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- 2021-06-12 发布
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高中数学秒杀型推论
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高中数学秒杀型推论
一.函数
1. 抽象函数的周期
(1)f(a±x)=f(b±x) T=|b-a|
(2)f(a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|
(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a
(4)f(x-a)=f(x+a) T=2a
(5)f(x+a)=-f(x) T=2a
2.奇偶函数概念的推广及其周期:
(1)对于函数 f(x),若存在常数 a,使得 f(a-x)=f(a+x),
则称 f(x)为广义(Ⅰ)型偶函数,且当有两个相异实数 a,
b同时满足时,f(x)为周期函数 T=2|b-a|
(2)若 f(a-x)=-f(a+x),则 f(x)是广义(Ⅰ)型奇
函数,当有两个相异实数 a,b 同时满足时,f(x)为周期
函数 T=2|b-a|
3.抽象函数的对称性
(1)若 f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c
则函数关于( , )成中心对称(充要)
(2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x)
则函数关于直线 x= 成轴对称(充要)
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4.洛必达法则,设连续可导函数 f(x)和 g(x)
二、三角
1.三角形恒等式
(1)在△中,
(2) 正切定理&余切定理:
在非 Rt△中,有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
(3)
(4)
(5)
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3
2.任意三角形射影定理(又称第一余弦定理):
在△ABC 中
a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA
3. 任意三角形内切圆半径 r= (S 为面积),
外接圆半径
欧拉不等式:R>2r
4.梅涅劳斯定理
如下图,E.D.F 三点共线的充要条件是
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5.塞瓦定理
如下图,AD、BE、CF 三线共点的充要条件是
6. 斯特瓦尔特定理:
如下图,设已知△ABC 及其底边上 B、C两点间的一点 D,则
有
AB² DC+AC² BD-AD² BC=BC DC BD
7、和差化积公式(只记忆第一条)
sinα+sinβ=2sin cos
sinα-sinβ=2cos sin
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5
cosα+cosβ=2cos cos
cosα-cosβ=-2sin sin
8、积化和差公式
sinαsinβ=-
cosαcosβ=
sinαcosβ=
cosαsinβ=
9、万能公式
10.三角混合不等式:若 x∈(0, ),sinx
<x<tanx
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当 x→0时 sinx x tanx
11.海伦公式变式
如下图,图中的圆为大三角形的内切圆,大三角形三边长分
别为 a.b.c,大三角形面积为
?*
12.双曲函数
定义双曲正弦函数sinhx= ,双曲余弦函数coshx=
易知(1)奇偶性:sinhx 为奇函数,coshx 为偶函数
(2)导函数:(sinhx)’=coshx,(coshx)’=sinhx
(3)两角和:sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy
cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy
(4)复数域:sinh(ix)=isin(x)
cosh(ix)=icos(x)
(5)定义域:x∈R
(6)值域:sinhx∈R,coshx∈[1,+∞)
13.三角形三边 a.b.c 成等差数列,则
高中数学秒杀型推论
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14.三角形不等式
(1)在锐角△中,
(2)在△中,
(3)在△中,sinA>sinB cos2A>cos2B
15.ASA 的面积公式:
三、复数
1.欧拉公式(泰勒级数推出)
cosθ+isinθ=eiθ
2.棣莫弗定理(欧拉公式推出)
(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)
3.复数模不等式(三角不等式)
|z1+z2+∧+zn|≤|z1|+|z2|+∧+|zn|
当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立
4.
5. 复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)
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四、数列(所有通过递推关系得出通项后都要检验首项)
1.An+1=kAn+f(n)
两边同除以 kn+1,构造数列{ },通过累加法得出通项公式
2. An+1=kAn+C
设一常数 x,An+1+x=k(An+x)
An+1 =kAn+(k-1)x
则(k-1)x=C,求出 x= ,得到等比数列{ },公比
为 k
3.不动点法:
形如 An+1= (d≠0,当 d=0 时,则是第二种情况),
设函数 f(x)= ,x= 的根称为 f(x)的不动点,
(1)若函数 f(x)有 2个不动点α,β 则数列{ }是一
个等比数列,A’n= = ,An=
(2)若函数 f(x)只有一个不动点α 则数列{ }数一个
等差数列,A’n=
(3)若函数 f(x)没有不动点,则数列{An}是周期数列,
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周期自己找
4.特征方程法:
形如 An+2=pAn+1+qAn称为二阶递推数列,
我们可以用它的特征方程 x²-px-q=0 的根来求它的通项公式
(1)若方程有两根 x1,x2,
则 An= x1
n-1+ x2
n-1 ( , 可根据题目确定)
(2)若只有一个根 x0
An=( + n)x0
n-1 ( , 可根据题目确定)
5.变系数一阶递推数列
四、不等式
1.权方和不等式(赫德尔不等式推出)
当且仅当
2.黎曼和-定积分不等式
级数与定积分之间的关系
设可积函数 f(x)
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当 f(x)为减时,
当 f(x)为增时,
3.琴生不等式
函数的平均数与平均数的函数之间的关系
当 f(x)为凹函数,即 f’’(x)>0 时
当 f(x)为凸函数,即 f’’(x)<0 时
当且仅当 x1=x2=∧=xn时,等号成立
4.卡尔松不等式
5.排序不等式
当 且 时,
其中
以上可概括为 顺序和≥乱序和≥倒序和
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5.切比雪夫总和不等式(排序不等式推出)
当 an与 bn逆序时
当 an与 bn顺序时
不等式反向
6.舒尔不等式(Schur 不等式)
xt(x-y)(x-z)+yt(y-x)(y-z)+zt(z-x)(z-y)≥0
当 x=y=z 时,等号成立
配 Schur 法(Schur 分拆法)
三元齐三次对称轮换式 f(x,y,z)≥0 的充要条件是
因为
f(x,y,z)=a +b +
cxyz
三元齐四次对称轮换式 f(x,y,z)≥0 的充要条件是
因为
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f(x,y,z)=
三元齐五次对称轮换式 f(x,y,z)≥0 的充要条件是
因为
f(x,y,z)=
7.常用对数不等式
当 x〉-1 时,
当且仅当 x=0 时等号成立
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8.伯努利不等式
当 x≥-1,n≥0 时或 n为正偶数,x∈R时
(1+x)n≥1+nx
当 n=0 或 1,或 x=0 时等号成立
9.uvw 法和 pqr 法(解决三元对称轮换式)
uvw 法:令 a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3,得到新不等式
pqr 法:令 a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r,得到新不等式
当 a.b.c 为非负实数时,用 uvw 法;
当 a,b,c∈R 时,用 pqr 法
10.SOS 法(配方法)
不解释
11.拉格朗日乘数法(解决条件极值问题)
已知 f(x,y,z)=0,求 F(x,y,z)的极值
构造拉格朗日函数 L=F(x,y,z)+λf(x,y,z)
对 F(x,y,z)分别关于 x,y,z,λ求偏导,得到四元方程组,
其中对 F(x,y,z)关于λ求偏导所得方程即 f(x,y,z)=0
解四元方程组所得解,即 F(x,y,z)的极值点,从而算出极
值。
由拉格朗日乘数法可知,所有对称轮换式的极值在 x=y=z 时
取到
12.拉格朗日乘数法推论(拉格朗日乘数法得到)
已知 x,y,z∈[a,b],对称轮换式 F(x,y,z)的极值在
高中数学秒杀型推论
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和 x=y=z 时取到
13.已知 a.b.c 为正实数,且 a+b+c=k,求证
证明:
k=a+b+c=a+
整理即得所求不等式
14.幂平均不等式
当且仅当 a1= =an时等号成立
15.
16.
17.双绝对值函数图像
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18.a.b 为正数
当 mn>0 时,
当 mn<0 时,
五、排列组合
1.隔板法 I
把 n个元素放到 m个集合中,所得集合均非空,则有 种
x1+x2+∧+xm=n 的正整数解个数为
2.隔板法 II
把 n 个元素放到 m个集合中,所得集合可为空,则有
种
x1+x2+∧+xm=n 的非负整数解个数为
高中数学秒杀型推论
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(a1x1+a2x2+∧+amxm)
n展开式的项数为
3.圆排列
从 n个元素中抽取 m个元素,按照一定的顺序排列成一圈,
叫做一个圆排列,圆排列的个数
4.重复组合
从 n个元素中抽取 m个元素,元素可以重复选取,不管顺序,
组成一组,叫重复组合,重复组合个数
5.组合恒等式(只例举了最简洁的四个)
6.从互不相同的 n个非零数字中任取 m个,所得 m位数之和
为 S,S= ,其中 为 n个非零数字的算术平
均数
7.(ax+by)n展开式中,第 k项系数绝对值最大,则
高中数学秒杀型推论
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其中[ ]表示高斯函数,即取整函数
六、解析几何
1.圆锥曲线统一极坐标方程
2.圆锥曲线统一焦点弦长公式
3.A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
当且仅当 时,三点共线
4. A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)四点共
圆的充要条件
5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0 三线共点的充
要条件 =0
6.过(x0,y0)引圆锥曲线 F(x,y)的弦,弦中点的轨迹方
程为 y-y0=F’(x,y)(x-x0),
当(x0,y0)为弦中点时,弦中点轨迹方程为 y-y0=F’(x0,y0)
(x-x0)
高中数学秒杀型推论
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7.定比分点公式:
A(xA,yA),B(xB,yB),AB 的λ+1 等分点坐标为(
)
8.若抛物线 y2=2px,AB 是抛物线上的动弦,kOAkOB=λ,则 AB
恒过定点( )
9.抛物线焦点弦性质:
抛物线焦点弦两端点 A(x1,y1)、B(x2,y2),焦点弦斜率为
k,焦点弦长度为 L
(1)y1y2=-p
2
x1x2=
x1+x2=p+ =
y1+y2=
(2)L=x1+x2+p= = =
(3)k=
(4)
(5)
10.圆锥曲线焦点弦性质(通性):
高中数学秒杀型推论
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焦点弦长为 L,
(1)已知 x1+x2时,
椭圆:L=2a-e(x1+x2)
双曲线:L=e -2a
抛物线:L= +p
(2)已知焦点弦倾斜角 时,
L=
(3)椭圆、抛物线、双曲线(焦点弦端点在同支)焦点弦
的两个焦半径倒数之和为常数
双曲线(焦点弦端点在异支)焦点弦的两个焦半径倒数之差
为常数
(4)圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数
(5)圆锥曲线焦点弦 AB 的中垂线于对称轴(标准方程中为
x轴)于 D,
高中数学秒杀型推论
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(6)圆锥曲线内,最长的焦点弦为通径
11.圆锥曲线的焦半径(通性)
(1)极点为焦点,极轴为 x轴的圆锥曲线极坐标方程
式中的 为极径,即焦半径, 为极角
(2)已知焦半径端点的横坐标 x时
12.双焦点三角形面积:
F1.F2为有心圆锥曲线两焦点
P为椭圆上一个点,
P为双曲线上一个点,
13.圆锥曲线幂定理:
高中数学秒杀型推论
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圆锥曲线 F(x,y)≡Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 与一条过 M(x0,y0),
且倾斜角为 的直线 L交于 P1.P2两点,则
· = =
14.点 P(x0,y0)对圆锥曲线 C引两条切线,连结切点所得
线为切点弦(极线),或点 P(x0,y0)为切点,则极线方程
或切线方程为?
(1)若 C为椭圆,
(2)若 C为双曲线,
(3)若 C为抛物线,
15.已知有心圆锥曲线 F(x,y),直线 l:f(x,y),p 是 l 上
一点,射线 OP 交圆锥曲线于点 R,又点 Q 在 OB 上,且满足
,当 P在 l上移动时,Q的轨迹方程即为 F
(x,y)=f(x,y)
16.曲线族 F(x,y,t)的包络为
F(x,y,t)= =0
17. A(x1,y1),B(x2,y2),以 AB 为直径的圆的方程为(x-x1)
(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
18.关于双曲线渐近线:
高中数学秒杀型推论
22
(1)共轭双曲线:实轴与虚轴对换,
有相同渐近线,
四焦点共圆,
离心率的倒数平方和为 1:
(2)焦点到渐近线距离为虚半轴长 b
(3)若两渐近线夹角为 ,则双曲线离心率 e=
(4)双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数
(5)过双曲线上任意一点 M 作平行于实轴的直线交两渐近
线于 P.Q,则
19.过有心圆锥曲线上一定点 P(x0,y0)作倾斜角互补的两
直线与有心圆锥曲线的另两交点 A.B 的连线的斜率为定值
过无心圆锥曲线上上一定点 P(x0,y0)作倾斜角互补的
两直线与无心圆锥曲线的另两交点 A.B的连线的斜率为定值
以上情况中,∠APB 的角平分线 x=x0平行于 y 轴,ΔAPB 的
内切圆圆心恒过直线 x=x0.
20.圆锥曲线光学性质:
椭圆:由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点
高中数学秒杀型推论
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双曲线:由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线
必过另一焦点
抛物线:平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点;过
焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴
21.有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值,且
定值为 b2
22.椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率
切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率 弦中点与中心连线的
斜率=
双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜
率 切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率 弦中点与中心连
线的斜率=
23.抛物线 y2=2px 内接 Rt△OAB(以 O为直角顶点),A(x1,
y1)B(x2,y2)
(1)x1x2=4p
2,y1y2=-4p
2
(2)AB 恒过顶点(2p,0)
(3)AB 中点轨迹方程 y2=p(x-2p)
(4)AB 边上高的垂足轨迹方程(x-p)2+y2=p2
(5)(S△OAB)min=( )min=4p
2
高中数学秒杀型推论
24
24.对于极坐标方程 ,从θ1到θ2,曲线所围成的面
积 S=
对于极坐标方程 ,从θ1到θ2,曲线所积出的长度
L=
25.圆锥曲线上一弦 AB,其中点 M(x0,y0),AB 的斜率为
(1)对于椭圆,
(2)对于双曲线,
(3)对于抛物线,
26.圆锥曲线上定点:圆锥曲线上有一定点 P(x0,y0),另有
一直线 L于圆锥曲线交于与 P相异两点 A.B.
第一组:当 kPAkPB=λ(λ≠ )时
1) 对于椭圆,L
恒过定点
2) 对于双曲线,
L恒过定点
3) 对于抛物线,
高中数学秒杀型推论
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L 恒过定点
第二组:当 kPA+kPB=λ(λ≠0)时
1) 对于椭圆,L
恒过定点
2) 对于双曲线,
L恒过定点
3) 对于抛物线,
L恒过定点
七、立体几何
1.万能求积公式:
2.设平面内三点 A.B.C, (x1,y1,z1), (x2,y2,z2),
则 该 平 面 的 法 向 量 为
3.空间余弦定理:
高中数学秒杀型推论
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相交平面内分别有两条垂直于相交棱的线段,长度分别为
m.n,垂足距离为 d,另一端点之间距离为 L,则平面所成二
面角θ,满足
4.二面角射影定理:
如果平面α内的一个多边形面积为 S,它在平面β内的射影
面积为 S 射,α与β所成二面角为θ,则
5.三射线定理:
从 O 点引出三条不共面射线 OA.OB.OC,∠AOC=θ1,∠BOC=
θ2,∠AOB=θ,二面角 A—OC—B=α,则
6.四面体 ABCD 相对棱 AC 与 BD(异面线段)所成角为α,则
7.四面体体积公式,
若四面体两条相对棱长为 a.b,它们的距离为 d,所成角为
θ,则四面体体积为
8.台体两底面面积为 S.S’,则中截面 S0满足
高中数学秒杀型推论
27
9.内切球半径公式:
V为 n面体体积,S为 n面体表面积,则
10.旋转体体积公式:
S 为凸多边形面积,d 为凸多边形重心到轴的距离,凸多边
形绕轴一周所形成的几何体体积为 V,则
11.四面体体积公式之行列式形式:
AB.AC.AD 为 四 面 体 ABCD 的 三 条 共 点 棱 ,
,
V 四面体 ABCD=
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