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  • 2021-06-11 发布

高中数学第一章解三角形1_1正弦定理和余弦定理1_1_1正弦定理课堂探究学案新人教B版必修51

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1.1.1 正弦定理 课堂探究 一、判断三角形解的个数 剖析:(1)代数法 在△ABC 中,已知 a,b,∠A,由正弦定理可得 sin B= b a sin A=m. ①当 sin B>1 时,这样的∠B不存在,即三角形无解. ②当 sin B=1 时,∠B=90°,若∠A<90°,则三角形有一解,否则无解. ③当 sin B<1 时,满足 sin B=m 的角有两个,其中设锐角为α,钝角为β,则当∠A +α>180°时,三角形无解;当∠A+α<180°,且∠A+β<180°时,有两解;当∠A+ α<180°且∠A+β>180°时有一解. (2)几何法 根据条件中∠A 的大小,分为锐角、直角、钝角三种情况,通过几何作图,得出解的情 况.作出已知∠A,以 A为圆心,边长 b为半径画弧交∠A 的一边于 C.使未知的边 AB 水平, 顶点 C在边 AB 上方,以点 C 为圆心,边长 a 为半径作圆,该圆与射线 AB 交点的个数,即为 解的个数,如下表所示: ∠A 为锐角 ∠A 为钝角或直角 图 形 ① ② 关系 式 ①a=bsin A ②a≥b bsin Ab a≤b 解的 个数 一解 两解 无解 一解 无解 二、教材中的“探索与研究” 在正弦定理中,设 a sin A = b sin B = c sin C =k.请研究常数 k 与△ABC 外接圆的半径 R 的 关系.(提示:先考察直角三角形) 剖析:(1)如图 1,当△ABC 为直角三角形时,直接得到 a sin A = b sin B = c sin C =2R(a,b, c分别为△ABC 中角 A,B,C 的对边,R为外接圆半径). (2)如图 2,当△ABC 为锐角三角形时,连接 BO 并延长交圆 O于点 D,连接 CD.因为∠A =∠D, 所以 a sin A = a sin D =2R, 同理 b sin B = c sin C =2R, 即 a sin A = b sin B = c sin C =2R. (3)如图 3,当△ABC 为钝角三角形且∠A 为钝角时,连接 BO 并延长交圆 O于点 D,连接 CD,∠A=180°-∠D,所以 a sin A = a sin(180°-∠D) = a sin D =2R. 由(2)知 b sin B = c sin C =2R, 即 a sin A = b sin B = c sin C =2R. 综上所述,对于任意△ABC, a sin A = b sin B = c sin C =2R 恒成立. 归纳总结:根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式: (1)asin B=bsin A;asin C=csin A;bsin C=csin B. (2)a= bsin A sin B ;sin B= bsin A a . (3) a sin A = b sin B = c sin C = a+b+c sin A+sin B+sin C =2R(R 为△ABC 外接圆的半径). (4)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (5)边化角公式:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. (6)角化边公式:sin A= a 2R ,sin B= b 2R ,sin C= c 2R . 题型一 解三角形 【例 1】 已知在△ABC 中,c=10,∠A=45°,∠C=30°,求 a,b 和∠B. 分析:正弦定理中有三个等式,每个等式都含有四个未知量,可知三求一.当知道两个 角时,即可知道第三个角,所以若再知道三边中任意一边,就可解这个三角形. 解:∵ a sin A = c sin C ,∠A=45°,∠C=30°, ∴a= csin A sin C = 10×sin 45° sin 30° =10 2, ∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-(45°+30°)=105°. 又 b sin B = c sin C , ∴b= c·sin B sin C = 10×sin 105° sin 30° =20sin 75°=20× 6+ 2 4 =5( 6+ 2). 反思:本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边,求另两边和一角)的方法步 骤,即先由正弦定理求得已知角的对边,然后利用内角和公式求得第三角,再用正弦定理求 第三边. 【例 2】 在△ABC 中,已知 a= 3,b= 2,∠B=45°,求∠A,∠C和 c. 分析:已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解,但应注意解 的个数. 解:由正弦定理 a sin A = b sin B ,知 sin A= asin B b = 3 2 . ∵asin BAC,得满足 sin C= 3 2 的角 C 有两个. 正解:由正弦定理,得 sin C= ABsin B AC = 3 2 . 因为 AB>AC,所以∠C=60°或 120°. 当∠C=60°时,∠A=90°,S△ABC= 1 2 AB·AC·sin A=2 3;当∠C=120°时,∠A =30°,S△ABC= 1 2 AB·AC·sin A= 3.所以△ABC 的面积为 2 3或 3. 【例 6】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,c= 6+ 2,∠C=30°,求 a +b 的最大值. 错解:因为∠C=30°,所以∠A+∠B=150°, 即∠B=150°-∠A. 由正弦定理,得 a sin A = b sin(150°-∠A) = 6+ 2 sin 30° . 又因为 sin A≤1,sin(150°-∠A)≤1, 所以 a+b≤2( 6+ 2)+2( 6+ 2)=4( 6+ 2). 故 a+b的最大值为 4( 6+ 2). 错因分析:上述解法错误的原因是未弄清∠A 与 150°-∠A 之间的关系,这里∠A 与 150°-∠A 是相互制约的,不是相互独立的量,sin A 与 sin(150°-∠A)不能同时取 最大值 1,因此所得的结果是错误的. 正解:因为 C=30°,所以∠A+∠B=150°. 由正弦定理,得 a sin A = b sin(150°-∠A) = 6+ 2 sin 30° . 因此,a+b=2( 6+ 2)·[sin A+sin(150°-∠A)] =(8+4 3)cos(∠A-75°)≤8+4 3. 故 a+b 的最大值为 8+4 3.