2020-2021学年北师大版数学必修2习题：第二章 解析几何初步 单元质量评估1 9页

第二章单元质量评估(一) 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于( D ) A.3 2 B．2 C．－1 D．2 或－1 解析：由 a·(a－1)－2×1＝0 得 a2－a－2＝0，所以 a＝2 或－1， 经检验均适合题意． 2．点 P(－1,2)到直线 y＝4 3x＋5 2 的距离为( B ) A．2 B.1 2 C．1 D.7 2 解析：将 y＝4 3x＋5 2 化为一般式为 8x－6y＋15＝0，则点 P 到直线 的距离 d＝|－8－12＋15| 82＋－62 ＝1 2 ，故选 B. 3．直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是( B ) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 解析：圆心(0,0)到直线 y＝x＋1 的距离 d＝ 1 2 ＝ 2 2 <1，所以直线 与圆相交，圆心不在 y＝x＋1 上． 4．△ABC 的顶点坐标是 A(3,1,1)、B(－5,2,1)、C －8 3 ，2，3 ， 则它在 yOz 平面上的射影图形的面积是( D ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：△ABC 的三个顶点 A、B、C 在 yOz 平面上的射影点的坐 标分别是(0,1,1)、(0,2,1)、(0,2,3)，它在 yOz 平面上是一个直角三角形， 容易求出它的面积为 1.故选 D. 5．与直线 y＝－2x＋3 平行，且与直线 y＝3x＋4 交于 x 轴上的 同一点的直线方程是( C ) A．y＝－2x＋4 B．y＝1 2x＋4 C．y＝－2x－8 3 D．y＝1 2x－8 3 解析：y＝3x＋4 与 x 轴交点为 －4 3 ，0 ，又与直线 y＝－2x＋3 平行，故所求直线方程为 y＝－2 x＋4 3 ，即 y＝－2x－8 3 ，故选 C. 6．不论 m 为何实数，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0 恒过定点 ( A ) A．(－2,3) B．(2，－3) C．(1,0) D．(0，－2) 解析：直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0 可化为 m(x＋2)－(x＋y－1) ＝0，由 x＋2＝0， x＋y－1＝0 得 x＝－2， y＝3， 所以直线过定点(－2,3)． 7．设实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝3，那么y x 的最大值是( D ) A.1 2 B. 3 3 C. 3 2 D. 3 解析： 如图所示，设过原点的直线方程为 y＝kx，则与圆有交点的直线 中，kmax＝ 3，所以y x 的最大值为 3.故选 D. 8．过点(5,2)，且在 x 轴上的截距(直线与 x 轴交点的横坐标)是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是( D ) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0 或 2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－9＝0 或 2x－5y＝0 解析：当截距为 0，即直线过原点时，设直线的方程为 y＝kx， ∴k＝2 5 ，∴y＝2 5x，即 2x－5y＝0. 当截距不为 0 时，设直线的方程为 x 2a ＋y a ＝1，∴ 5 2a ＋2 a ＝1，∴a ＝9 2 ，∴x 9 ＋2y 9 ＝1，即 x＋2y－9＝0. 9．过点 P(4,2)作圆 x2＋y2＝4 的两条切线，切点分别为 A，B， O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( A ) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20 解析：由条件 O，A，B，P 四点共圆，从而 OP 的中点(2,1)为所 求圆的圆心，半径 r＝1 2|OP|＝ 5，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2 ＝5. 10．已知圆的方程为 x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长 弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( B ) A．10 6 B．20 6 C．30 6 D．40 6 解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，∴其圆心为(3,4)， 半径 R＝5.该圆过点(3,5)的最长弦为圆的直径，所以 AC＝10，过点(3,5) 的最短弦为垂直于该点与圆心连线的弦，所以 BD＝2 52－12＝4 6， 所以四边形 ABCD 的面积为 1 2AC·BD＝20 6. 11．已知直线 l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线 l2 与 l1 关 于直线 l 对称，则直线 l2 的方程是( B ) A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋ 2y－1＝0 解析：因为 l1 与 l2 关于 l 对称，所以 l1 上任一点关于 l 的对称点 都在 l2 上，故 l 与 l1 的交点(1,0)在 l2 上．又易知(0，－2)为 l1 上一点， 设它关于 l 的对称点为(x，y)，则 x＋0 2 －y－2 2 －1＝0， y＋2 x ×1＝－1， 解得 x＝－1， y＝－1， 即(1,0)，(－1，－1)为 l2 上两点，可得 l2 的方程为 x－2y －1＝0，故选 B. 12．已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2 ＝9，M、N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM| ＋|PN|的最小值为( A ) A．5 2－4 B. 17－1 C．6－2 2 D. 17 解析：由题意知，圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x－3)2 ＋(y－4)2＝9 的圆心分别为 C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|＝|PC1|＋ |PC2|－4，点 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2| ＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5 2，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5 2－4. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案 填写在题中横线上) 13．已知点 A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC 中，BC 边上的 中线长为 10. 解析：BC 的中点坐标为 －2＋0 2 ，3＋1 2 ，即(－1,2)，所以 BC 边 上的中线长为 2＋12＋1－22＝ 10. 14．l1，l2 是分别经过 A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线， 当 l1，l2 间的距离最大时，直线 l1 的方程是 x＋2y－3＝0. 解析：当两条平行直线与 A，B 两点连线垂直时两条平行直线的 距离最大．因为 A(1,1)，B(0，－1)，kAB＝－1－1 0－1 ＝2，所以两平行线 的斜率为 k＝－1 2 ，直线 l1 的方程是 y－1＝－1 2(x－1)，即 x＋2y－3 ＝0. 15．若垂直于直线 2x＋y＝0，且与圆 x2＋y2＝5 相切的切线方程 为 ax＋2y＋c＝0，则 ac 的值为±5. 解析：已知直线斜率为－2，直线 ax＋2y＋c＝0 的斜率为－a 2.因 为两直线垂直，所以(－2)· －a 2 ＝－1，得 a＝－1.圆心到切线的距离 为 5，即|c| 5 ＝ 5，所以 c＝±5，故 ac＝±5. 16．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－8x＋15 ＝0，若直线 y＝kx－2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半 径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是4 3. 解析：圆 C 的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到 kx－y－2＝0 的距离应不大于 2，即|4k－2| k2＋1 ≤2. 整理，得 3k2－4k≤0，解得 0≤k≤4 3. 故 k 的最大值是4 3. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(10 分)已知两条直线 l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my ＋2m＝0，求当 m 为何值时，l1 与 l2 满足下列条件． (1)相交；(2)平行；(3)重合． 解：当 m＝0 时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.当 m＝2 时， l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，∴l1 与 l2 相交．当 m≠0 且 m≠2 时， 由 1 m－2 ＝m2 3m 得 m＝－1 或 m＝3，由 1 m－2 ＝ 6 2m 得 m＝3. 故(1)当 m≠－1 且 m≠3 且 m≠0 时，l1 与 l2 相交．(2)当 m＝－1 或 m＝0 时，l1∥l2.(3)当 m＝3 时，l1 与 l2 重合． 18．(12 分)当 m 为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m －1. (1)倾斜角为 45°； (2)在 x 轴上的截距为 1. 解：(1)倾斜角为 45°，则斜率为 1.所以－2m2＋m－3 m2－m ＝1，解得 m ＝－1，m＝1(舍去)， 直线方程为 2x－2y－5＝0 符合题意，所以 m＝－1. (2)当 y＝0 时，x＝ 4m－1 2m2＋m－3 ＝1，解得 m＝－1 2 ，或 m＝2， 当 m＝－1 2 ，m＝2 时都符合题意，所以 m＝－1 2 或 m＝2. 19．(12 分)已知圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点 Q(－2,3)． (1)P(a，a＋1)在圆上，求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率． (2)若 M 为圆 C 上任一点，求|MQ|的最大值和最小值． 解：(1)因为点 P(a，a＋1)在圆上，所以 a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋ 1)＋45＝0，所以 a＝4，P(4,5)， 所以|PQ|＝ 4＋22＋5－32＝2 10，kPQ＝ 3－5 －2－4 ＝1 3. (2)因为圆心 C 坐标为(2,7)，所以|QC|＝ 2＋22＋7－32＝4 2， 圆的半径是 2 2，点 Q 在圆外，所以|MQ|max＝4 2＋2 2＝6 2， |MQ|min＝4 2－2 2＝2 2. 20．(12 分)一束光线 l 自 A(－3,3)发出，射到 x 轴上，被 x 轴反 射后与圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0 有公共点． (1)求反射光线通过圆心 C 时，光线 l 所在直线的方程． (2)求在 x 轴上，反射点 M 的横坐标的取值范围． 解：圆 C 的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1. (1)圆心 C 关于 x 轴的对称点为 C′(2，－2)，过点 A，C′的直 线的方程 x＋y＝0，即为光线 l 所在直线的方程． (2)点 A 关于 x 轴的对称点为 A′(－3，－3)， 设过点 A′的直线为 y＋3＝k(x＋3)． 当该直线与圆 C 相切时，有|2k－2＋3k－3| 1＋k2 ＝1， 解得 k＝4 3 或 k＝3 4 ，所以过点 A′的圆 C 的两条切线分别为 y＋3 ＝4 3(x＋3)，y＋3＝3 4(x＋3)． 令 y＝0，得 x1＝－3 4 ，x2＝1， 所以在 x 轴上反射点 M 的横坐标的取值范围是 －3 4 ，1 . 21．(12 分)已知 P 是直线 3x＋4y＋8＝0 上的动点，PA、PB 是圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的两条切线，A、B 是切点，C 是圆心． (1)求四边形 PACB 面积的最小值． (2)直线上是否存在点 P，使∠BPA＝60°？若存在，求出点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵P 在直线 3x＋4y＋8＝0 上，∴设点 P 的坐标为 x，－3 4x－2 . 又 C 点坐标为(1,1)，圆 C 的半径为 1，∴四边形 PACB 的面积 S ＝2S△PAC＝2×1 2|PA|·|AC|＝|AP|， ∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1， ∴当|PC|最小时，|AP|最小，四边形 PACB 的面积最小． ∵|PC|2＝(1－x)2＋ 3 4x＋3 2＝ 5 4x＋1 2＋9. ∴|PC|min＝3，∴Smin＝2 2. (2)不存在．理由如下：假设直线上存在点 P 满足题意． ∵∠APB＝60°，∴∠APC＝30°，∴|AP|＝ 3|AC|＝ 3，|PC|＝2. 设 P(x，y)，则有 x－12＋y－12＝4， 3x＋4y＋8＝0， 消去 y，整理可得 25x2＋40x＋96＝0，Δ＝402－4×25×96<0， ∴这样的点 P 是不存在的． 22．(12 分)已知圆 C 的圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 x＋y －1＝0 相切于点 P(3，－2)． (1)求圆 C 的方程； (2)点 M(0,1)与点 N 关于直线 x－y＝0 对称．是否存在过点 N 的 直线 l，l 与圆 C 相交于 E，F 两点，且使 S△OEF＝2 2(O 为坐标原点)？ 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，用计算过程说明理由． 解：(1)过切点 P(3，－2)且与 x＋y－1＝0 垂直的直线为 y＋2＝x －3，即 y＝x－5. 将 y＝x－5 与直线 y＝－4x 联立可得圆心坐标为(1，－4)． 所以半径 r＝ 3－12＋－2＋42＝2 2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (2)设 N(a，b)，因为 M(0,1)与 N 关于 x－y＝0 对称，所以 b＋1 2 ＝a 2 ， b－1 a ＝－1， 解得 a＝1，b＝0，即 N(1,0)． ①当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x＝1，原点到直线的距离 d＝1.将 x＝1 代入圆的方程得 y＝－4±2 2，所以|EF|＝4 2，于是 S△OEF ＝1 2 ×1×4 2＝2 2，满足题意，此时直线 l 的方程为 x＝1. ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，即 kx －y－k＝0. 圆心 C(1，－4)到直线 l 的距离 d＝|k＋4－k| k2＋1 ＝ 4 k2＋1 ， 设 EF 的中点为 D，连接 CD，则必有 CD⊥EF， 在 Rt△CDE 中，|DE|＝ 8－d2＝ 8－ 16 k2＋1 ＝2 2 k2－1 k2＋1 ，所 以|EF|＝4 2 k2－1 k2＋1 . 因 为 原 点 到 直 线 的 距 离 d1 ＝ |k| k2＋1 ， 所 以 S △ OEF ＝ 1 2·4 2 k2－1 k2＋1 · |k| k2＋1 ＝2 2|k| k2－1 k2＋1 ＝2 2， 整理得 3k2＋1＝0，不存在这样的实数 k. 综上所述，所求的直线方程为 x＝1.