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- 2021-06-11 发布
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填空题满分练(5)
1.i 是虚数单位，(1－i)z＝2i，则|z|＝________.
答案 2
解析 由题意知 z＝ 2i
1－i
＝ 2i1＋i
1－i1＋i
＝－1＋i，则|z|＝ －12＋12＝ 2.
2.已知集合 P＝{x|－1≤x<2}，集合 Q＝ x|00，
则 3x＋4y 的最小值是________.
答案 16
解析 可行域如图所示，令 z＝3x＋4y，当动直线 3x＋4y－z＝0 过点 A 时，z 有最小值.又由
2x＋y－7＝0，
x＋2y－5＝0，
得 x＝3，
y＝1，
故 A(3,1)，但点 A(3,1)不在可行域内，故当直线过可行域内
的整点(4,1)时，z 有最小值 16.
5.已知一个样本为 x,1，y,5，若该样本的平均数为 2，则它的方差的最小值为________.
答案 3
解析 样本 x,1，y,5 的平均数为 2，故 x＋y＝2，故 s2＝1
4[(x－2)2＋(y－2)2＋10]＝5
2
＋1
4(x2＋y2)≥5
2
＋1
4
×x＋y2
2
＝5
2
＋1
4
×2＝3，当且仅当 x＝y＝1 时取等号，故方差的最小值是 3.
6.(2018·江苏省盐城市东台中学模拟)下面求 2＋5＋8＋…＋2 018 的值的伪代码中，正整数 m
的最大值为________.
I←2
S←0
While I0，|φ|<π)的部分图象如图所示，若将函数 f(x)的图象
向右平移π
6
个单位长度得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)＝________.
答案 2sin 2x＋π
3
解析 ∵由图象知，1
4T＝π
6
－ － π
12 ＝π
4
，
∴T＝π，ω＝2.
∵2sin 2× － π
12 ＋φ ＝2，
∴2× － π
12 ＋φ＝2kπ＋π
2
，k∈Z.
∵|φ|<π，∴φ＝2π
3
，则 f(x)＝2sin 2x＋2π
3 .
f(x) 的 图 象 向 右 平 移 π
6
个 单 位 长 度 后 得 到 的 图 象 解 析 式 为 g(x) ＝ 2sin 2 x－π
6 ＋2π
3 ＝
2sin 2x＋π
3 .
9.已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)与抛物线 y2＝8x 有相同的焦点 F，过点 F 且垂直于 x 轴的
直线 l 与抛物线交于 A, B 两点，与双曲线交于 C, D 两点，当 AB＝2CD 时，双曲线的离心率
为________.
答案 5＋1
2
解析 由题意知 F(2,0), c＝2，
∵过点 F 且垂直于 x 轴的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，与双曲线交于 C, D 两点，
在 y2＝8x 中，令 x＝2，则 y2＝16，即 y＝±4.
∴AB＝8，∴CD＝4，
将 x＝2 代入到双曲线的方程，可得 y＝±b 4
a2
－1，
则 2b 4
a2
－1＝4.
∵a2＋b2＝c2＝4，∴a＝ 5－1，
∴双曲线的离心率为 e＝c
a
＝ 2
5－1
＝ 5＋1
2
.
10.已知△ABC 的顶点 A∈平面α，点 B，C 在平面α的同侧，且 AB＝2，AC＝ 3，若 AB，AC
与α所成的角分别为π
3
，π
6
，则线段 BC 长度的取值范围为________.
答案 [1， 7]
解析 如图，过 B，C 作平面的垂线，垂足分别为 M，N，
则四边形 BMNC 为直角梯形.
在平面 BMNC 内，过 C 作 CE⊥BM 交 BM 于点 E.
又 BM＝2sin∠BAM＝2sin π
3
＝ 3，AM＝2cos π
3
＝1，
CN＝ 3sin∠CAN＝ 3sin π
6
＝ 3
2
，AN＝ 3cos π
6
＝3
2
，
所以 BE＝BM－CN＝ 3
2
，故 BC2＝MN2＋3
4.
又 AN－AM≤MN≤AM＋AN，
即 1
2
＝AN－AM≤MN≤AM＋AN＝5
2
，
所以 1≤BC2≤7，即 1≤BC≤ 7.
11.已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列，公差 d∈N*，且{an}中任意两项之和也是该
数列中的一项，若 a1＝6m，其中 m 为给定的正整数，则 d 的所有可能取值的和为__________.
答案 1
2(2m＋1－1)(3m＋1－1)
解析 ∵公差 d 是 a1＝6m 的约数，
∴d＝2i·3j(i，j＝0,1,2，…，m)，
∴d 的所有可能取值之和为 错误!i·错误!j＝1
2(2m＋1－1)·(3m＋1－1).
12.已知点 M 为单位圆 x2＋y2＝1 上的动点，点 O 为坐标原点，点 A 在直线 x＝2 上，则AM→ ·AO→
的最小值为________.
答案 2
解析 设 A(2，t)，M(cos θ，sin θ)，
则AM→ ＝(cos θ－2，sin θ－t)，AO→ ＝(－2，－t)，
所以AM→ ·AO→ ＝4＋t2－2cos θ－tsin θ.
又(2cos θ＋tsin θ)max＝ 4＋t2，
故AM→ ·AO→ ≥4＋t2－ 4＋t2.
令 s＝ 4＋t2，则 s≥2，又 4＋t2－ 4＋t2＝s2－s≥2，
当 s＝2，即 t＝0 时等号成立，故(AM→ ·AO→ )min＝2.
13.已知函数 f(x)＝x2－2mx＋m＋2，g(x)＝mx－m，若存在实数 x0∈R，使得 f(x0)<0 且 g(x0)<0
同时成立，则实数 m 的取值范围是________.
答案 (3，＋∞)
解析 当 m>0，x<1 时，g(x)<0，
所以 f(x)<0 在(－∞，1)上有解，
则 f1<0，
m>0
或
m>0，
Δ>0，
f1≥0，
m<1，
即 m>3 或
m>0，
m2－m－2>0，
3－m≥0，
m<1，
故 m>3.
当 m<0，x>1 时，g(x)<0，
所以 f(x)<0 在(1，＋∞)上有解，
所以 f1<0，
m<0，
此不等式组无解.
综上，m 的取值范围为(3，＋∞).
14.已知实数 a>0，函数 f(x)＝
ex－1＋a
2
，x＜0，
ex－1＋a
2x2－(a＋1)x＋a
2
，x≥0，
若关于 x 的方程 f(－f(x))＝e－a
＋a
2
有三个不等的实根，则实数 a 的取值范围是________.
答案 2，2＋2
e
解析 当 x＜0 时， f(x)为增函数，
当 x≥0 时， f′(x)＝ex－1＋ax－a－1, f′(x)为增函数，
令 f′(x)＝0，解得 x＝1，
故函数 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
最小值为 f(1)＝0.
由此画出函数 f(x)的图象如图所示.
令 t＝－f(x)，因为 f(x)≥0，所以 t≤0，
则有
f(t)＝e－a＋a
2
，
f(t)＝et－1＋a
2
，
解得－a＝t－1，
所以 t＝－a＋1，所以 f(x)＝a－1.
所以方程要有三个不同的实数根，
则需a
2
＜a－1＜1
e
＋a
2
，
解得 2＜a＜2
e
＋2.
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