a a   是一个指数函数，求实数 a 的取值范围。 答案：       ,1 5 1 5, 1 3,1 5 1 5,         6、函数 32 3xy   恒过定点 。 答案： 3,4 _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 7 基础巩固 1．(2014～2015 学年度河北刑台二中高一上学期月考)下列命题中正确命题的个数为( ) ① n an＝a；②若 a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③ 3 x4＋y3＝x 4 3 ＋y；④ 3 －5＝ 6 －5 2. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 2．(2014～2015 学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)设 a>0，将 a2 a· 3 a2 写成 分数指数幂，其结果是( ) A．a 3 2 B．a 1 2 C．a 5 6 D．a 7 6 答案：D 3．(2014～2015 学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)计算：2－ 1 2 ＋ －4 0 2 ＋ 1 2－1 － 1－ 5 0＝____. 答案：2 2 4．(2014～2015 学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若 a<1 4 ，则化简 4 4a－1 2的结果是 ( ) A． 1－4a B． 4a－1 C．－ 1－4a D．－ 4a－1 答案：A 5．(2014～2015 学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试)函数 y＝ax 在[0,1]上的最大值与 最小值的和为 3，则 a＝( ) A．1 2 B．2 C．4 D．1 4 答案:B 能力提升 8 6 ． (2014 ～ 2015 学 年 度 济 南 市 第 一 中 学 高 一 上 学 期 期 中 测 试 ) 若 函 数 f(x) ＝ f x＋2 x<2 2－x x≥2 ，则 f(－3)的值为( ) A．2 B．8 C．1 2 D．1 8 答案：D 7．(2014～2015 学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数 y＝ax＋1＋1(a>0 且 a≠1)的图象 必经过定点________． 答案：(－1,2) 8．(2014～2015 学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且当 x>0 时，f(x)＝2x－3，则当 x<0 时，f(x)＝________. 答案：3－2－x 9. (2014～2015 学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设函数 f(x)＝kax－a－x(a>0 且 a≠1) 是奇函数． (1)求常数 k 的值； (2)若 a>1，试判断函数 f(x)的单调性，并加以证明． 答案：(1)函数 f(x)的定义域为 R. 又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0， 即 k－1＝0，∴k＝1. (2)当 a>1 时，函数 f(x)是 R 上的增函数． 由(1)知 f(x)＝ax－a－x. 设任意实数 x11，∴a x10. 又 1＋ 1 a x1＋x2 >0， ∴f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)． 9 故当 a>1 时，函数 f(x)在 R 上是增函数． 10. 已知定义域为 R 的函数 f(x)＝b－2x 2x＋a 是奇函数． (1)求 a、b 的值； (2)用定义证明 f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数； (3)若对于任意 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的范围． 答案：(1)∵f(x)为 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，b＝1. 又 f(－1)＝－f(1)，得 a＝1. (2)任取 x1，x2∈R，且 x10， 又(2 x1＋1)(2 x2＋1)>0，f(x1)－f(x2)>0. ∴f(x)为 R 上的减函数． (3)∵t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立， ∴f(t2－2t)<－f(2t2－k)． ∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)k－2t2. 即 k<3t2－2t 恒成立， 而 3t2－2t＝3(t－1 3 )2－1 3 ≥－1 3 ， ∴k<－1 3 .