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  • 2021-06-11 发布

2021届高考数学一轮复习第七章解析几何第5讲椭圆课件

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第 5 讲 椭 圆 课标要求 考情风向标 1. 了解圆锥曲线的实际背景, 感受圆锥曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用 . 2. 经历从具体情境中抽象出 椭圆模型的过程,掌握它的定 义、标准方程、几何图形及简 单性质 . 3. 通过圆锥曲线的学习,进一 步体会数形结合的思想 椭圆作为解析几何知识的一个 重点,每年都是高考重点考查的 内容 . 主要考查椭圆的基础知识 —— 椭圆的定义、几何性质、标 准方程以及直线与椭圆的结合 问题,考查常见的数学思想方法 —— 函数与方程、数形结合、转 化与化归等 . 考查解析几何的本 质问题 —— 用代数的方法解决 几何问题 1. 椭圆的概念 在平面内到两定点 F 1 , F 2 的距离之和等于常数 2 a ( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹 ( 或集合 ) 叫做椭圆 . 这两定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做焦距 . a > c 集合 P = { M || MF 1 | + | MF 2 | = 2 a } , | F 1 F 2 | = 2 c ,其中 a > 0 , c > 0 ,且 a , c 为常数 . (1) 若 ________ ,则集合 P 为椭圆; (2) 若 a = c ,则集合 P 为线段; (3) 若 a < c ,则集合 P 为空集 . 标准方程 图形 性质 范围 - a ≤ x ≤ a - b ≤ y ≤ b - b ≤ x ≤ b - a ≤ y ≤ a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 性质 顶点 A 1 ( - a , 0) , A 2 ( a , 0) B 1 (0 ,- b ) , B 2 (0 , b ) A 1 (0 ,- a ) , A 2 (0 , a ) B 1 ( - b , 0) , B 2 ( b , 0) 轴 长轴 A 1 A 2 的长为 2 a ;短轴 B 1 B 2 的长为 2 b 焦距 | F 1 F 2 | = 2 c 离心率 a , b , c 的关系 c 2 = a 2 - b 2 ( 续表 ) B C A. a 2 = 2 b 2 C. a = 2 b B.3 a 2 = 4 b 2 D.3 a = 4 b B 答案: A 考点 1 椭圆的定义及应用 ( x + 4) 2 + y 2 = 1 和 ( x - 4) 2 + y 2 = 1 上的点,则 | PM | + | PN | 的最小 ) 值、最大值分别为 ( A.9,12 C.8,12 B.8,11 D.10,12 解析: 如图 D49 ,由椭圆及圆 的方程可知两圆圆心分别为 椭圆的两个焦点, 图 D49 由椭圆定义知 | PA | + | PB | = 2 a = 10 ,连接 PA , PB 分别与圆 相交于 M , N 两点,此时 | PM | + | PN | 最小,最小值为 | PA | + | PB | - 2 R = 8 ;连接 PA , PB 并延长,分别与圆相交于 M , N 两点, 此时 | PM | + | PN | 最大,最大值为 | PA | + | PB | + 2 R = 12 ,即最小值 和最大值分别为 8,12 ,故选 C. 答案: C A (1,1) 是一定点,则 | PA | + | PF | 的最大值为 ________ ,最小值为 ________. 图 D50 又由椭圆的定义,得 | KF 1 | + | KF 2 | = 2 a = 6. 故 | AN | + | BN | = 2(| KF 1 | + | KF 2 |) = 12. 图 D51 答案: 12 考点 2 椭圆的标准方程 例 2 : (1) 已知两圆 C 1 : ( x - 4) 2 + y 2 = 169 , C 2 : ( x + 4) 2 + y 2 = 9 ,动圆在圆 C 1 内部且和圆 C 1 相切,和圆 C 2 相外切,则动 圆圆心 M 的轨迹方程为 ________. 解析: (1) 设圆 M 的半径为 r ,则 | MC 1 | + | MC 2 | = (13 - r ) + (3 + r ) = 16 , | C 1 C 2 | = 8 , (2)(2019 年新课标 Ⅰ ) 已知椭圆 C 的焦点为 F 1 ( - 1,0) , F 2 (1,0) ,过 F 2 的直线与 C 交于 A , B 两点 . 若 | AF 2 | = 2| F 2 B | , | AB | ) = | BF 1 | ,则 C 的方程为 ( 答案: B (3) 已知圆 ( x + 2) 2 + y 2 = 36 的圆心为 M ,设 A 为圆上任一点, N (2,0) ,线段 AN 的垂直平分线交直线 MA 于点 P ,则动点 P 的 轨迹是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析: 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故 | PA | = | PN |. 又 AM 是圆的半径, ∴| PM | + | PN | = | PM | + | PA | = | AM | = 6>| MN |. 由椭圆的定义 知,点 P 的轨迹是椭圆 . 答案: B 【 规律方法 】 (1) 求曲线的方程 时,应从 “定形”“定 焦”“定式”“ 定量 ” 四个方面去思考 .“ 定形” 是指首先要 清楚所求曲线是椭圆还是双曲线; “ 定焦 ”是指要清楚焦点在 x 轴上还是在 y 轴上;“定式” 是指设出相应的方程; “ 定量 ” 是指计算出相应的参数 . (2) 求椭圆方程的关键是确定 a , b 的值,常利用椭圆的定 义解题 . 在解题时应注意 “ 六点 ” ( 即两个焦点与四个顶点 ) 对椭 圆方程的影响 . 当椭圆的焦点位置不明确时,应有两种情况,亦 讨论 . 考点 3 椭圆的几何性质 答案: B (2)(2018 年新课标 Ⅱ ) 已知 F 1 , F 2 是椭圆 C 的两个焦点, P 是 C 上的一点,若 PF 1 ⊥ PF 2 ,且 ∠ PF 2 F 1 = 60° ,则 C 的离心率 为 ( ) 答案: D 答案: A 【 规律方法 】 讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点 . 求离心率的常用方法有以下两种: ① 求得 a , c 的值,直接代入 用 b 2 = a 2 - c 2 消去 b ,转化成关于 e 的方程 ( 或不等式 ) 求解 . 思想与方法 ⊙ 利用函数与方程的思想求椭圆的方程 F ,过 F 的直线 l 与 C 交于 A , B 两点,点 M 的坐标为 (2,0). (1) 当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2) 设 O 为坐标原点,证明: ∠ OMA = ∠ OMB . 从而 k MA + k MB = 0 ,故 MA , MB 的倾斜角互补, ∴∠ OMA = ∠ OMB . 综上所述, ∠ OMA = ∠ OMB . 【 跟踪训练 】 1. 椭圆定义的集合语言: P = { M || MF 1 | + | MF 2 | = 2 a, 2 a > | F 1 F 2 |} 往往是解决计算问题的关键,如果题目的条件能转化为 动 点到两定点距离和为常数的问题可考虑利用椭圆定义,或涉 及椭圆上的点到焦点的距离,也可考虑椭圆定义 . 涉及椭圆的定 义时,要注意常数 2 a 大于焦距 2 c 这一隐含条件,即: (1) 当 | PF 1 | + | PF 2 | = 2 a >| F 1 F 2 | 时, P 的轨迹为椭圆; (2) 当 | PF 1 | + | PF 2 | = 2 a = | F 1 F 2 | 时, P 的轨迹为以 F 1 , F 2 为端 点的线段; (3) 当 | PF 1 | + | PF 2 | = 2 a <| F 1 F 2 | 时, P 的轨迹不存在 . 2. 求曲线的方程时,应从“定形”“定焦”“定式”“定 量”四个方面去思考 .“ 定形”是指首先要清楚所求曲线是椭 圆还是双曲线;“定焦”是指要清楚焦点在 x 轴上还是在 y 轴 上;“定式”指设出相应的方程;“定量”是指计算出相应的 参数 . 注意:若焦点位置不明确,可设方程为 mx 2 + ny 2 = 1( m >0 , n >0 , m ≠ n ) ,这样往往可以避免分类讨论 . 3. 讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点 . 求离心率的 得; ② 列出关于 a , b , c 的齐次式 ( 或不等式 ) ,利用 b 2 = a 2 - c 2 消去 b ,转化成 e 的方程 ( 或不等式 ) 求解 . 4. 直线与椭圆的位置关系主要涉及公共点问题 . 相交弦问题 . 实际上就是直线与椭圆方程联立的方程组 实数解的个数问题, 故: (1) 直线与椭圆相交 ⇔ Δ >0 ; (2) 直线与椭圆相切 ⇔ Δ = 0 ; (3) 直线与椭圆相离 ⇔ Δ <0. 在构造以 x 为自变量的目标函数时,要特别注意自变量 x 的范 围,忽略椭圆的这一几何性质是导致求最值出现错 误的主要原 因 .