2020版高中数学 第2章 数列章末分层突破学案 新人教B版必修5 10页

第2章 数列 章末分层突破 ‎[自我校对]‎ ‎①无穷数列 ‎②常数列 ‎③通项公式法 ‎④前n项和公式 ‎⑤等比数列 ‎　 ‎ ‎　 ‎ ‎　 ‎ 10‎ 等差(比)数列的基本运算 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.‎ ‎　等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.‎ ‎【精彩点拨】　(1)由a1，a4求出公比q，写出{an}的通项公式.(2)列出关于b1，d的方程组，求解b1，d，进而写出bn，Sn.‎ ‎【规范解答】　(1)设{an}的公比为q，‎ 由已知得16＝2q3，‎ 解得q＝2.∴an＝2×2n－1＝2n.‎ ‎(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.‎ 设{bn}的公差为d，则有 解得 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.‎ 所以数列{bn}的前n项和 Sn＝＝6n2－22n.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.‎ ‎(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；‎ ‎(2)若S5>a‎1a9，求a1的取值范围.‎ ‎【解】　(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，‎ 即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.‎ ‎(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a‎1a9，‎ 所以‎5a1＋10>a＋‎8a1，‎ 10‎ 即a＋‎3a1－10<0，解得－51时，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn－1)，‎ 则a6＝k(c6－c5)，a3＝k(c3－c2)，＝＝c3＝8，‎ ‎∴c＝2.‎ ‎∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，解得k＝2，∴an＝2n.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝2.‎ 综上所述，an＝2n(n∈N＋).‎ ‎(2)nan＝n·2n，则Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，‎ ‎2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，‎ 两式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.‎ Tn＝2＋(n－1)·2n＋1.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】　(1)∵点(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图象上，‎ ‎∴an＋1＝an＋1，∴数列{an}是公差为1的等差数列.‎ ‎∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)＝n，‎ ‎∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，‎ 两式相减得：bn＋1＝－bn＋1＋bn，即＝，‎ 由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1.‎ ‎∴数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，‎ ‎∴bn＝.‎ ‎(2)log2bn＋1＝log2＝－n，‎ 10‎ ‎∴cn＝＝－，‎ ‎∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＝1－＝.‎ 函数思想求解数列问题 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集，这一特殊性对问题结果可能造成影响.‎ ‎　已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….‎ ‎(1)求证：数列{lg(1＋an)}是等比数列；‎ ‎(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)记bn＝＋，求数列{bn}的前n项和Sn，并说明Sn＋＝1.‎ ‎【精彩点拨】　对于(1)，由条件知an＋1＝a＋2an，变形为an＋1＋1＝(an＋1)2，两边取对数即可得证.对于(3)，由条件知an＋1＝a＋2an＝an(an＋2)，变形得＝，即得＝－，所以bn＝2，由此Sn可求.‎ ‎【规范解答】　(1)证明：由已知得an＋1＝a＋2an，‎ ‎∴an＋1＋1＝(an＋1)2.‎ ‎∵a1＝2，∴an＋1>1，‎ 两边取对数得lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)，‎ 即＝2.‎ ‎∴数列{lg(1＋an)}是公比为2的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知lg(1＋an)＝2n－1·lg(1＋a1)＝2n－1·lg 3‎ ‎＝lg 32n－1，‎ ‎∴1＋an＝3. (*)‎ ‎∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝3·3·3·…·3＝3＋2＋2＋…＋2＝3 由(*)式得an＝3－1.‎ ‎ (3)∵an＋1＝a＋2an，∴an＋1＝an(an＋2)，‎ 10‎ ‎∴＝，∴＝－.‎ 又∵bn＝＋，∴bn＝2，‎ ‎∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝2 ‎＝2.‎ ‎∵an＝32n－1－1，∴an＋1＝32n－1，‎ 又∵a1＝2，∴Sn＝1－.‎ 又∵Tn＝32n－1，‎ ‎∴Sn＋＝1－＋＝1.‎ ‎[再练一题]‎ ‎4.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. ‎ ‎【导学号：18082041】‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解】　(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得‎2a1d＝d2.∵d>0，‎ ‎∴d＝2.∵a1＝1.∴an＝2n－1(n∈N＋).‎ ‎(2)bn＝＝＝，‎ ‎∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋－＝＝.‎ 假设存在整数t满足Sn>总成立，‎ 又Sn＋1－Sn＝－ ‎＝>0，‎ ‎∴数列{Sn}是单调递增的.∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.‎ 又∵t∈Z，‎ 10‎ ‎∴适合条件的t的最大值为8.‎ ‎1.已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A.100　　　B‎.99　‎　　C.98　　　D.97‎ ‎【解析】　法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，‎ ‎∴S9＝(a1＋a9)＝‎9a5＝27，∴a5＝3.‎ 又∵a10＝8，∴∴ ‎∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C.‎ 法二：∵{an}是等差数列，‎ ‎∴S9＝(a1＋a9)＝‎9a5＝27，∴a5＝3.‎ 在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.‎ 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C.‎ ‎【答案】　C ‎2.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________.‎ ‎【解析】　法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝‎5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.‎ 法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝‎5a3＝10，所以a3＝2.‎ 所以由a1＋a3＝‎2a2，得a1＝‎2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋‎2a2＋1＝0，所以a2＝－1.‎ 公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.‎ ‎【答案】　20‎ ‎3.已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ ‎【解】　(1)由题意可得a2＝，a3＝.‎ ‎(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 ‎2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).‎ 10‎ 因为{an}的各项都为正数，所以＝.‎ 故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.‎ ‎4.已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N＋)，且－＝，S6＝63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对任意的n∈N＋，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和.‎ ‎【解】　(1)设数列{an}的公比为q.‎ 由已知，有－＝，‎ 解得q＝2或q＝－1.‎ 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，‎ 所以a1·＝63，得a1＝1.‎ 所以an＝2n－1.‎ ‎(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)‎ ‎＝(log22n－1＋log22n)＝n－，‎ 即{bn}是首项为，公差为1的等差数列.‎ 设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)‎ ‎＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2.‎ ‎5.设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋.‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和.‎ ‎【解】　(1)由题意，得 则 又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，‎ 所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N＋.‎ ‎(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N＋，则b1＝2，b2＝1.‎ 当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，‎ 10‎ 当n≥3时，Tn＝3＋－＝，‎ 所以，Tn＝ 10‎