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  • 2021-06-12 发布

2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第5节指数与指数函数

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www.ks5u.com 第5节 指数与指数函数 考试要求 1.了解指数函数模型的实际背景;2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图象;4.体会指数函数是一类重要的函数模型.‎ 知 识 梳 理 ‎1.根式的概念及性质 ‎(1)概念:式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.‎ ‎(2)性质:()n=a(a使有意义);当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|= ‎2.分数指数幂 规定:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.‎ ‎3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R.‎ ‎4.指数函数及其性质 ‎(1)概念:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.‎ ‎(2)指数函数的图象与性质 a>1‎ ‎00时,y>1;‎ 当x<0时,01;‎ 当x>0时,00,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.‎ ‎2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与00,且a≠1)的图象越高,底数越大.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)=-4.(  )‎ ‎(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(  )‎ ‎(3)函数y=2x-1是指数函数.(  )‎ ‎(4)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).(  )‎ 解析 (1)由于==4,故(1)错.‎ ‎(2)当<1时,不可以,故(2)错.‎ ‎(3)由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),‎ 故y=2x-1不是指数函数,故(3)错.‎ ‎(4)由于x2+1≥1,又a>1,∴ax2+1≥a.‎ 故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞),(4)错.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.(老教材必修1P56例6改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过,则f(-1)=(  )‎ A.1 B.2 C. D.3‎ 解析 依题意可知a2=,解得a=,‎ 所以f(x)=,所以f(-1)==.‎ 答案 C ‎3.(新教材必修第一册P119习题4.2T6改编)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.a1,∴b0且a≠1)的图象过定点A,则点A的坐标为______.‎ 解析 令x-2 020=0,得x=2 020,则y=2 021,‎ 故点A的坐标为(2 020,2 021).‎ 答案 (2 020,2 021)‎ ‎6.(2020·菏泽一中月考)计算:×+8×-=________.‎ 解析 原式=×1+2×2-=2.‎ 答案 2‎ 考点一 指数幂的运算 ‎【例1】 化简下列各式:‎ ‎(1)+0.002--10(-2)-1+π0=______.‎ ‎(2)(a>0,b>0)=________.‎ 解析 (1)原式=+500-+1‎ ‎=+10-10-20+1=-.‎ ‎(2)原式==a+-1+b1+-2-=.‎ 答案 (1)- (2) 规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.‎ ‎2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.‎ ‎3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.‎ ‎【训练1】 化简下列各式:‎ ‎(1)[(0.064)-2.5]--π0;‎ ‎(2)a·b-2·÷.‎ 解 (1)原式=--1‎ ‎=--1‎ ‎=--1=0.‎ ‎(2)原式=-a-b-3÷ ‎=-a-b-3÷(ab-)=-a-·b- ‎=-·=-.‎ 考点二 指数函数的图象及应用 ‎【例2】 (1)已知实数a,b满足等式2 020a=2 021b,下列五个关系式:‎ ‎①01,b<0 B.a>1,b>0‎ C.00 D.01.73 B.0.6-1>0.62‎ C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1‎ 解析 A中,∵函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,‎ ‎∴1.72.5<1.73,错误;‎ B中,∵y=0.6x在R上是减函数,-1<2,‎ ‎∴0.6-1>0.62,正确;‎ C中,∵(0.8)-1=1.25,‎ ‎∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.‎ ‎∵y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,‎ ‎∴1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,错误;‎ D中,∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1,‎ ‎∴1.70.3>0.93.1,错误.‎ 答案 B 规律方法 比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.‎ 角度2 解简单的指数方程或不等式 ‎【例3-2】 (1)(2020·包头模拟)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为______.‎ ‎(2)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是________.‎ 解析 (1)当a<1时,41-a=21,解得a=;‎ 当a>1时,代入不成立.故a的值为.‎ ‎(2)当a<0时,原不等式化为-7<1,‎ 则2-a<8,解得a>-3,所以-30且a≠1)⇔f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当00,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a 的值为________.‎ 解析 (1)不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<,如图在同一平面直角坐标系中作出直线y=x-a与y=的图象,由题意知,在(0,+∞)内,直线有一部分在y=图象的下方,由图可知,-a<1,所以a>-1.‎ ‎(2)令ax=t,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈,又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(负值舍去).当0b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a ‎(2)(角度2)(2020·安徽江南名校联考)若ea+πb≥e-b+π-a,则有(  )‎ A.a+b≤0 B.a-b≥0‎ C.a-b≤0 D.a+b≥0‎ ‎(3)(角度3)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是________.‎ ‎(4)(角度3)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),‎ B(3,24).若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,则实数m的最大值为________.‎ 解析 (1)因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,c=0.40.6<1,所以a>b,a>c.又y=0.4x是以0.4为底的指数函数,且在R上单调递减,所以0.40.2>0.40.6,即b>c,所以a>b>c.‎ ‎(2)令f(x)=ex-π-x,则f(x)在R上是增函数,‎ 由ea+πb≥e-b+π-a,得ea-π-a≥e-b-πb,‎ 则f(a)≥f(-b),所以a≥-b,则a+b≥0.‎ ‎(3)原不等式变形为m2-m<,‎ 因为函数y=在(-∞,-1]上是减函数,所以≥=2.‎ 当x∈(-∞,-1]时,m2-m<恒成立等价于m2-m<2,解得-10,且a≠1,解得所以f(x)=3·2x.要使+≥m在区间(-∞,1]上恒成立,‎ 只需保证函数y=+在区间(-∞,1]上的最小值不小于m即可.因为函数y=+在区间(-∞,1]上为减函数,所以当x=1时,y=+有最小值.所以只需m≤即可.所以m的最大值为.‎ 答案 (1)A (2)D (3)(-1,2) (4) A级 基础巩固 一、选择题 ‎1.(2019·永州模拟)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是(  )‎ A.y=sin x B.y=x3‎ C.y= D.y=log2x 解析 y=2x-2-x是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数.y=sin x不是单调递增函数,不符合题意;‎ y=是非奇非偶函数,不符合题意;‎ y=log2x的定义域是(0,+∞),不符合题意;‎ y=x3是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数,符合题意.‎ 答案 B ‎2.函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是(  )‎ A.y= B.y=|x-2|‎ C.y=2x-1 D.y=log2(2x)‎ 解析 f(x)过定点A(1,1),将点A(1,1)代入四个选项,y=的图象不过点A(1,1).‎ 答案 A ‎3.(2020·西安调研)已知0aa,babb.‎ 综上,ab最大.‎ 答案 C ‎4.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为(  )‎ 解析 设原有荒漠化土地面积为b,经过x年后荒漠化面积为z,则z=b(1+10.4%)x,故y==(1+10.4%)x,其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.‎ 答案 D ‎5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(  )‎ A.(-∞,2] B.[2,+∞)‎ C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]‎ 解析 由f(1)=,得a2=,‎ 所以a=或a=-(舍去),即f(x)=.‎ 由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.‎ 答案 B 二、填空题 ‎6.化简=________.‎ 解析 原式==a---·b+-=.‎ 答案  ‎7.若函数f(x)=有最大值3,则a=________.‎ 解析 令h(x)=ax2-4x+3,y=,由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,‎ 因此必有解得a=1,‎ 即当f(x)有最大值3时,a的值为1.‎ 答案 1‎ ‎8.设偶函数g(x)=a|x+b|在(0,+∞)上单调递增,则g(a)与g(b-1)的大小关系是________.‎ 解析 由于g(x)=a|x+b|是偶函数,知b=0,‎ 又g(x)=a|x|在(0,+∞)上单调递增,得a>1.‎ 则g(b-1)=g(-1)=g(1),故g(a)>g(1)=g(b-1).‎ 答案 g(a)>g(b-1)‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)=为奇函数.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)判断函数f(x)的单调性,并加以证明.‎ 解 (1)因为函数f(x)是奇函数,且f(x)的定义域为R;所以f(0)==0,所以a ‎=-1(经检验,a=-1时f(x)为奇函数,满足题意).‎ ‎(2)由(1)知f(x)==1-,函数f(x)在定义域R上单调递增.证明如下:‎ 设x10,a≠1),其中a,b均为实数.‎ ‎(1)若函数f(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),求函数y=的值域;‎ ‎(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b的值.‎ 解 (1)因为函数f(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),‎ ‎∴∴ ‎∴函数f(x)=2x+1>1,函数y==<1.‎ 又=>0,故函数y=的值域为(0,1).‎ ‎(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0],‎ 若a>1,则函数f(x)=ax+b为增函数,‎ ‎∴无解.‎ 若01且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是(  )‎ A.M=N B.M≤N C.MN 解析 因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,所以 a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=<1,所以M>N.‎ 答案 D ‎12.(2020·衡水中学检测)已知函数f(x)=-x且满足f(2a-1)>f(3),则a的取值范围为(  )‎ A.a>2 B.a<2‎ C.-12‎ 解析 易知f(x)=-x是R上的偶函数,‎ 又当x>0时,f(x)=-x单调递减.‎ 由f(2a-1)>f(3)⇔f(|2a-1|)>f(3),‎ ‎∴|2a-1|<3,解得-10,函数f(x)=的图象经过点P,Q.若2p+q=36pq,则a=________.‎ 解析 因为f(x)==,且其图象经过点P,Q,‎ 则f(p)==,即=-,①‎ f(q)==-,即=-6,②‎ ‎①×②得=1,则2p+q=a2pq=36pq,‎ 所以a2=36,解得a=±6,因为a>0,所以a=6.‎ 答案 6‎ ‎14.已知定义在R上的函数f(x)=2x-.‎ ‎(1)若f(x)=,求x的值;‎ ‎(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解 (1)当x<0时,f(x)=0,故f(x)=无解;‎ 当x≥0时,f(x)=2x-,‎ 由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,‎ 将上式看成关于2x的一元二次方程,‎ 解得2x=2或2x=-,‎ 因为2x>0,所以2x=2,所以x=1.‎ ‎(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,‎ 即m(22t-1)≥-(24t-1),因为22t-1>0,‎ 所以m≥-(22t+1),‎ 又y=-22t-1,t∈[1,2]为减函数,‎ ‎∴ymax=-22-1=-5,故m≥-5.‎ C级 创新猜想 ‎15.(多填题)已知函数f(x)=的图象关于点对称,则a=________,f(x)的值域为________.‎ 解析 依题设f(x)+f(-x)=1,‎ 则+=1,‎ 整理得(a-1)[4x+(a-1)·2x+1]=0.‎ 所以a-1=0,则a=1.‎ 因此f(x)==1-.‎ 由于1+2x>1,∴0<<1,∴0