2021届高考数学一轮复习第九章概率与统计第3讲几何概型课件 42页

第 3 讲 几何概型 课标要求 考情风向标 1. 了解随机数的意义，能运用模 拟方法 ( 包括计算器产生随机数 来进行模拟 ) 估计概率，初步体 会几何概型的意 义 . 2. 通过阅读材料，了解人类认识 随机现象的过程 新课标高考对几何概型的要求 较低，几乎没有考过，但其他 省份经常涉及，以选择题或填 空题为主 . 复习时，准确理解几 何概型的意义、构造出度量区 域 ( 长度或面积 ) 是解决几何概 型问题的关键 1. 几何概型 几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 ( 面 积或体积 ) 成比例，那么称这样的概率模型 为几何概率模型，简 称为 __________. 2. 几何概型中，事件 A 的概率计算公式 P ( A ) ＝ 构成事件 A 的区域长度 ( 面积或体积 ) 全部结果所构成的区域长度 ( 面积或体积 ) 3. 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1) 无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个 . (2) 等可能性：每个结果的发生具有等可能性 . 注意： ① 在几何概型的试验中，事件 A 的概率 P ( A ) 只与子 区域 A 的几何度量 ( 长度、面积或体积 ) 成正比，而与 A 的位置 和形状无关 . ② 求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和 整个区域 Ω 的几何度量，然后代入公式即可求解 . 1. 一只蚂蚁在如图 9-3-1 所示的地板砖 ( 除颜色不同外，其 余全部相同 ) 上爬来爬去，它最后随意停留在灰色 地板砖上的概 率是 ( ) B 图 9-3-1 A. 1 4 B. 1 3 C. 1 5 D. 1 2 2. 取一根长度为 4 m 的绳子，拉直后在任 意位置剪断，那 么剪得的两段都不少于 1 m 的概率是 ( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 C 图 D104 答案： A 图 D105 考点 1 与长度 ( 角度 ) 有关的几何概型 例 1 ： (1)(2016 年新课标 Ⅰ ) 某公司的班车在 7 ： 30,8 ： 00, 8 ： 30 发车，小明在 7 ： 50 至 8 ： 30 之间到达发车站乘坐班车，且 到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概 率是 ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 解析： 如图 D106 ，画出时间轴： 图 D106 答案： B (2)(2019 年辽宁模拟 ) 在长为 12 c m 的线段 AB 上任取一点 C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC ， CB 的长，则该矩 形面积小于 32 cm 2 的概率为 ( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 2 3 4 D. 5 解析： 设 AC ＝ x cm(0< x <12) ，则 CB ＝ (12 － x )cm ，则矩形 面积 S ＝ x (12 － x ) ＝ 12 x － x 2 <32 ，即 ( x － 8)( x － 4)>0 ，解得 0< x <4 或 8< x <12 ，在数轴上的表示情况如图 D107. 图 D107 答案： C (3)(2019 年上海模拟 ) 在区间 [ － 1,1 ] 上随机取一个数 k ，则 直线 y ＝ k ( x － 2) 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 有两个交点的概率为 ( ) 答案： D 【 规律方法 】 应用几何概型求概率的步骤： ① 把每一次试验当作一个事件，看事件是否是等可能的且 事件的个数是否是无限个，若是，则考虑用几何概型； ② 将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图 形，并加以度量； ③ 将几何概型转化为长度、面积、体积之比，应用几何概 型的概率公式求概率 . 考点 2 与面积有关的几何概型 例 2 ： (1) (2017 年新课标 Ⅰ ) 如图 9-3-2 ，正方形 ABCD 内的 图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分关于正方形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是 ( ) 图 9-3-2 A. 1 4 B. π 8 C. 1 2 D. π 4 答案： B (2)(2018 年新课标 Ⅰ ) 图 9 -3-3 来自古希腊数学家希波克拉 底所研 究的几何图形 . 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB ， AC .△ ABC 的三 边所围成的区域记为 Ⅰ ，黑色部分记为 Ⅱ ，其余部分记为 Ⅲ. 在 整个图形中随机取一点，此点取自 Ⅰ ， Ⅱ ， Ⅲ 的概率分别记为 p 1 ， p 2 ， p 3 ，则 ( ) 图 9-3-3 A. p 1 ＝ p 2 B. p 1 ＝ p 3 C. p 2 ＝ p 3 D. p 1 ＝ p 2 ＋ p 3 答案： A (3)(2017 年陕西宝鸡高三一检 ) 欧阳修 《 卖油翁 》 中写道： “( 翁 ) 乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自 钱孔入，而钱不湿” . 卖油翁的技艺让人叹为观止 . 设铜钱是直 径为 4 cm 的圆，它中间有边长为 1 cm 的正方形孔 . 若随机向铜 钱上滴一滴油，则油滴 ( 不计油滴的大小 ) 正好落入孔中的概率 为 ( ) A. 1 4π B. 1 4 C. 1 16π 1 D. 16 答案： A 考点 3 与体积有关的几何概型 例 3 ： (1) 有一个底面圆的半径为 1 ，高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) A. 1 3 B. 3 2 C. 2 3 D. 1 2 答案： C (2) 在棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 内随机取一点 P ，则 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) 答案： C (3)(2019 年河北衡水中学调研 ) 已知正方体 AB CD - A 1 B 1 C 1 D 1 内有一个内切球 O ，则在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 内任取点 M ， 点 M 在球 O 内的概率是 ( ) 答案： C 【 规律方法 】 求解与体积有关问题的注意点：对于与体积 有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 ( 总空间 ) 以及 事件的体积 ( 事件空间 ) ，对于某些较复杂的也可利用其对立事 件去求 . 考点 4 与角度有关的几何概型 例 4 ： (1) 在 Rt△ ABC 中， ∠ A ＝ 30° ，过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于点 M ，则使 | AM |>| AC | 的概率为 ( ) 答案： B (2)(2019 年辽宁鞍山模拟 ) 如图 9-3-4 ，过等腰 Rt△ ABC 的 直角顶点 C 在 ∠ ACB 内部随机作一条射线，设射线与 AB 相交 于点 D ，求 AD < AC 的概率 . 图 9-3-4 ＝ 0.75. 解： 在 AB 上取一点 E ，使 AE ＝ AC ，连接 CE ( 如图 D108) ， 则当射线 CD 落在 ∠ ACE 内部时， AD < AC . 易知 ∠ ACE ＝ 67.5° ， ∴ AD < AC 的概率 p ＝ 67.5° 90° 图 D108 【 规律方法 】 与角度有关的几何概型的求法：当涉及射线 的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域 度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的 度量手段 . 难点突破 ⊙ 与线性规划有关的几何概型 例题： (2019 年湖北联考 ) 在区间 [0,4] 上随机取两个实数 x ， y ，使得 x ＋ 2 y ≤8 的概率为 ( ) A. 1 4 B. 3 16 C. 6 19 D. 3 4 图 9-3-5 答案： D 【 规律方法 】 将随机事件转化为面积之比时，要注意哪部 分代表总的基本事件表示的区域，哪部分是所求事件所表示的 区域 . 【 跟踪训练 】 1.( 人教版教材改编 ) 某校早上 8 ： 00 开始上课，假设该校学 生小张与小王在早上 7 ： 30 ～ 7 ： 50 之间到校，且每人在该时间 段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到 校的概率为 _______.( 用数字作答 ) 解析： 如图 D109 ，用 x 表示小张到校的时 间， 30≤ x ≤50 ，用 y 表示小王到校的时间， 30≤ y ≤50 ，则所有可能的结果对应平面直角坐 标系的正方形 ABCD 区域 . 小张比小王至少早 5 分钟到校，即 y － x ≥ 所对应的区域为 5. DEF . 答案： 9 32 图 D109 根据几何概型公式可得 p 2 < p 3 < p 1 . (1) (2) (3) 图 D110 答案： B 1. 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，二者 的共同点是基本事件都是等可能的，不同点是基本事件的个数 一个是无限的，一个是有限的；基本事件可抽象为点，对于几 何概型，这些点尽管是无限的，但它们与所占据的区域却是有 限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量 成正比，而与该区域的位置和形状无关 . 2. 对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试 验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式求解 . (1) 一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型， 只需把这个变量放在坐标轴上即可 . (2) 若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个 变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐 标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型 . (3) 若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这 三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标 系建立与体积有关的几何概型 .