江西省信丰中学2020届高三数学上学期周考九理B层（含解析） 5页

- 1 - 江西省信丰中学 2020 届高三数学上学期周考九（理 B 层） 一、单选题 1．已知平面向量 ,a b  满足| | | | 1a b  ，若| 3 2 | 7a b  ，则向量 a  与b  的夹角为（ ） A.30° B. 45 C. 60 D.120 2．设 ,a b   为非零向量，则“ / /a b   ”是“ ,a b   方向相同”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 9a  ， 9 5 49 5 S S   ，则 nS 取最大值时的 n 为 A.4 B.5 C.6 D.4 或 5 4．记 为等差数列 的前 n 项和．已知 ，则 A. B. C. D. 5．在数列 na 中，已知 1 2a  ， 2 3a  ，且满足  1 2 , 3n n n aa n na      N … ，则 2019a  （ ） A. 3 2 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 3 6．已知正 ABC△ 的边长为 1， EF 为该三角形内切圆的直径， P 在 ABC△ 的三边上运动， 则 PE PF  的最大值为（ ）． A.1 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 7．在锐角 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， AB 边上的高 2 3h c ，且 2 5sin 5A  ，则 cosC 等于( ) A. 10 10 B. 5 5 C. 3 5 10 D. 10 5 8．将函数 sin2y x 的图象向右平移 0 2       个单位长度得到  f x 的图象，若函数  f x 在 - 2 - 区间 0, 3      上单调递增，且  f x 的最大负零点在区间 5 ,12 6       上,则 的取值范围是( ) A． ( , ]6 4   B． ( , ]12 4   C． ,6 2       D． ,12 2       二、填空题 9．已知数列{ }na 的前 n 项和 2 1nS n  ，则数列{ }na 的通项公式是______. 10．已知函数 f(x)＝sin (2 )6x  .若 y＝f(x－φ)，0 2   是偶函数，则φ＝________. 11．已知数列 na 满足  1 2 32 3 2 1 3n na a a na n       ， Nn  ，则 na  ________． 12 ． 已 知 公 差 为 d 的 等 差 数 列  na 满 足 0d  ， 且 2a 是 1 4a a、 的 等 比 中 项 ； 记  2 *nnb a n N  ，则对任意的正整数 n 均有 1 2 1 1 1 2 nb b b     ，则公差 d 的取值范围是_____ 三、解答题 13．在 ABC 中， 6BC ， 2AB AC   ． （1）求 ABC 三边的平方和； （2）当 ABC 的面积最大时，求 cos B 的值 14．设数列 na 是公差为 2 的等差数列，数列 nb 满足 1 1b  ， 2 2b  ，   11n n n na b b n b    ． （1）求数列 na 、 nb 的通项公式； （2）求数列 n na b 的前 n 项和 nS ； （3）设数列 2 1log n n n ac b   ，试问是否存在正整数 s ，  t s t ，使 3c ， sc ， tc 成等差数列？ 若存在，求出 s ，t 的值；若不存在，请说明理由. - 3 - 参考答案 1．D 2．B 3．B【解析】由{ }na 为等差数列，所以 9 5 5 3 2 49 5 S S a a d      ，即 2d   ， 由 1 9a  ，所以 2 11na n   ，令 2 11 0na n   ，即 11 2n  ，所以 nS 取最大值时的 n 为5 ， 4．A 5．A【详解】由已知得， 3 5 6 72 4 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 3 1 1 2, , , , 2, 32 2 3 3 a a a aa aa a a a a aa a a a a a             ， 则数列{an}具有周期性，T=6， 2019 336 6 3 3 3 2a a a     .所以本题答案为 A. 6．D【详解】正 ABC△ 的边长为 1，内切圆圆心为O ，半径为 3 6r  O 为 EF 的中点，则 2PE PF PO    得到 2 2 4PE PF PO    即 2 2 2 2 4PE PF PE PF PO       ， PE P FEF    得到  2 2 PE P FF E    即 2 2 12 3PE PF PE PF      ，两式相减得到： 2 14 4 3PE PF PO    即 2 1 12PE PF PO    ，当 P 为三角形顶点时，有最大值为 1 1 1 3 12 4   7．A【详解】如图所示：在 ACD 中： 2 5 5sin 5 3 hA b cb     ，根据勾股定理得到 2,3 3 c cAD BD  ，在 BCD 中：利用勾股定理得到 2 2 3a c ， 21 1 2 3S ch c  ， 21 10sin sin2 9S ab C c C  故 3 10 10sin ,cos10 10C C  8．B 【详解】    sin 2 2f x x   ，令 2 2 2x k     ，则 ,2 4 kx k Z      . 故 y 轴右侧的第一条对称轴为 4x   ，左侧第一条对称轴为 4x   ， 所以 4 3 04          ，所以 12 4    .令   0f x  ，则 2 2x k   ，故 ,2 kx k Z    ， - 4 - 最大的负零点为 2x   ，所以 5 12 62       即 12 3    ，综上， 12 4    ，故选 B. 9． 2, 1 2 1, 2 *n na n n n N      且 【详解】 当 1n  时, 1 1 2a S  ,当 2n  时, 1n n na S S   = 2 21 ( 1) 1 2 1n n n      , 又 1n  时, 1 2 1 1 1na a     不适合,所以 2, 1 2 1, 2n na n n     . 10、 3  【详解】利用偶函数定义求解．y＝f(x－φ)＝sin 是偶函数， 所以－2φ＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，得φ＝－ － ，k∈Z.又 0＜φ＜ ，所以 k＝－1，φ＝ . 11． 1 3, 1 4 3 , 2n n na n     【详解】当 1n  时，  1 2 1 3 3a     ，当 2n  时，由题意可得：  1 2 32 3 2 1 3n na a a na n       ，     1 1 2 3 12 3 1 2 3 3n na a a n a n          ， 两式作差可得：     1 12 1 3 2 3 3 4 3n n n nna n n n         ，故 14 3n na   ， 12． 1[ , )2d   【详解】因为公差为 d 的等差数列 na 满足 0d  ，且 2a 是 1 4a a、 的等比 中项，所以 2 1 1 1( ) ( 3 )a d a a d   ，解得 1 0 na d a nd    ，所以 2 2n n nb a d   即 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[ ] [1 ] 22 2 2 2n n nb b b d d d             ，所以 1 2d  13．解：（1）因为 2AB AC   ，所以 cos 2AB AC A   ． 在 ABC 中，由余弦定理得： 2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A     ， 即 2 2 2( 6) 4AB AC   ，于是 2 2 10AB AC  ，故 2 2 2 10 6 16AB BC AC     为定值． （2）由（1）知： 2 2 10AB AC  ， 所以 2 2 52 AB ACAB AC    ，当且仅当 AB AC 时取“=”号， 因为 cos 2AB AC A   ，所以 2cosA AB AC   ，从而 2 2 2 4sin 1 cos 1A A AB AC      ． - 5 - ABC 的面积 2 2 1 1 4sin 12 2S AB AC A AB AC AB AC         ， 2 21 1 214 25 42 2 2AB AC     ， 当且仅当 AB AC 时取“=”号． 因为 2 2 10AB AC  ，所以当 AB AC 时， 5AB AC  ， 故 6 302cos 102 5 BC B AB    ． 14．【详解】（1）令 1n  ，得 1 3a  ，所以  3 2 1 2 1na n n     将 2 1na n  代入   11n n n na b b n b    ，得 1 2n nb b  所以数列 nb 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，即 12n nb  . （2） 1(2 1)2n n n na b   ， 1 2 33 2 5 2 7 2 ... (2 1)2 2n n nS           两式相减得到： 0 2 33 2 2 2 ... 2 (2 1) 2n n n nS          化简得：  2 1 2 1n nS n    . （3） 2 1 12n nc n n    ，假设存在正整数 s ，t  s t ，使 3 , ,s tc c c 成等差数列 则 32 s tc c c  ，即 2 1 1 3s t   ， 186 3s t    因为 s ，t  s t 为正整数，所以存在 6, 4t s  或者 15, 5t s  ，使得 3 , ,s tc c c 成等差数列.