高中人教a版数学必修4：第25课时 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 word版含解析 4页

第 25 课时 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 课时目标 1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算． 2．会用坐标运算求向量的模，并会用坐标运算判断两个向量是否垂直． 3．能运用数量积的坐标求出两个向量夹角的余弦值． 识记强化 1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. 2．若有向线段AB→，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→ |＝ x2－x12＋y2－y12；若AB→＝(x，y)， 则|AB→|＝ x2＋y2. 3．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 4．两向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求两向量的夹角θ的公式为 cosθ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22 . 课时作业 一、选择题 1．设向量 a＝(x,1)，b＝(4，x)，且 a⊥b，则 x 的值是( ) A．±2 B．0 C．－2 D．2 答案：B 解析：由 a⊥b，得 a·b＝0，即 4x＋x＝0，解得 x＝0，故选 B. 2．已知向量 a＝(0，－2 3)，b＝(1， 3)，则向量 a 在 b 方向上的投影为( ) A. 3 B．3 C．－ 3 D．－3 答案：D 解析：向量 a 在 b 方向上的投影为a·b |b| ＝－6 2 ＝－3.选 D. 3．已知向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数 k 的值为( ) A．－9 2 B．0 C．3 D.15 2 答案：C 解析：∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－ 6)＝0，解得 k＝3. 4．若 A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC 为( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不等边三角形 答案：C 解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)， ∴AB→＝(1,1)，AC→＝(－4,3)， cosA＝ AB→·AC→ |AB→||AC→| ＝1×－4＋1×3 2× 25 ＝－ 1 5 2 ＜0，∴∠A 为钝角，△ABC 为钝角三角形． 5．若向量 a＝(x＋1,2) 和向量 b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝( ) A. 10 B. 10 2 C. 2 D. 2 2 答案：C 解析：由题意得，－(x＋1)－2×1＝0 得 x＝－3.故 a＋b＝(－1,1)． ∴|a＋b|＝ －12＋－12＝ 2 6．如图，在等腰直角三角形 AOB 中，设OA→ ＝a，OB→ ＝b，OA＝OB＝1，C 为 AB 上靠 近点 A 的四等分点，过 C 作 AB 的垂线 l，设 P 为垂线上任意一点，OP→ ＝p，则 p·(b－a)＝ ( ) A．－1 2 B.1 2 C．－3 2 D.3 2 答案：A 解析：因为在等腰直角三角形 AOB 中，OA→ ＝a，OB→ ＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1， a·b＝0. 由题意，可设OP→ ＝－1 4(b－a)＋λ·1 2(b＋a)，λ∈R， 所以 p·(b－a) ＝－1 4(b－a)·(b－a)＋λ 2(b＋a)·(b－a) ＝－1 4(b－a)2＋λ 2(|b|2－|a|2) ＝－1 4(|a|2＋|b|2－2a·b) ＝－1 4(1＋1－0) ＝－1 2. 二、填空题 7．已知 a＝(1,2)，b＝(x,4)，且 a·b＝10，则|a－b|＝________. 答案： 5 解析：由题意，得 a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝ 5. 8．已知点 A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB 于点 C，O 为坐标原点，则OA→ ·OC→ ＝________. 答案：144 25 解析：设点 C 的坐标为(x，y)，因为 OC⊥AB 于点 C， ∴ OC→ ·AB→＝0 AC→∥AB→ ， 即 x，y·－4，3＝－4x＋3y＝0 3x＋4y－12＝0 ， 解得 x＝36 25 y＝48 25 ，∴OA→ ·OC→ ＝4x＝144 25 . 9．若平面向量 a＝(log2x，－1)，b＝(log2x,2＋log2x)，则满足 a·b<0 的实数 x 的取值集 合为________． 答案： x|1 2