人教A版数学必修三3-1-1随机事件的概率 8页

第三章 概率 本章教材分析 在自然界与人类的社会活动中会出现各种各样的现象,既有确定性现象,又有随机现象. 随机现象在日常生活中随处可见,概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提 供了重要的思维模式和解决问题的方法.概率统计的应用性强,有利于培养学生的应用意识和 动手能力. 我们知道,概率是统计学的理论基础,但本书的内容安排是先统计后概率.这样的安排,一 方面是考虑到统计与概率学科发展的历史是先有统计,为了研究统计结论的可靠性问题,概率 得到了发展；另一方面是考虑到学生的学习心理,统计在前,使得学生在学习过程中可以接触 到大量统计案例,学习过程中的实践性可以大大增强. 本章包括随机事件的概率的统计定义,概率的意义及其基本性质；古典概型的特征及概 率的计算公式；几何概型的特征及概率的计算公式；利用随机模拟的方法估计随机事件的概 率. 本章包括 3 节,教学约需 8 课时,课时分配如下（仅供参考）： 3.1 随机事件的概率 约 3 课时 3.2 古典概型 约 2 课时 3.3 几何概型 约 2 课时 本章复习 约 1 课时 §3.1 随机事件的概率 §3.1.1 随机事件的概率 一、教材分析 概率是描述随机事件发生可能性大小的量度,它已渗透到人们的日常生活中,例如：彩票 的中奖率,产品的合格率,天气预报、台风预报等都离不开概率.概率的准确含义是什么呢？我 们用什么样的方法获取随机事件的概率，从而激发学生学习概率的兴趣？本节课通过学生亲 自动手试验,让学生体会随机事件发生的随机性和随机性中的规律性,通过试验,观察随机事 件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的 定义.在这个过程中,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,是新课标理念的具体 实施. 二、教学目标 1、知识与技能： （1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念； （2）正确理解事件 A 出现的频率的意义； （3）正确理解概率的概念和意义，明确事件 A 发生的频率 fn（A）与事件 A 发生的概率 P（A）的区别与联系； （4）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题． 2、过程与方法： （1）发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发 现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高； （2）通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感 知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法． 3、情感态度与价值观： （1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联 系； （2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识． 三、重点难点 教学重点： 1.理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性. 2.正确理解概率的意义. 教学难点： 1.对概率含义的正确理解. 2.理解频率与概率的关系. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1 日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的.例如,你明天什么时间起床？7：20 在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等.尽管没有确切的 答案,但大体上围绕一个数值在变化,这个数值就是概率.教师板书课题：随机事件的概率. 思路 2 1 名数学家=10 个师 在第二次世界大战中,美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过 10 个师的兵力.这句话 有一个非同寻常的来历. 1943 年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实 力,无力增派更多的护航舰,一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额. 为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用概率论分析后发现,舰 队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律性.一定数量 的船（为 100 艘）编队规模越小,编次就越多（为每次 20 艘,就要有 5 个编次）,编次越多,与 敌人相遇的概率就越大. 美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各 自驶向预定港口.结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的 25%降为 1%,大大 减少了损失,保证了物资的及时供应. 在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看, 可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预 知的,这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现那 种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我 们学习随机事件的概率. （二）推进新课、新知探究、提出问题 （1）什么是必然事件？请举例说明. （2）什么是不可能事件？请举例说明. （3）什么是确定事件？请举例说明. （4）什么是随机事件？请举例说明. （5）什么是事件 A 的频数与频率？什么是事件 A 的概率？ （6）频率与概率的区别与联系有哪些? 活动：学生积极思考,教师引导学生考虑问题的思路,结合实际的情形分析研究.（1）导 体通电时,发热；抛一块石头,下落；“如果 a＞b,那么 a-b＞0”;这三个事件是一定要发生的.但 注意到有一定的条件.（2）在常温下,焊锡熔化；在标准大气压下且温度低于 0 ℃时,冰融化； “没有水,种子能发芽”；这三个事件是一定不发生的.但注意到有一定的条件.（3）抛一块石 头,下落；“如果 a＞b,那么 a-b＞0”;在标准大气压下且温度低于 0 ℃时,冰融化；“没有水,种 子能发芽”；这四个事件在一定的条件下是一定要发生的或一定不发生的.是确定的,不是模棱 两可的.（4）掷一枚硬币,出现正面；某人射击一次,中靶；从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张 标签中任取一张,得到 4 号签；“某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫”；这四个事件在一定的 条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.（5）做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地 时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点：“随机事件发生的随机性和随 机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳 定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试 验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,也体现了新课标的理念. 具体如下： 第一步每个人各取一枚硬币,做 10 次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下表 中： 姓名 试验次数 正面朝上总次数 正面朝上的比例 思考 试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？ 第二步 由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表. 组次 试验总次数 正面朝上总次数 正面朝上的比例 思考 与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？ 通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的 结果不完全相同,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差 别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近 0.5. 第三步 用横轴为实验结果,仅取两个值：1（正面）和 0（反面）,纵轴为实验结果出现 的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？ 第四步 把全班实验结果收集起来,也用条形图表示. 思考 这个条形图有什么特点？ 引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下,班级的结果应比多 数小组的结果更接近 0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在 0.5 附近.并把 实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故而知 新的目的. 第五步 请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性. 思考 如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？ 引导学生寻找掷硬币出现正面朝上的规律,并让学生叙述出现正面朝上的规律性：随着 实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在 0.5 附近.由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化 的结论：随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数 的增加,事件 A 发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上.从而得出频率、概率的 定义,以及它们的关系.一般情况下重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果是 不一致的,这更说明随机事件的随机性. 进一步总结事件的频数与频率,概括出概率的概念.（6）通过（5）的概括和总结写出频 率与概率的区别与联系. 讨论结果：（1）必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件 （certain event）,简称必然事件. （2）不可能事件：在条件S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件（impossible event）,简称不可能事件. （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件. （4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件 （random event）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用 A,B,C,…表示. （5）频数与频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验 中事件 A 出现的次数 na 为事件 A 出现的频数（frequency）；称事件 A 出现的比例 fn(A)= n nA 为事件 A 出现的频率（relative frequency）;对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加, 事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P（A）,称为事件 A 的概率 （probability）. （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数 na 与试验总次数 n 的比值 n nA ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种 摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生 的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率. 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常 事件的概率未知,常用频率作为它的估计值. 频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同. 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷 硬币出现正面朝上的概率就是 0.5,与做多少次实验无关. （三）应用示例 思路 1 例 1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件. （1）“抛一石块,下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化”； （3）“某人射击一次,中靶”； （4）“如果 a＞b,那么 a-b＞0”; （5）“掷一枚硬币,出现正面”； （6）“导体通电后,发热”； （7）“从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签”； （8）“某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫”； （9）“没有水分,种子能发芽”； （10）“在常温下,焊锡熔化”. 分析：学生针对有关概念,思考讨论,教师及时指点,为后续学习打下基础.根据自然界的规 律和日常生活的经验积累,根据定义,可判断事件（1）（4）（6）是必然事件；事件（2）（9） （10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件. 答案：事件（1）（4）（6）是必然事件；事件（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3） （5）（7）（8）是随机事件. 点评：紧扣各类事件的定义,结合实际来判断. 例 2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示： 射击次数 n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 n m （1）填写表中击中靶心的频率； （2）这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少？ 分析：学生回顾所学概念,教师引导学生思考问题的思路,指出事件 A 出现的频数 na 与试 验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的频率 fn（A）稳定在某个常数上时,这个 常数即为事件 A 的概率. 解：（1）表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. （2）由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89. 点评：概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之. 变式训练 一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下： 时间范围 1 年内 2 年内 3 年内 4 年内 新生婴儿数 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数 2 883 4 970 6 994 8 892 男婴出生的频率 （1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第 3 位）； （2）这一地区男婴出生的概率约是多少？ 答案：（1）0.520 0.517 0.517 0.517 （2）由表中的已知数据及公式 fn（A）= n nA 即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常数 0.518 上,所以这一地区男婴出生的概率约是 0.518. 思路 2 例 1 做掷一枚骰子的试验,观察试验结果. （1）试验可能出现的结果有几种？分别把它们写出； （2）做 60 次试验,每种结果出现的频数、频率各是多少？ 分析：学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,因为每一枚骰子有六个面, 每个面上的点数分别是 1,2,3,4,5,6,所以应出现六种结果,试验结果可列表求之. 解：（1）试验可能出现的结果有六种,分别是出现 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点. （2）根据实验结果列表后求出频数、频率,表略. 例 2 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次中 9 环,有 4 次中 8 环,有 1 次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击 1 次,试问中靶的概率约为多大？中 10 环的 概率约为多大？ 分析：学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,中靶的频数为 9,试验次数 为 10,所以中靶的频率为 10 9 =0.9,所以中靶的概率约为 0.9. 解：此人中靶的概率约为 0.9；此人射击 1 次,中靶的概率为 0.9；中 10 环的概率约为 0.2. （四）知能训练 1.指出下列事件是必然事件、不可能事件、还是随机事件. （1）某地 1 月 1 日刮西北风； （2）当 x 是实数时,x2≥0； （3）手电简的电池没电,灯泡发亮； （4）一个电影院某天的上座率超过 50%. 答案：（1）随机事件；（2）必然事件；（3）不可能事件；（4）随机事件. 2.大量重复做掷两枚硬币的实验,汇总实验结果,你会发现什么规律？ 解答：随机事件在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数 的增加,事件发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上,从而获取随机事件的概率. 点评：让学生再一次体会了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法. （五）拓展提升 1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是（ ） A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 答案：B 提示：正面向上恰有 5 次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件. 2.下列说法正确的是（ ） A.任一事件的概率总在（0,1）内 B.不可能事件的概率不一定为 0 C.必然事件的概率一定为 1 D.以上均不对 答案：C 提示：任一事件的概率总在［0,1］内,不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1. 3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答问题. 每批粒数 2 5 10 70 130 310 700 1 500 2 000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1 339 1 806 2 715 发芽的频率 （1）完成上面表格; （2）该油菜子发芽的概率约是多少？ 解：（1）填入表中的数据依次为 1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.（2） 该油菜子发芽的概率约为 0.897. 4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表所示. 投篮次数 48 60 75 100 100 50 100 进球次数 m 36 48 60 83 80 40 76 进球频率 n m （1）计算表中进球的频率； （2）这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少？ 解：（1）填入表中的数据依次为 0.75,0.8,0.8,0.83,0.8,0.8,0.76.（2）由于上述频率接近 0.80, 因此,进球的概率约为 0.80. （六）课堂小结 本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳 定性,即随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验 次数的增加,事件 A 发生的频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常数上（即事件 A 的概率）, 这个常数越接近于 1,事件 A 发生的概率就越大,也就是事件 A 发生的可能性就越大.反之,概 率越接近于 0,事件 A 发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大 小的量. （七）作业 完成课本本节练习.