【数学】2020一轮复习北师大版（理）34　归纳与类比作业 7页

课时规范练34　归纳与类比 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.(2018河北衡水枣强中学期中,7)下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是(　　)‎ ‎①y=cos x(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cos x(x∈R)是周期函数.‎ A.①②③ B.②①③‎ C.②③① D.③②①‎ ‎2.(2018安徽合肥一中冲刺,7)观察下图:‎ ‎1‎ ‎2　3　4‎ ‎3　4　5　6　7‎ ‎4　5　6　7　8　9　10‎ ‎……‎ 则第(　　)行的各数之和等于2 0172.‎ A.2 010 B.2 018 C.1 005 D.1 009‎ ‎3.(2018河北辛集中学月考,10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:‎ 他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数,由以上规律,则这些三角形数从小到大形成一个数列{an},那么a10的值为(　　)‎ A.45 B.55 C.65 D.66‎ ‎4.(2018吉林梅河口五中期中,9)在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就座,且相邻座位(如1与2,2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在1号位置上,则4号位置上坐的是(　　)‎ 小林 小方 小马 体育兴 趣爱好 篮球,网球,‎ 羽毛球 足球,排球,‎ 跆拳道 篮球,棒球,‎ 乒乓球 小张 小李 小周 体育兴 趣爱好 击剑,网球,‎ 足球 棒球,排球,‎ 羽毛球 跆拳道,击 剑,自行车 A.小方 B.小张 C.小周 D.小马 ‎5.(2018黑龙江哈尔滨二模,9)对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:‎ ‎22=1+3,‎ ‎32=1+3+5,‎ ‎42=1+3+5+7,‎ ‎23=3+5,‎ ‎33=7+9+11,‎ ‎43=13+15+17+19.‎ 根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n=(　　)‎ A.10 B.11 C.12 D.13‎ ‎6.(2018河南信阳一中模拟,9)若“*”表示一种运算,满足如下关系:(1)1*1=1;(2)(n+1)*1=3(n*1)(n∈N+),则n*1=(　　)‎ A.3n-2 B.3n+1 C.3n D.3n-1‎ ‎7.(2018河北衡水中学五模,8)下面推理过程中使用了类比推理方法,其中推理正确的个数是(　　)‎ ‎①“数轴上两点间距离公式为|AB|=‎(x‎2‎-‎x‎1‎‎)‎‎2‎,平面上两点间距离公式为|AB|=‎(x‎2‎-x‎1‎‎)‎‎2‎+(y‎2‎-‎y‎1‎‎)‎‎2‎”,类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB|=‎(x‎2‎-x‎1‎‎)‎‎2‎+(y‎2‎-y‎1‎‎)‎‎2‎+(z‎2‎-‎z‎1‎‎)‎‎2‎”;‎ ‎②“代数运算中的完全平方公式(a+b)2=a2+2a·b+b2”类比推出“向量中的运算(a+b)2=a2+2a·b+b2仍成立”;‎ ‎③“平面内两条不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两条不重合的直线不平行就相交”也成立;‎ ‎④“圆x2+y2=1上点P(x0,y0)处的切线方程为x0x+y0y=1”,类比推出“椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为x‎0‎xa‎2‎‎+‎y‎0‎yb‎2‎=1”.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8.(2018福建三明一中期末,11)观察图形:‎ ‎…‎ 则第30个图形比第27个图形中的“☆”多(　　)‎ A.59颗 B.60颗 C.87颗 D.89颗 ‎9.(2018河北衡水一模,14)已知自主招生考试中,甲、乙、丙三人都恰好报考了清华大学、北京大学中的某一所大学,三人分别给出了以下说法:‎ 甲说:“我报考了清华大学,乙也报考了清华大学,丙报考了北京大学.”‎ 乙说:“我报考了清华大学,甲说得不完全对.”‎ 丙说:“我报考了北京大学,乙说得对.”‎ 已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对,则报考了北京大学的是　　　　　. ‎ ‎10.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=‎2Sa+b+c;类比这个结论可知,四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,四面体ABCD的体积为V,内切球半径为R,则R=　　　　. ‎ ‎11.(2018中山模拟,14)在△ABC中,不等式‎1‎A‎+‎1‎B+‎1‎C≥‎‎9‎π成立;在凸四边形ABCD中,不等式‎1‎A‎+‎1‎B+‎1‎C+‎1‎D≥‎‎16‎‎2π成立;在凸五边形ABCDE中,不等式‎1‎A‎+‎1‎B+‎1‎C+‎1‎D+‎1‎E≥‎‎25‎‎3π成立…依此类推,在凸n边形A1A2…An中,不等式‎1‎A‎1‎‎+‎‎1‎A‎2‎+…+‎1‎An≥　　　　　成立. ‎ ‎12.(2018河北保定模拟,17)数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2‎nSn(n∈N+).证明:‎ ‎(1)数列Snn是等比数列;‎ ‎(2)Sn+1=4an.‎ 综合提升组 ‎13.(2018河南中原名校五联,10)老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌,分别是红桃A,梅花A,方片A以及黑桃A,让小明、小红、小张、小李四个人进行猜测:‎ 小明说:第1个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里面放的是方片A;‎ 小红说:第2个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里放的是黑桃A;‎ 小张说:第4个盒子里面放的是黑桃A,第2个盒子里面放的是方片A;‎ 小李说:第4个盒子里面放的是红桃A,第3个盒子里面放的是方片A;‎ 老师说:“小明、小红、小张、小李,你们都只说对了一半.”则可以推测,第4个盒子里装的是(　　)‎ A.红桃A或黑桃A B.红桃A或梅花A C.黑桃A或方片A D.黑桃A或梅花A ‎14.(2018湖南岳阳一模,9)将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放,从上往下依次为第1层,第2层,第3层,…,则第2 018层正方体的个数共有(　　)‎ A.2 018 B.4 028‎ C.2 037 171 D.2 009 010‎ ‎15.‎ 如图,我们知道,圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×R+r‎2‎.所以,圆环的面积等于以线段AB=R-r为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×R+r‎2‎为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中014 900成立的最小an位于第m群,则m=(　　)‎ A.11 B.10 C.9 D.8‎ ‎17.(2018黑龙江仿真模拟四,14)已知命题:在平面直角坐标系xOy中,椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),△ABC的顶点B在椭圆上,顶点A,C分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e,则sinA+sinCsinB‎=‎‎1‎e,现将该命题类比到双曲线中,△ABC的顶点B在双曲线上,顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点,设双曲线的方程为x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),双曲线的离心率为e,则有　　　　　. ‎ 参考答案 课时规范练34　归纳与类比 ‎1.B　根据“三段论”:“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知:①y=cos x(x∈R)是三角函数是“小前提”;②三角函数是周期函数是“大前提”;③y=cos x(x∈R)是周期函数是“结论”.故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.‎ ‎2.D　由图形知,第一行各数和为1;第二行各数和为9=32;第三行各数和为25=52;第四行各数和为49=72,…,∴第n行个数之和为(2n-1)2,令(2n-1)2=2 0172⇒2n-1=2 017,解得n=1 009,故选D.‎ ‎3.B　a1=1,a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+3+4,故a10=1+2+3+4+…+10=55,故选B.‎ ‎4.A　依据题意可得从1~6号依次为小林、小马、小李、小方、小周、小张,则4号位置上坐的是小方,故选A.‎ ‎5.B　∵m2=1+3+5+…+11=‎1+11‎‎2‎×6=36,∴m=6,∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29,∵n3的分解中最小的数是21,∴n3=53,n=5.∴m+n=6+5=11,故选B.‎ ‎6.D　由题设:①1*1=1,②(n+1)*1=3(n*1),则n*1=3((n-1)*1)=3×3((n-2)*1)=…=3n-1(1*1)=3n-1.故选D.‎ ‎7.C　对于①,根据空间内两点间距离公式可知,类比正确;对于②,(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a2+a·b+b·a+b2=a2+2a·b+b2,类比正确;对于③,在空间内不平行的两条直线,有相交和异面两种情况,类比错误;对于④,椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为x‎0‎xa‎2‎+y‎0‎yb‎2‎=1,为真命题,综合上述,可知正确个数为3个,故选C.‎ ‎8.C　设第n个图形“☆”的个数为an,则a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,‎ an=1+2+…+n=n(n+1)‎‎2‎,∴第30个图形比第27个图形中的“☆”多的个数为:‎ ‎30×31‎‎2‎‎-‎27×28‎‎2‎=87.故选C.‎ ‎9.甲、丙　若甲说得不对,则乙、丙说得对,即乙一定报考了清华大学,丙一定报考了北京大学,甲只可能报考了北京大学.若乙、丙说得不对,则得出与“甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对”矛盾,所以报考了北京大学的是甲、丙.所以填甲、丙.‎ ‎10.‎3VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎　三角形的面积类比四面体的体积,三角形的边长类比四面体四个面的面积,内切圆半径类比内切球的半径,二维图形中的“2”类比三维图形中的“3”,得R=‎3VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎.‎ ‎11.n‎2‎‎(n-2)π(n∈N+,n≥3)　∵‎1‎A+‎1‎B+‎1‎C≥‎9‎π=‎3‎‎2‎π,‎ ‎1‎A‎+‎1‎B+‎1‎C+‎1‎D≥‎16‎‎2π=‎4‎‎2‎‎2π,‎ ‎1‎A‎+‎1‎B+‎1‎C+‎1‎D+‎1‎E≥‎25‎‎3π=‎5‎‎2‎‎3π,…,‎ ‎∴‎1‎A‎1‎+‎1‎A‎2‎+…+‎1‎An≥n‎2‎‎(n-2)π(n∈N+,n≥3).‎ ‎12.证明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+2‎nSn,‎ ‎∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.‎ ‎∴Sn+1‎n+1‎=2·Snn,又S‎1‎‎1‎=1≠0,(小前提)‎ 故Snn是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)‎ ‎(2)由(1)可知Sn+1‎n+1‎=4·Sn-1‎n-1‎(n≥2),‎ ‎∴Sn+1=4(n+1)·Sn-1‎n-1‎=4·n-1+2‎n-1‎·Sn-1=4an(n≥2),(小前提)‎ 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)‎ ‎13.A　因为四个人都只猜对了一半,故有以下两种可能:‎ ‎(1)当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时,第3个盒子里面放的不是方片A,则小李猜对第4个盒子里面放的是红桃A,小张猜对第2个盒子里面放的是方片A,小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A;‎ ‎(2)若小明猜对的是第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A,小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A,小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子只能是红桃A,故选A.‎ ‎14.C　设第n层正方体的个数为an,则a1=1,an-an-1=n,所以an-a1=2+3+…+n,即an=1+2+3+…+n=n(n+1)‎‎2‎,n≥2,故a2 018=1 009×2 019=2 037 171,故选C.‎ ‎15.2π2r2d　平面区域M的面积为πr2,由类比知识可知:平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎,旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底,以O为圆心、d为半径、圆的周长2πd为高的圆柱的体积,所以旋转体的体积V=πr2×2πd=2π2r2d.‎ ‎16.B　由题意得到该数列的前r组共有1+2+3+4…+r=r(1+r)‎‎2‎个元素,其和为Sr(r+1)‎‎2‎=1+(1+3)+(1+3+32)+…+(1+3+32+…+3r-1)=‎3‎r+1‎‎-2r-3‎‎4‎,‎ 则r=9时,S(45)=‎3‎‎10‎‎-2×9-3‎‎4‎=14 757,r=10,S(55)=44 281>14 900,‎ 故使得N>14 900成立的最小值a位于第10群.‎ 故答案为B.‎ 点睛 这个题目考查的是新定义题型,属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目,可以先找一些特殊情况,总结一下规律,再进行推广,得到递推关系,或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.‎ ‎17.‎|sinA-sinC|‎sinB=‎1‎e　将该命题类比到双曲线中,‎ 因为△ABC的顶点B在双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)上,‎ 顶点A、C分别是双曲线的左、右焦点,所以有|BA|-|BC|=2a,‎ 所以‎1‎e=‎2a‎2c=‎|BA-BC|‎AC,‎ 由正弦定理可得BCsinA=ACsinB=ABsinC,‎ 所以‎|sinA-sinC|‎sinB=‎1‎e,‎ 故答案为‎|sinA-sinC|‎sinB=‎1‎e.‎