专题07 不等式-备战2021年高考数学（文）之纠错笔记系列（原卷版） 19页

1 专题 07 不等式 易错点 1 忽视不等式隐含条件致误 设 2( )f x ax bx  ，若 1≤ ( 1)f  ≤2,2≤ (1)f ≤4，则 ( 2)f  的取值范围是________． 【错解】由 1 ( 1) 2 2 (1) 4 f f       得 1 2 2 4 a b a b        ① ② ，①＋②得： 3 32 a  ， ②−①得： 1 12 b  . 由此得 4≤ ( 2)f  =4a−2b≤11，所以 ( 2)f  的取值范围是[4,11]． 【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 ( 2)f  的范围扩大． 【试题解析】解法一：设 ( 2)f  =m ( 1)f  ＋n (1)f (m、n 为待定系数)，则 4a−2b=m(a−b)＋n(a＋b)，即 4a−2b=(m＋n)a＋(n−m)b，于是得 4 2 m n n m       ，解得 3 1 m n    .∴ ( 2)f  =3 ( 1)f  ＋ (1)f ． 又∵1≤ ( 1)f  ≤2,2≤ (1)f ≤4，∴5≤3 ( 1)f  ＋ (1)f ≤10，即 5≤ ( 2)f  ≤10. 解法二：由 ( 1) (1) f a b f a b       ，得 1[ ( 1) (1)]2 1[ (1) ( 1)]2 a f f b f f         ，∴ ( 2)f  =4a−2b=3 ( 1)f  ＋ (1)f ． 又∵1≤ ( 1)f  ≤2,2≤ (1)f ≤4，∴5≤3 ( 1)f  ＋ (1)f ≤10，即 5≤ ( 2)f  ≤10. 解法三：由题意，得 1 2 2 4 a b a b        ，确定的平面区域如图中阴影部分所示. 当 ( 2)f  =4a−2b 过点 3 1( , )2 2A 时，取得最小值 3 14 2 52 2     ； 2 当 ( 2)f  =4a−2b 过点 B(3,1)时，取得最大值 4×3−2×1=10，∴5≤ ( 2)f  ≤10. 【答案】[5,10] （1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运 算求得整体范围； （2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围． 1．已知 ，  满足 1 1 1 2 3             ，则 3  的取值范围是 A． 1,7 B． 5,13 C． 5,7 D． 1,13 【答案】A 【解析】设 3  =λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β． 比较α、β的系数，得 1 2 3 v v        ，从而解出λ=﹣1，v=2． 由 1 1 1 2 3             得 1 1 2 2 4 6              ，两式相加，得 1≤ 3  ≤7． 故 3  的取值范围是[1，7]．故选 A. 【名师点睛】本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．该问题是已知不等关系求范 围的问题，可以用待定系数法来解决． 易错点 2 忽略不等式性质成立的条件 给出下列命题： 3 ①若 , 0a b c  ,则 c c a b  ； ②若 3 3ac bc  ，则 a b ； ③若 a b 且 *k N ,则 k ka b ； ④若 0c a b   ,则 a b c a c b   . 其中正确命题的序号是 . 【错解】① 1 1a b a b    ,又 0c  ,则 c c a b  ，故①正确；②当 0c  时， a b ,故②不正确； ③正确；④由 0c a b   知 0c a c b    ,∴ 1 10 c a c b    ，故 a a b c a c b c b     ,故④不正 确.故填①③. 【错因分析】①③忽略了不等式性质成立的条件；④中的推论显然不正确. 【试题解析】①当 ab<0 时， c c a b  不成立，故①不正确； ②当 c<0 时，a>b 不成立,故②不正确； ③当 a=1,b=−2,k=2 时，命题不成立，故③不正确； ④由 a>b>0  −a<−b<0  0b ⇒ ac2>bc2；若无 c≠0 这个条件， a>b ⇒ ac2>bc2 就是错误结论(当 c＝0 时，取“＝”)． (3)“a>b>0 ⇒ an>bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n 为大于 1 的自然数，a>b>0”，假如去掉“n 为大于 1 的自然 数”这个条件，取 n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取 a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论． 2．下列不等式中，正确的是 4 A．若 ,a b c d  ，则 a c b d   B．若 a b ，则 a c b c   C．若 ,a b c d  ，则 ac bd D．若 ,a b c d  ，则 a b c d  【答案】A 【解析】若 a b ，则 a c b c   ,故 B 错； 设 3, 1, 1, 2a b c d      ,则 ac bd ， a b c d  ，所以 C、D 错. 故选 A. 【名师点睛】本题考查不等式的性质，注意正、负号的应用.根据不等式的性质和代特殊值逐一排除即可. 错点 3 忽略对二次项系数的讨论导致错误 已知关于 x 的不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 恒成立，则 m 的取值范围为______________． 【错解】由于不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 对一切实数 x 都成立， 所以 m＜0 且Δ＝m2－4m(m－1)＜0， 解得 m＜0．故实数 m 的取值范围为(－∞，0)． 【错因分析】由于本题中 x2 的系数含有参数，且当 m＝0 时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨 论 m 的值是否为 0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解． 【试题解析】由于不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 对一切实数 x 都成立， 当 m＝0 时，－1＜0 恒成立；当 m≠0 时，易知 m＜0 且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得 m＜0． 综上，实数 m 的取值范围为(－∞，0]． 【答案】(－∞，0] 解一元二次不等式的一般步骤 一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． 二判：计算对应方程的判别式． 三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． 四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 5 3．已知命题“ 2, 1 0x ax ax    R ”为真命题,则实数 a 的取值范围是__________. 【答案】 0,4 【解析】由题意得不等式 2 1 0ax ax   对 xR 恒成立． ①当 0a  时，不等式1 0 在 R 上恒成立，符合题意． ②当 0a  时，若不等式 2 1 0ax ax   对 xR 恒成立，则 2 0 4 0 a a a      ，解得 0 4a  ． 综上可得 0 4a  ，所以实数 a 的取值范围是 0,4 ． 【名师点睛】不等式 2 0ax bx c ＋ ＋ 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 0a＝ 时， 0, 0b c ＝ 或当 0a  时， 0 0 a    ；不等式 2 0ax bx c ＋ ＋ 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 0a＝ 时， 0, 0b c ＝ 或当 0a  时， 0 0 a    ． 解不等式恒成立问题的技巧 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方， 恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或 用分离参数法求最值． (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围， 谁就是参数. 易错点 4 解含参不等式时不能正确分类导致错误 解不等式 ( 2) 1( )1 a x ax    R ． 6 【错解】原不等式可化为 ( 2) 1 01 a x x    ，即 ( 2) ( 1) 01 a x x x     ， 等价于[( 1) (2 1)]( 1) 0a x a x     ，即 2 1( )( 1) 01 ax xa    ， 因为 2 1 11 1 a a a a     ，所以 当 01 a a  ，即 1a  或 0a  时， 2 1 11 a a   ； 当 01 a a  ，即 0a  时， 2 1 11 a a   ； 当 01 a a  ，即 0 1a  时， 2 1 11 a a   ． 综上，当 1a  或 0a  时，原不等式的解集为{ | 1x x  或 2 1}1 ax a   ； 当 0a  时，原不等式的解集为{ | 1}x x  ； 当 0 1a  时，原不等式的解集为 2 1{ | 1 ax x a   或 1}x  ． 【错因分析】显然当 a＝0 时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非 同解变形，因为 a－1 的符号是不确定的，错解中仅考虑了当 a－1＞0 时的情况． 【试题解析】显然当 0a  时，原不等式是不成立的． 当 a≠0 时原不等式可化为 ( 2) 1 01 a x x    ，即 ( 2) ( 1) 01 a x x x     ， 等价于[( 1) (2 1)]( 1) 0a x a x     (*)， 当 1a  时，(*)式可转化为 ( 1) 0x   ，即 1 0x   ，即 1x  ． 当 1a  时，(*)式可转化为 2 1( )( 1) 01 ax xa    ． 当 1a  时，(*)式可转化为 2 1( )( 1) 01 ax xa    ． 又当 1a  时， 2 1 11 1 a a a a     ， 所以当 1a  或 0a  时， 2 1 11 a a   ； 当 0 1a  时， 2 1 11 a a   ． 综上，当 1a  时，原不等式的解集为{ | 1x x  或 2 1}1 ax a   ； 当 1a  时，原不等式的解集为{ | 1}x x  ； 当 0 1a  时，原不等式的解集为 2 1{ | 1}1 ax xa    ； 7 当 0a  时，原不等式的解集为； 当 0a  时，原不等式的解集为 2 1{ |1 }1 ax x a    ． 在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小．在不等式转化 的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出 错． 4．已知   21 2 1 0m x m x      ，其中 0 2m  . （1）解关于 x 的不等式； （2）若 1x  时，不等式恒成立，求实数 m 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）1 2m  . 【解析】（1）    [ 1 1] 1 0m x x    ， 0 2m  . 当 1 0m   时，不等式为 1 0x   ，不等式的解集为 | 1x x  ； 当 1 0m   时，不等式的解集为 1{ | 1 }1x x x m    或 ； 当 1 0m   时，不等式的解集为 1{ |1 }1x x m    . 综上得：当 1m  时，不等式的解集为 | 1x x  ；当 0 1m  时，不等式的解集为 1{ |1 }1x x m    ； 当1 2m  时，不等式的解集为 1{ | 1 }1x x x m    或 . （2） 1x  时,不等式恒成立即为 1 1 0m x   恒成立, ∴ 11m x   ， ∴ 1m  ， ∴1 2m  . 【名师点睛】（1）本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理转化能力. （2）解答第 2 问的关键是转化，先转化为 1 1 0m x   恒成立，再转化为 11m x   恒成立，即得 m 8 的取值范围. 解含有参数的一元二次不等式的步骤： (1)二次项系数若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正 的形式． (2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与 0 的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 易错点 5 不能准确把握目标函数的几何意义致误 设变量 x，y 满足约束条件 2 2 0 2 4 0 1 0 x y x y x           ，则目标函数 z=3x−2y 的最小值为 A．−5 B．−4 C．−2 D．3 【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线 z=3x−2y 平移到过点(1,0)时取得最小值， 即 zmin=3×1−2×0=3.故选 D. 【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确 理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导致 目标函数的最小值求解错误． 【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线 3x−2y=z 平移 到过点(0,2)时，z=3x−2y 的值最小，最小值为−4，故选 B. 9 形如 z=Ax＋By(B≠0)，即 A zy xB B    ， z B 为该直线在 y 轴上的截距，z 的几何意义就是该直线在 y 轴上 截距的 B 倍，至于 z 与截距能否同时取到最值，还要看 B 的符号． 5．若实数 x ， y 满足约束条件 2, 2 3 9, 0, x y x y x        则 2 2z x y  的最大值是 A． 10 B． 4 C．9 D．10 【答案】D 【解析】由实数 x ， y 满足约束条件 2, 2 3 9, 0, x y x y x        作出可行域，如图.  0 3A  ， ，  0 2C ， ，联立 2 2 3 9 x y x y      解得  3 1B ， ， 2 2x y 的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值为  22 23 1 10OB     . 故选 D. 【名师点睛】本题主要考查了简单的线性规划和二元一次不等式组，在求目标函数的最值时根据 10 2 2z x y  的几何意义，将其转化为点到点距离的平方，从而得到结果 易错点 6 忽略等号成立的一致性导致错误 若 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝1，则 1 1 x y  的最小值为_______________． 【错解】因为 x＞0，y＞0，所以 1＝x＋2y≥ 2 2xy ，即 8xy≤1，即 xy≤ 1 8 ，故 1 xy ≥8． 因为 1 1 x y  ≥ 12 xy ，所以 1 1 x y  ≥ 2 8 4 2 ．故 1 1 x y  的最小值为 4 2 ． 【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥ 2 2xy ， 1 1 x y  ≥ 12 xy ，但这两次取“＝” 需满足 x＝2y 与 x＝y，互相矛盾，所以“＝”不能同时取到，从而导致错误． 【试题解析】因为 x＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以 1 1 1 1( 2 )( )x yx y x y     ＝ 2 3 3 2 2x y y x     ，当 且仅当 2x y y x  ，即 2x y ，即 22 1, 1 2x y    时取等号．故 1 1 x y  的最小值为3 2 2 ． 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用 基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立． 6．若正数 ,x y 满足 4 0x y xy   ，则 3 x y 的最大值为 A． 1 3 B． 3 8 C． 3 7 D．1 【答案】A 11 【解析】因为 4 0x y xy   ，化简可得 4x y xy  ，左右两边同时除以 xy 得 1 4 1y x   .求 3 x y 的最 大值，可先求 3 3 3 x y x y   的最小值. 因 为 1 413 3 3 3 x y x y y x                    4 1 4 3 3 3 3 x y y x     4 1 42 3 3 3 3 x y y x     3 ， 当 且 仅 当 4 3 3 x y y x  时取等号.所以 3 x y 的最大值为 1 3 . 故选 A. 【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题. 一、不等关系与不等式 1．比较大小的常用方法 （1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论． 注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者 多个因式的积的形式. （2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与 1 的大小，得出结论． 注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法： ①介值比较法的理论根据是：若 a>b,b>c,则 a>c，其中 b 是 a 与 c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. 2．不等式的性质及应用 （1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别 是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性. （2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误 答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 3．求代数式的取值范围的一般思路 （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； 12 （3）结合不等式的传递性进行求解； （4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用. 二、一元二次不等式及其解法 1．解一元二次不等式的一般步骤 （1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． （2）二判：计算对应方程的判别式． （3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． （4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含有参数的一元二次不等式的步骤 （1）二次项系数若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为 正的形式． （2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与 0 的关系． （3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 3．解不等式恒成立问题的技巧 （1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次 函数的最值或用分离参数法求最值．即 ①若 ( )f x 在定义域内存在最大值 m ，则 ( )f x a (或 ( )f x a )恒成立  a m (或 a m ); ②若 ( )f x 在定义域内存在最小值 m ，则 ( )f x a (或 ( )f x a )恒成立  a m (或 a m ); ③若 ( )f x 在其定义域内不存在最值，只需找到 ( )f x 在定义域内的最大上界(或最小下界) m ，即 ( )f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的 m ，只是等号均 可以取到. （2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范 围，谁就是参数. 4．已知不等式的解集求参数的解题方法 已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为: （1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号; （2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解. 5．简单分式不等式的解法 13 若 ( )f x 与 ( )g x 是关于 x 的多项式，则不等式 ( ) 0( ) f x g x  (或<0，或  0，或  0)称为分式不等式．解分式 不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即 ( ) 0 ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( ) f x f xf x f x g xg x g xg x           或 ; ( ) 0 ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( ) f x f xf x f x g xg x g xg x           或 ; ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) 0( ) f x g xf x f x g x f xg xg x         或 ; ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) 0( ) f x g xf x f x g x f xg xg x         或 . 对于形如 ( ) ( ) f x g x  a(或0)的解集为(x1,x2),则 x1＋x2＋ 的最小值是 A． B． C． D． 12．若函数 2 2 1y kx x   的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是______． 13．能够说明“设 a,b,c 是任意实数.若 a>b>c,则 a+b>c”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为 . 14．已知 是任意实数,则关于 的不等式 的解集为 . 15．[2018 天津文]已知 ,a bR ，且 3 6 0a b   ，则 12 8 a b 的最小值为_____________. 16．已知 ,若 ,则 的最小值为 . 17．已知实数 x,y 满足不等式组 则 z=x2+y2-10y+25 的最大值为 . 18．设实数 x,y 满足 则 u= 的取值范围是 . 19．[2018 江苏卷]在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ， 120ABC   ， ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 1BD  ，则 4a c 的最小值为________． 20．[2018 北京文]若 ,y 满足 1 2x y x   ，则 2y− 的最小值是_________. 21．[2018 新课标 I 文]若 x ， y 满足约束条件 2 2 0 1 0 0 x y x y y          ，则 3 2z x y  的最大值为_____________． 22．[2018 新课标 II 文]若 ,x y 满足约束条件 2 5 0 2 3 0 5 0 x y x y x           ， ， ， 则 z x y  的最大值为__________． 18 23．[2018 新课标Ⅲ文]若变量 x y， 满足约束条件 2 3 0 2 4 0 2 0. x y x y x           ， ，则 1 3z x y  的最大值是________． 24．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品 A,B,该研究所要根据产品的研 制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表: 每件 A 产品 每件 B 产品 研制成本、搭载试验费用之和(万元) 20 30 产品重量(千克) 10 5 预计收益(万元) 80 60 已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为 300 万元,最大搭载重量为 110 千克,则如何安排这两种 产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益是多少? ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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