2020高中数学 课时分层作业8 “杨辉三角”与二项式系数的性质 新人教A版选修2-3 3页

课时分层作业(八)　 “杨辉三角”与二项式系数的性质 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.展开式中的中间两项为(　　)‎ ‎ 【导学号：95032090】‎ A．－Cx12，Cx12　　　 B．Cx9，－Cx10‎ C．－Cx13，Cx9 D．Cx17，－Cx13‎ C　[由二项式定理展开式的性质知中间两项为第六项和第七项．]‎ ‎2．在(a＋b)n的二项展开式中与第k项二项式系数相同的项是(　　)‎ A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 D　[第k项的二项式系数是C，由于C＝C，第n－k＋2项的二项式系数为C，所以(a＋b)n的二项展开式中与第k项二项式系数相同的项是第n－k＋2项，故选D.]‎ ‎3．(1－x)13的展开式中系数最小的项为(　　)‎ ‎ 【导学号：95032091】‎ A．第9项 B．第8项 C．第7项 D．第6项 B　[展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．]‎ ‎4．已知C＋‎2C＋‎22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　)‎ A．64 B．32‎ C．63 D．31‎ B　[由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C＋C＋C＝C＋C＋C＝×26＝32.]‎ ‎5．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　) ‎ ‎【导学号：95032092】‎ A. B. C. D. A　[a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，‎ 3‎ 所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.]‎ 二、填空题 ‎6．如图131是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________. ‎ ‎【导学号：95032093】‎ 图131‎ ‎2n－1　[由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，‎ 所以an＝2n－1.]‎ ‎7．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________.‎ ‎120a　[C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝‎120a.]‎ ‎8．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________. ‎ ‎【导学号：95032094】‎ ‎－121　[展开式中含x3的项的系数为 C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.]‎ 三、解答题 ‎9．求(1＋x＋x2)(1－x)10展开式中x4的系数．‎ ‎[解]　(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1－x3)·(1－x)9，要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1－x)9展开式中的项C(－x)4作积，第一个因式中的－x3与(1－x)9展开式中的项C(－x)作积，故x4的系数是C＋C＝135.‎ ‎10．对二项式(1－x)10，‎ ‎(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；‎ ‎(2)求展开式中各二项式系数之和；‎ ‎(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和. ‎ ‎【导学号：95032095】‎ ‎[解]　(1)展开式共11项，中间项为第6项，‎ T6＝C(－x)5＝－252x5；‎ ‎(2)C＋C＋C＋…＋C＝210＝1024.‎ ‎(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10‎ 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0‎ 3‎ 令x＝0，得a0＝1，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.‎ 3‎