2021届高考数学一轮复习第七章解析几何第5讲椭圆课件 37页

第 5 讲 椭 圆 课标要求 考情风向标 1. 了解圆锥曲线的实际背景， 感受圆锥曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用 . 2. 经历从具体情境中抽象出 椭圆模型的过程，掌握它的定 义、标准方程、几何图形及简 单性质 . 3. 通过圆锥曲线的学习，进一 步体会数形结合的思想 椭圆作为解析几何知识的一个 重点，每年都是高考重点考查的 内容 . 主要考查椭圆的基础知识 —— 椭圆的定义、几何性质、标 准方程以及直线与椭圆的结合 问题，考查常见的数学思想方法 —— 函数与方程、数形结合、转 化与化归等 . 考查解析几何的本 质问题 —— 用代数的方法解决 几何问题 1. 椭圆的概念 在平面内到两定点 F 1 ， F 2 的距离之和等于常数 2 a ( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹 ( 或集合 ) 叫做椭圆 . 这两定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距 . a ＞ c 集合 P ＝ { M || MF 1 | ＋ | MF 2 | ＝ 2 a } ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ，其中 a ＞ 0 ， c ＞ 0 ，且 a ， c 为常数 . (1) 若 ________ ，则集合 P 为椭圆； (2) 若 a ＝ c ，则集合 P 为线段； (3) 若 a < c ，则集合 P 为空集 . 标准方程 图形 性质 范围 － a ≤ x ≤ a － b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b － a ≤ y ≤ a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 性质 顶点 A 1 ( － a ， 0) ， A 2 ( a ， 0) B 1 (0 ，－ b ) ， B 2 (0 ， b ) A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) B 1 ( － b ， 0) ， B 2 ( b ， 0) 轴 长轴 A 1 A 2 的长为 2 a ；短轴 B 1 B 2 的长为 2 b 焦距 | F 1 F 2 | ＝ 2 c 离心率 a ， b ， c 的关系 c 2 ＝ a 2 － b 2 ( 续表 ) B C A. a 2 ＝ 2 b 2 C. a ＝ 2 b B.3 a 2 ＝ 4 b 2 D.3 a ＝ 4 b B 答案： A 考点 1 椭圆的定义及应用 ( x ＋ 4) 2 ＋ y 2 ＝ 1 和 ( x － 4) 2 ＋ y 2 ＝ 1 上的点，则 | PM | ＋ | PN | 的最小 ) 值、最大值分别为 ( A.9,12 C.8,12 B.8,11 D.10,12 解析： 如图 D49 ，由椭圆及圆 的方程可知两圆圆心分别为 椭圆的两个焦点， 图 D49 由椭圆定义知 | PA | ＋ | PB | ＝ 2 a ＝ 10 ，连接 PA ， PB 分别与圆 相交于 M ， N 两点，此时 | PM | ＋ | PN | 最小，最小值为 | PA | ＋ | PB | － 2 R ＝ 8 ；连接 PA ， PB 并延长，分别与圆相交于 M ， N 两点， 此时 | PM | ＋ | PN | 最大，最大值为 | PA | ＋ | PB | ＋ 2 R ＝ 12 ，即最小值 和最大值分别为 8,12 ，故选 C. 答案： C A (1,1) 是一定点，则 | PA | ＋ | PF | 的最大值为 ________ ，最小值为 ________. 图 D50 又由椭圆的定义，得 | KF 1 | ＋ | KF 2 | ＝ 2 a ＝ 6. 故 | AN | ＋ | BN | ＝ 2(| KF 1 | ＋ | KF 2 |) ＝ 12. 图 D51 答案： 12 考点 2 椭圆的标准方程 例 2 ： (1) 已知两圆 C 1 ： ( x － 4) 2 ＋ y 2 ＝ 169 ， C 2 ： ( x ＋ 4) 2 ＋ y 2 ＝ 9 ，动圆在圆 C 1 内部且和圆 C 1 相切，和圆 C 2 相外切，则动 圆圆心 M 的轨迹方程为 ________. 解析： (1) 设圆 M 的半径为 r ，则 | MC 1 | ＋ | MC 2 | ＝ (13 － r ) ＋ (3 ＋ r ) ＝ 16 ， | C 1 C 2 | ＝ 8 ， (2)(2019 年新课标 Ⅰ ) 已知椭圆 C 的焦点为 F 1 ( － 1,0) ， F 2 (1,0) ，过 F 2 的直线与 C 交于 A ， B 两点 . 若 | AF 2 | ＝ 2| F 2 B | ， | AB | ) ＝ | BF 1 | ，则 C 的方程为 ( 答案： B (3) 已知圆 ( x ＋ 2) 2 ＋ y 2 ＝ 36 的圆心为 M ，设 A 为圆上任一点， N (2,0) ，线段 AN 的垂直平分线交直线 MA 于点 P ，则动点 P 的 轨迹是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析： 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故 | PA | ＝ | PN |. 又 AM 是圆的半径， ∴| PM | ＋ | PN | ＝ | PM | ＋ | PA | ＝ | AM | ＝ 6>| MN |. 由椭圆的定义 知，点 P 的轨迹是椭圆 . 答案： B 【 规律方法 】 (1) 求曲线的方程 时，应从 “定形”“定 焦”“定式”“ 定量 ” 四个方面去思考 .“ 定形” 是指首先要 清楚所求曲线是椭圆还是双曲线； “ 定焦 ”是指要清楚焦点在 x 轴上还是在 y 轴上；“定式” 是指设出相应的方程； “ 定量 ” 是指计算出相应的参数 . (2) 求椭圆方程的关键是确定 a ， b 的值，常利用椭圆的定 义解题 . 在解题时应注意 “ 六点 ” ( 即两个焦点与四个顶点 ) 对椭 圆方程的影响 . 当椭圆的焦点位置不明确时，应有两种情况，亦 讨论 . 考点 3 椭圆的几何性质 答案： B (2)(2018 年新课标 Ⅱ ) 已知 F 1 ， F 2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF 1 ⊥ PF 2 ，且 ∠ PF 2 F 1 ＝ 60° ，则 C 的离心率 为 ( ) 答案： D 答案： A 【 规律方法 】 讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点 . 求离心率的常用方法有以下两种： ① 求得 a ， c 的值，直接代入 用 b 2 ＝ a 2 － c 2 消去 b ，转化成关于 e 的方程 ( 或不等式 ) 求解 . 思想与方法 ⊙ 利用函数与方程的思想求椭圆的方程 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，点 M 的坐标为 (2,0). (1) 当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2) 设 O 为坐标原点，证明： ∠ OMA ＝ ∠ OMB . 从而 k MA ＋ k MB ＝ 0 ，故 MA ， MB 的倾斜角互补， ∴∠ OMA ＝ ∠ OMB . 综上所述， ∠ OMA ＝ ∠ OMB . 【 跟踪训练 】 1. 椭圆定义的集合语言： P ＝ { M || MF 1 | ＋ | MF 2 | ＝ 2 a, 2 a ＞ | F 1 F 2 |} 往往是解决计算问题的关键，如果题目的条件能转化为 动 点到两定点距离和为常数的问题可考虑利用椭圆定义，或涉 及椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义 . 涉及椭圆的定 义时，要注意常数 2 a 大于焦距 2 c 这一隐含条件，即： (1) 当 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a >| F 1 F 2 | 时， P 的轨迹为椭圆； (2) 当 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a ＝ | F 1 F 2 | 时， P 的轨迹为以 F 1 ， F 2 为端 点的线段； (3) 当 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a <| F 1 F 2 | 时， P 的轨迹不存在 . 2. 求曲线的方程时，应从“定形”“定焦”“定式”“定 量”四个方面去思考 .“ 定形”是指首先要清楚所求曲线是椭 圆还是双曲线；“定焦”是指要清楚焦点在 x 轴上还是在 y 轴 上；“定式”指设出相应的方程；“定量”是指计算出相应的 参数 . 注意：若焦点位置不明确，可设方程为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m >0 ， n >0 ， m ≠ n ) ，这样往往可以避免分类讨论 . 3. 讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点 . 求离心率的 得； ② 列出关于 a ， b ， c 的齐次式 ( 或不等式 ) ，利用 b 2 ＝ a 2 － c 2 消去 b ，转化成 e 的方程 ( 或不等式 ) 求解 . 4. 直线与椭圆的位置关系主要涉及公共点问题 . 相交弦问题 . 实际上就是直线与椭圆方程联立的方程组 实数解的个数问题， 故： (1) 直线与椭圆相交 ⇔ Δ >0 ； (2) 直线与椭圆相切 ⇔ Δ ＝ 0 ； (3) 直线与椭圆相离 ⇔ Δ <0. 在构造以 x 为自变量的目标函数时，要特别注意自变量 x 的范 围，忽略椭圆的这一几何性质是导致求最值出现错 误的主要原 因 .