2013届人教A版理科数学课时试题及解析（24）平面向量的概念及其线性运算 5页

课时作业(二十四) [第 24 讲 平面向量的概念及其线性运算] [时间：35 分钟 分值：80 分] 基础热身 1． 如图 K24－1，正六边形 ABCDEF 中，BA→＋CD→ ＋EF→＝( ) 图 K24－1 A．0 B.BE→ C.AD→ D.CF→ 2． 设非零向量 a，b，c，若 p＝ a |a| ＋ b |b| ＋ c |c| ，那么|p|的取值范围为( ) A．[0,1] B．[0,2] C．[0,3] D．[1,2] 3． 已知向量 a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数 x 的值为( ) A．－3 B．2 C．4 D．－6 4． 如图 K24－2 所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则OP→ ＋OQ→ ＝( ) 图 K24－2 A.OH→ B.OG→ C.FO→ D.EO→ 能力提升 5．已知λ∈R，则下列命题正确的是( ) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0 6． △ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 sinB＝1，向量 p＝(a， b)，q＝(1,2)．若 p∥q，则 C 的大小为( ) A.π 6 B.π 3 C.π 2 D.2π 3 7．已知△ABC 和点 M 满足MA→ ＋MB→ ＋MC→ ＝0，若存在实数 m 使得AB→＋AC→＝m AM→ 成立， 则 m＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 8． 如图 K24－3，△ABC 中，AD＝DB，AE＝EC，CD 与 BE 交于 F.设AB→＝a，AC→＝ b，AF→＝xa＋yb，则(x，y)为( ) 图 K24－3 A. 1 2 ，1 2 B. 2 3 ，2 3 C. 1 3 ，1 3 D. 2 3 ，1 2 图 K24－4 9． 如图 K24－4，在△ABC 中，AN→＝1 3NC→ ，P 是 BN 上的一点，若AP→＝mAB→＋ 2 11AC→， 则实数 m 的值为________． 10． 若 M 为△ABC 内一点，且满足AM→ ＝3 4AB→＋1 4AC→，则△ABM 与△ABC 的面积之比 为________． 11．设 a、b 为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λa＋μb＝0，则称 a、b 线性 相关，下面的命题中，a、b、c 均为已知平面 M 上的向量． ①若 a＝2b，则 a、b 线性相关； ②若 a、b 为非零向量，且 a⊥b，则 a、b 线性相关； ③若 a、b 线性相关，b、c 线性相关，则 a、c 线性相关； ④向量 a、b 线性相关的充要条件是 a、b 共线． 上述命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号) 12．(13 分) 如图 K24－5 所示，若四边形 ABCD 是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N 分别是 DC、AB 的中点，已知AB→＝a，AD→ ＝b，DC→ ＝c，试用 a，b，c 表示BC→，MN→ . 图 K24－5 难点突破 13．(12 分) 如图 K24－6，G 是△ABC 的重心，OG 延长线交 AB 于点 M，P、Q 分别 是边 OA、OB 上的动点，且 P、G、Q 三点共线． (1)设PG→ ＝λPQ→ ，将OG→ 用λ、OP→ 、OQ→ 表示； (2)设OP→ ＝xOA→ ，OQ→ ＝yOB→ ，证明：1 x ＋1 y 是定值． 图 K24－6 课时作业(二十四) 【基础热身】 1．D [解析] BA→＋CD→ ＋EF→＝BA→＋AF→－BC→＝BF→－BC→＝CF→，所以选 D. 2．C [解析] 因为 a |a| ，b |b| ， c |c| 是三个单位向量，因此三个向量同向时，|p|的最大值为 3. 3．D [解析] 因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)， ∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6. 4．C [解析] 设 a＝OP→ ＋OQ→ ，利用平行四边形法则作出向量OP→ ＋OQ→ ，再平移即发现 a＝FO→ . 【能力提升】 5．C [解析] 当λ＜0 时，|λa|＝λ|a|不成立，A 错误；|λa|应该是一个非负实数，而非向 量，所以 B 不正确；当λ＝0 或 a＝0 时，|λa|＝0，D 错误． 6．B [解析] 由 sinB＝1⇒B＝π 2 ，在△ABC 中 cosC＝a b ， 又由 p＝(a，b)，q＝(1,2)，p∥q⇒2a－b＝0⇒a＝b 2 ，故 cosC＝1 2 ⇒C＝π 3. 7．B [解析] 由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接 AM 并延长交 BC 于 D， 则AM→ ＝2 3AD→ ①，因为 AD 为中线，则AB→＋AC→＝2AD→ ＝mAM→ ， 即 2AD→ ＝mAM→ ②，联立①②可得 m＝3，故 B 正确． 8．C [解析] ∵AD＝DB，AE＝EC， ∴F 是△ABC 的重心，则DF→ ＝1 3DC→ ， ∴AF→＝AD→ ＋DF→ ＝AD→ ＋1 3DC→ ＝AD→ ＋1 3(AC→－AD→ ) ＝2 3AD→ ＋1 3AC→＝1 3AB→＋1 3AC→， ∴x＝1 3 ，y＝1 3. 9. 3 11 [解析] AP→＝1 4AC→＋NP→＝mAB→＋ 2 11AC→，NP→＝mAB→－ 3 44AC→. NB→＝NC→ ＋CB→＝3 4AC→＋(AB→－AC→)＝AB→－1 4AC→，设NP→＝λNB→，则λAB→－1 4λAC→＝mAB→－ 3 44AC→， m＝λ＝ 3 11. 10.1 4 [解析] 由题知 B、M、C 三点共线，设BM→ ＝λBC→，则：AM→ －AB→＝λ(AC→－AB→)， ∴AM→ ＝(1－λ)AB→＋λAC→， ∴λ＝1 4 ， ∴S△ABM S△ABC ＝1 4. 11．①④ [解析] ②若 a⊥b，则 a、b 不线性相关，命题错误；③b 为零向量时，命题 错误． 12．[解答] BC→＝BA→＋AD→ ＋DC→ ＝－a＋b＋c， ∵MN→ ＝MD→ ＋DA→ ＋AN→， 又∵MD→ ＝－1 2DC→ ，DA→ ＝－AD→ ，AN→＝1 2AB→， ∴MN→ ＝1 2a－b－1 2c. 【难点突破】 13．[解答] (1)OG→ ＝OP→ ＋PG→ ＝OP→ ＋λPQ→ ＝OP→ ＋λ(OQ→ －OP→ )＝(1－λ)OP→ ＋λOQ→ . (2)证明：由(1)，得 OG→ ＝(1－λ)OP→ ＋λOQ→ ＝(1－λ)xOA→ ＋λyOB→ .① ∵G 是△OAB 的垂心， ∴OG→ ＝2 3OM→ ＝2 3 ×1 2(OA→ ＋OB→ )＝1 3OA→ ＋1 3OB→ .② 而OA→ 、OB→ 不共线， ∴由①②，得 1－λx＝1 3 ， λy＝1 3 . 解之，得 1 x ＝3－3λ， 1 y ＝3λ， ∴1 x ＋1 y ＝3，即1 x ＋1 y 是定值．