2020学年度高中数学 第三章 函数的应用检测试题 新人教A版必修1 6页

第三章　检测试题 ‎(时间:90分钟　满分:120分)‎ ‎【选题明细表】‎ 知识点、方法 题号 函数零点的求法及应用 ‎1,4,10,15,17‎ 判断函数零点所在的区间 ‎3,8,13,16‎ 二分法求方程的近似解 ‎2‎ 不同函数的增长关系 ‎6‎ 函数模型 ‎5,7,9,11,12,14,18,19,20‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.函数y=1+的零点是(　B　)‎ ‎(A)(-1,0) (B)x=-1 (C)x=1 (D)x=0‎ 解析:令1+=0解得x=-1.‎ ‎2.已知函数f(x)=x3+2x-8的零点用二分法计算,附近的函数值参考数据如表所示:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎1.75‎ ‎1.625‎ ‎1.687 5‎ f(x)‎ ‎-5.00‎ ‎4.00‎ ‎-1.63‎ ‎0.86‎ ‎-0.46‎ ‎0.18‎ 则方程x3+2x-8=0的近似解可取为(精确度0.1)(　B　)‎ ‎(A)1.50 (B)1.66 (C)1.70 (D)1.75‎ 解析:由表格可得,函数f(x)=x3+2x-8的零点在(1.625,1.687 5)之间;结合选项可知,方程x3+2x-8=0的近似解可取为(精确度为0.1)1.66.故选B.‎ ‎3.设x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则x0所在的区间为(　C　)‎ ‎(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)‎ 解析:因为f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>ln e-1=0,f(2)·f(3)<0.‎ 由零点存在定理,得x0所在的区间为(2,3).故选C.‎ ‎4.方程lox=2x-1的实根个数是(　B　)‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)无穷多 解析:画出y=lox与y=2x-1的图象可知,两曲线仅有一个交点,故实根个数是1.‎ ‎5.如图所示,阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H),则该函数的图象是(　B　)‎ - 6 -‎ 解析:取特殊点验证:当h=时,面积显然小于总面积的一半,于是排除A,C,D.故选B.‎ ‎6.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是(　A　)‎ ‎(A)y=2x (B)y=10 000x ‎(C)y=log3x (D)y=x3‎ 解析:随着x的增大,指数函数的增长速度是最快的,故选A.‎ ‎7.如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是(　A　)‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ y ‎15‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎21‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎27‎ ‎(A)一次函数模型 (B)二次函数模型 ‎(C)指数函数模型 (D)对数函数模型 解析:画出散点图,如图.‎ 由图可知其最可能的函数模型为一次函数模型,故选A.‎ ‎8.方程x-1=lg x必有一个根的区间是(　A　)‎ ‎(A)(0.1,0.2) (B)(0.2,0.3)‎ ‎(C)(0.3,0.4) (D)(0.4,0.5)‎ 解析:设f(x)=lg x-x+1.‎ 因为f(0.1)=lg 0.1-0.1+1=-0.1<0,f(0.2)=lg 0.2-0.2+1=lg 0.2+ 0.8>0,‎ 所以函数y=f(x)在(0.1,0.2)内必有一根.故选A.‎ ‎9.某人‎2016年7月1日到银行存入a元,若按年利率x复利计算,则到‎2019年7月1日可取款(　D　)‎ ‎(A)a(1+x)2元 (B)a(1+x)4元 ‎(C)a+(1+x)3元 (D)a(1+x)3元 解析:由题意知,‎2017年7月1日可取款a(1+x)元,‎ ‎2018年7月1日可取款a(1+x)·(1+x)=a(1+x)2元,‎ ‎2019年7月1日可取款a(1+x)2·(1+x)=a(1+x)3元.故选D.‎ ‎10.函数f(x)=x2+ln|x|的零点的个数为(　B　)‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ 解析:由题意,作函数y=x2与y=-ln |x|的图象如下,‎ - 6 -‎ 结合图象知,函数y=x2与y=-ln|x|的图象有两个交点,即函数f(x)=x2+ln|x|的零点的个数为2,故选B.‎ ‎11.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述:‎ ‎①这个指数函数的底数是2;‎ ‎②第5个月时,浮萍的面积就会超过‎30 m2‎;‎ ‎③浮萍从‎4 m2‎蔓延到‎12 m2‎需要经过1.5个月;‎ ‎④浮萍每个月增加的面积都相等.‎ 其中正确的是(　B　)‎ ‎(A)① (B)①② (C)②③④ (D)①②④‎ 解析:图象单调递增,底数大于1,又过点(2,4),所以a2=4,所以a=2 (a>0),故①对;令t=5,得y=25=32>30,故②对;若浮萍从‎4 m2‎蔓延到 ‎12 m2‎需要经过的时间是1.5个月,则有12=23.5,因为23.5=8≠12,故③错;由指数型函数模型的图象上升特征可知④错.故选B.‎ ‎12.有浓度为90%的溶液‎100 g,从中倒出‎10 g后再倒入‎10 g水称为一次操作,要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　C　)‎ ‎(A)19 (B)20‎ ‎(C)21 (D)22‎ 解析:操作次数为n时的浓度为()n+1,‎ 由()n+1<10%,‎ 得n+1>=≈21.8,‎ 又n∈N*,所以n≥21.故选C.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是　 　　　(填正确序号). ‎ ‎①(-2,-1);②(-1,0);③(0,1);④(1,2).‎ 解析:由f(-2)=-2-2<0,f(-1)=-3<0,‎ - 6 -‎ f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,f(2)=e2+2-2>0知函数零点所在的一个区间是(0,1).‎ 答案:③‎ ‎14.已知等腰三角形的周长为‎40 cm,底边长y(cm)是腰长x(cm)的函数,则函数的定义域为(　A　)‎ ‎(A)(10,20) (B)(0,10)‎ ‎(C)(5,10) (D)[5,10)‎ 解析:y=40-2x,由得100,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　. ‎ 解析:当m>0时,函数f(x)=的图象如图.‎ 因为x>m时,f(x)=x2-2mx+‎4m=(x-m)2+‎4m-m2>‎4m-m2,‎ 所以要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,‎ 必须‎4m-m20),‎ 即m2>‎3m(m>0),‎ 解得m>3,‎ 所以m的取值范围是(3,+∞).‎ 答案:(3,+∞)‎ ‎16.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当21+3-b=4-b>0,‎ 即f(2)·f(3)<0,‎ 易知f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 所以函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点x0,‎ 且x0∈(2,3),所以n=2.‎ 答案:2‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎17.(本小题满分8分)‎ 设函数f(x)=ex-m-x,其中m∈R,当m>1时,判断函数f(x)在区间(0,m)内是否存在零点.‎ 解:f(x)=ex-m-x,所以f(0)=e-m-0=e-m>0,‎ f(m)=e0-m=1-m.又m>1,所以f(m)<0,‎ 所以f(0)·f(m)<0.‎ 又函数f(x)的图象在区间[0,m]上是一条连续曲线,‎ 故函数f(x)=ex-m-x(m>1)在区间(0,m)内存在零点.‎ ‎18.(本小题满分10分)‎ 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0‎ - 6 -‎ ‎,经过一定时间t后的温度是T,则T-Tα=(T0-Tα)·(),其中Tα表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用‎88 ℃‎热水冲的速溶咖啡,放在‎24 ℃‎的房间中,如果咖啡降温到‎40 ℃‎需要20 min,那么降温到‎35 ℃‎时,需要多长时间(结果精确到0.1)?‎ 解:由题意知40-24=(88-24)·(),即=(),‎ 解得h=10,故T-24=(88-24)·(),‎ 当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24)·(),即()=,‎ 两边取对数,用计算器求得t≈25.4.‎ 因此,约需要25.4 min,可降温到‎35 ℃‎.‎ ‎19.(本小题满分10分)‎ 国际视力表值(又叫小数视力值,用V表示,范围是[0.1,1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值,由缪天容创立,用L表示,范围是[4.0,5.2])的换算关系式为L=5.0+lg V.‎ ‎(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整:‎ V ‎1.5‎ ‎②‎ ‎0.4‎ ‎④‎ L ‎①‎ ‎5.0‎ ‎③‎ ‎4.0‎ ‎(2)甲、乙两位同学检查视力,其中甲的对数视力值为4.5,乙的小数视力值是甲的2倍,求乙的对数视力值.‎ ‎(所求值均精确到小数点后面一位数字,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)‎ 解:(1)因为5.0+lg 1.5=5.0+lg =5.0+lg =5.0+lg 3-lg 2=5.0+0.477 1-0.301 0≈5.2,‎ 所以①应填5.2;‎ 因为5.0=5.0+lg V,‎ 所以V=1,②处应填1.0;‎ 因为5.0+lg 0.4=5.0+lg =5.0+lg 4-1=5.0+2lg 2-1=5.0+2×0.301 0-1≈4.6,‎ 所以③处应填4.6;‎ 因为4.0=5.0+lg V,‎ 所以lg V=-1.‎ 所以V=0.1.‎ 所以④处应填0.1.‎ 对照表补充完整如下:‎ V ‎1.5‎ ‎1.0‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ L ‎5.2‎ ‎5.0‎ ‎4.6‎ ‎4.0‎ ‎(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值,‎ 则有4.5=5.0+lg V甲,‎ - 6 -‎ 所以V甲=1,则V乙=2×1.‎ 所以乙的对数视力值L乙=5.0+lg (2×1)=5.0+lg 2-0.5=5.0+0.301 0-0.5≈4.8.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:‎ R(x)=‎ 其中x是仪器的月产量.‎ ‎(1)将利润表示为月产量的函数f(x);‎ ‎(2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)‎ 解:(1)设月产量为x台,则总成本为20 000+100x,从而 f(x)=‎ ‎(2)当0≤x≤400时,‎ f(x)=-(x-300)2+25 000.‎ 所以当x=300时,f(x)的最大值为25 000;‎ 当x>400时,‎ f(x)=60 000-100x是减函数,‎ f(x)<60 000-100×400=20 000<25 000.‎ 所以当x=300时,f(x)的最大值为25 000.‎ 即每月生产300台仪器时,利润最大,‎ 最大利润为25 000元.‎ - 6 -‎