浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第4节二倍角公式含解析 14页

第4节　二倍角公式 考试要求　掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.‎ 知 识 梳 理 二倍角公式 sin 2α＝2sin__αcos__α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝.‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ 二倍角公式变形 ‎(1)升降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；‎ sin αcos α＝sin 2α.‎ ‎(2)配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都成立.(　　)‎ ‎(2)二倍角正切公式左右两端有意义的范围不完全相同.(　　)‎ ‎(3)在使左右两端都有意义的条件下，二倍角正切公式才成立.(　　)‎ ‎(4)不存在α，使tan 2α＝2tan α.(　　)‎ 解析　当α＝0时，tan 2α＝2tan α，(4)不正确，如α＝0.‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.(2020·金华十校期末调研)已知x∈，sin x＝－，则tan 2x＝(　　)‎ A. B.－ ‎ C. D.－ 解析　因为x∈，sin x＝－，所以cos x＝＝，tan x＝＝－ ‎，则tan 2x＝＝－，故选D.‎ 答案　D ‎3.若α∈，则＋的值为(　　)‎ A.2cos B.－2cos C.2sin D.－2sin 解析　∵α∈，∴≤≤，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝－－＝－2sin.‎ 答案　D ‎4.已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f的值为(　　)‎ A. B.－ ‎ C. D.－ 解析　∵＋＝，∴cos＝sin，‎ ‎∴f(x)＝cos2－cos2 ‎＝cos2－sin2 ‎＝cos ‎＝－sin 2x，‎ 故f＝－sin＝－.‎ 答案　B ‎5.已知tan＝2，则cos 2α的值是________.‎ 解析　因为tan＝2，所以cos 2α＝－sin＝－＝－＝－.‎ 答案　－ ‎6.若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝__________，tan 2θ＝__________.‎ 解析　由题意知，因为sin θ＜0，tan θ＞0，所以cos θ＜0，又sin2θ＋cos2θ＝1，故cos θ＝－，又由tan θ＝＝，tan 2θ＝，‎ 可知tan 2θ＝.‎ 答案　－　 考点一　二倍角公式的正用 ‎【例1】 (1)(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎(2)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)‎ A.－ B.－ ‎ C. D. 解析　(1)由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.‎ 又α∈，所以2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，所以sin α＝.‎ ‎(2)sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.‎ 答案　(1)B　(2)A 规律方法　二倍角公式与其他公式应用时注意：“化异为同”，即“化异次为同次，化异角为同角”.‎ ‎【训练1】 (1)(一题多解)已知α为锐角，且tan α＝，则sin 2α＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎(2)若cos 2α＝2cos，α∈(0，π)，则sin 2α＝________，tan α＝________.‎ 解析　(1)法一　sin 2α＝＝＝＝，故选D.‎ 法二　由α为锐角，且tan α＝，得sin α＝，cos α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D.‎ ‎(2)cos 2α＝2cos，α∈(0，π)，得cos2α－sin2α＝cos α－sin α，α∈(0，π)，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α－sin α)　①，α∈(0，π)，当cos α－sin α＝0时，α＝；当cos α－sin α≠0时，①式化简为cos α＋sin α＝，α∈(0，π)，即sin＝1，α∈(0，π)，即α＝，综上所述，α＝，则sin 2α＝sin＝1，tan α＝tan＝1.‎ 答案　(1)D　(2)1　1‎ 考点二　二倍角公式的逆用 ‎【例2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D.2－1‎ ‎(2)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝________.‎ 解析　(1)原式＝4sin 40°－ ‎＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝，故选C.‎ ‎(2)原式＝cos 20°cos 40°··cos 80°‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ 答案　(1)C　(2) 规律方法　利用二倍角公式可对形如cos αcos 2αcos 4α…cos 2nα的式子进行化简和计算.‎ ‎【训练2】 (1)化简：＝________.‎ ‎(2)计算：＝________.‎ 解析　(1)原式＝ ‎＝＝ ‎＝＝cos 2α.‎ ‎(2)原式＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝－4.‎ 答案　(1)cos 2α　(2)－4 考点三　二倍角公式的变形应用 ‎【例3】 化简下列各式 ‎(1)＋2的化简结果是________.‎ ‎(2)(0<α<π)＝________.‎ 解析　(1)原式＝＋2 ‎＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，‎ 因为π<4<π，所以cos 4<0，且sin 40，所以原式＝cos α.‎ 答案　(1)－2sin 4　(2)cos α 规律方法　二倍角公式的常见变形有1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos 2α＝2cos2α，1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，及cos2α＝，sin2α＝，sin αcos α＝sin 2α等.‎ ‎【训练3】 求值：－sin 10°.‎ 解　原式＝－sin 10° ‎＝－sin 10°· ‎＝－sin 10°· ‎＝－2cos 10°＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ 基础巩固题组 一、选择题 ‎1.化简·的结果为(　　)‎ A.tan α B.tan 2α ‎ C.1 D. 解析　原式＝·＝＝tan 2α.‎ 答案　B ‎2.若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)‎ A.－ B.－ ‎ C. D. 解析　tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.‎ 答案　D ‎3.cos·cos·cos＝(　　)‎ A.－ B.－ ‎ C. D. 解析　cos·cos·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°‎ ‎＝－ ‎＝－ ‎＝－ ‎＝－＝－＝－.‎ 答案　A ‎4.化简sin2＋sin2－sin2α的结果是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　原式＝＋－sin2α ‎＝1－－sin2α ‎＝1－×2cos 2αcos －＝.‎ 答案　C ‎5.设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有(　　)‎ A.a＜c＜b B.a＜b＜c ‎ C.b＜c＜a D.c＜a＜b 解析　由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，∴c＜a＜b.‎ 答案　D ‎6.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)‎ A.2 B.3 ‎ C.4 D.5‎ 解析　令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin xcos x＝0，‎ ‎∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.‎ 又x∈[0，2π]，由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.‎ 故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个.故选B.‎ 答案　B 二、填空题 ‎7.若cos＝，则sin的值是________.‎ 解析　sin＝sin＝‎ cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ 答案　－ ‎8.已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________.‎ 解析　sin＝，得sin θ－cos θ＝，①‎ θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.‎ 答案　－ ‎9.已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.‎ 解析　∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，‎ ‎∴sin 2α＝＝，‎ ‎∴cos＝cos 2α－sin 2α ‎＝×－×＝.‎ 答案　 ‎10.已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则＝________.‎ 解析　∵sin θ－cos θ＝－，即cos θ－sin θ＝，cos＝，即cos＝.‎ ‎∵θ∈，∴<θ＋<，∴sin＝＝.‎ ‎∴＝ ‎＝ ‎＝(sin θ＋cos θ)＝2sin＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎11.已知函数f(x)＝－2sin x－cos 2x.‎ ‎(1)比较f，f的大小；‎ ‎(2)求函数f(x)的最大值.‎ 解　(1)因为f(x)＝－2sin x－cos 2x，‎ 所以f＝－2sin －cos＝－，‎ f＝－2sin －cos＝－，‎ 因为－>－，所以f>f.‎ ‎(2)因为f(x)＝－2sin x－(1－2sin2x)‎ ‎＝2sin2x－2sin x－1‎ ‎＝2－，‎ 令t＝sin x，t∈[－1，1]，所以y＝2－，‎ 因为对称轴t＝，‎ 根据二次函数性质知，当t＝－1时，函数取得最大值3.‎ ‎12.(2019·七彩阳光联盟三联)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上.‎ ‎(1)求cos 2α的值；‎ ‎(2)若角β满足tan(2α－β)＝1，求tan β的值.‎ 解　(1)由已知得tan α＝2，‎ 所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝ ‎＝－.‎ ‎(2)由(1)知tan 2α＝＝－，‎ 而tan β＝tan[2α－(2α－β)]＝ ‎＝＝7.‎ 能力提升题组 ‎13.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D.1‎ 解析　由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.故选B.‎ 答案　B ‎14.已知不等式f(x)＝3sin cos ＋cos2－＋m≤0对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.[，＋∞) B.(－∞，)‎ C.(－∞，－] D.[－，]‎ 解析　f(x)＝sin ＋＋m ‎＝＋m≤0，‎ ‎∴m≤－sin ，x∈，‎ 令g(x)＝－sin，x∈，‎ ‎∵－≤＋≤，‎ ‎∴g(x)min＝－，∴m∈(－∞，－].‎ 答案　C ‎15.(一题多解)(2019·江苏卷)已知＝－，则sin的值是________.‎ 解析　法一　由＝＝＝－，解得 tan α＝2或－.‎ sin＝ ‎＝(2sin αcos α＋2cos2α－1)‎ ‎＝(sin αcos α＋cos2α)－ ‎＝·－ ‎＝·－，‎ 将tan α＝2和－分别代入得sin＝.‎ 法二　∵＝＝－，‎ ‎∴sin αcos＝－cos αsin.①‎ 又sin ＝sin ‎＝sincos α－cossin α＝，②‎ 由①②解得sin αcos＝－，‎ cos αsin＝.‎ ‎∴sin＝sin ‎＝sin αcos＋cos αsin＝.‎ 答案　 ‎16.若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝__________；cos＝__________.‎ 解析　因为sin 2θ＝，θ∈，所以sin θ＞0，cos θ＞0，且sin θ＞cos θ，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝＝，所以sin θ＋cos θ＝，同理可得sin θ－cos θ＝，所以sin θ＝.‎ 因为θ∈，sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－，‎ 所以cos＝cos 2θ－sin 2θ＝－.‎ 答案　　－ ‎17.已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)－1.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若f(x0)＝，x0∈，求sin 2x0的值.‎ 解　(1)因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，‎ 所以f＝2sin＝2sin ＝2.‎ ‎(2)由上可知f(x0)＝2sin＝，‎ 所以sin＝.‎ 由x0∈，得2x0＋∈.‎ 由0