• 923.00 KB
  • 2021-06-12 发布

2021高考数学一轮复习第8章立体几何初步第5节空间几何体的表面积与体积教学案文北师大版

  • 16页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第五节 空间几何体的表面积与体积 ‎[最新考纲] 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.‎ ‎(对应学生用书第135页)‎ ‎1.多面体的表(侧)面积 因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.‎ ‎2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 ‎ 侧面积公式 ‎ S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l 三者关系 S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r′)lS圆锥侧=πrl ‎3.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体   ‎ 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积=S侧+2S底 V=Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积=S侧+S底 V=Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=4πR2‎ V=πR3‎ ‎1.正四面体的表面积与体积 棱长为a的正四面体,其表面积为a2,体积为a3.‎ ‎2.几个与球有关的切、接常用结论 ‎(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,‎ ‎①若球为正方体的外接球,则2R=a;‎ - 16 -‎ ‎②若球为正方体的内切球,则2R=a;‎ ‎③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.‎ ‎(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.‎ ‎(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1,棱长为a的正四面体,其内切球半径R内=a,外接球半径R外=a.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)锥体的体积等于底面面积与高之积. (  )‎ ‎(2)球的体积之比等于半径比的平方. (  )‎ ‎(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. (  )‎ ‎(4)已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则R=a. (  )‎ ‎[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√‎ 二、教材改编 ‎1.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为(  )‎ A.π   B.π   C.16π   D.24π B [设球的半径为R,由题意得4πR2=16π,‎ 解得R=2,所以这个球的体积为V=πR3=π,故选B.]‎ ‎2.已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为(  )‎ A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm B [设圆锥的底面半径为r,母线长为l,‎ 由题意知,2πr=πl,得l=2r.‎ 则S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π.‎ 解得r=2(cm),故选B.]‎ ‎3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ - 16 -‎ A.6 B.3 ‎ C.2 D.3‎ B [由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为左视图,该左视图是底边为2,高为的三角形,主视图的长为三棱柱的高,故h=3,所以几何体的体积V=S·h=×3=3.]‎ ‎4.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.‎ ‎1∶47 [设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为V1=××a×b×c=abc,剩下的几何体的体积V2=abc-abc=abc,所以V1∶V2=1∶47.]‎ ‎(对应学生用书第136页)‎ ‎⊙考点1 空间几何体的表面积 ‎ 求解几何体表面积的类型及求法 求多面体的表面积 先求各个面的面积,再相加即可 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积 - 16 -‎ ‎(1)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(  )‎ A.48+π    B.48-π C.48+2π D.48-2π ‎(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(  )‎ A.12π B.12π C.8π D.10π ‎(1)A (2)B [(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球,正四棱柱的底面是正方形(边长为2),高为5,半球的半径是1,那么该几何体的表面积为S=2×2×2+4×2×5-π×12+2π×12=48+π,故选A.‎ ‎(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2,底面圆的直径为2,所以该圆柱的表面积为2×π×()2+2π××2=12π.]‎ ‎ 解答本题T(1)时易误认为几何体的上底面不存在,导致计算错误.‎ ‎ 1.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(  )‎ - 16 -‎ A.1+ B.1+2 C.2+ D.2 C [由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体,其中AB=AD=CB=CD=,BD=2,且平面ABD⊥平面CBD.所以△ABD与△CBD都是等腰直角三角形,而△ABC与△CAD都是边长是的等边三角形.所以表面积是×××2+×()2×2=2+,故选C.]‎ ‎2.(2016·全国卷Ⅲ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(  )‎ A.18+36 B.54+18 C.90 D.81‎ B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则表面积为(3×3+3×6+3×3)×2=54+18.故选B.]‎ ‎⊙考点2 空间几何体的体积 ‎ 求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体,利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积,常用于求三棱锥的体积,即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 ‎ 直接法求体积 ‎(1)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(  )‎ - 16 -‎ A.+1  B.+3  C.+1  D.+3‎ ‎(2)(2018·天津高考)如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1BB1D1D的体积为________.‎ ‎(1)A (2) [(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆锥和三棱锥S ABC组成的,‎ 如图,三棱锥的高为3,底面△ABC中,AB=2,OC=1,AB⊥OC.故其体积V=××π×12×3+××2×1×3=+1.故选A.‎ ‎(2)四棱锥A1BB1D1D的底面BB1D1D为矩形,其面积S=1×=,又四棱锥的高为点A1到平面BB1D1D的距离,即h=A1C1=,所以四棱锥的体积V=××=.]‎ ‎ 直接法求体积关键是求几何体的底面面积和高这两个量.‎ ‎[教师备选例题]‎ 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为(  )‎ A.4π   B.2π   C.   D.π B [由题意知该几何体的直观图如图所示,该几何体为圆柱的一部分,设底面扇形的圆心角为α,由tan α==,得α=,故底面面积为××22=,则该几何体的体积为×3=2π.]‎ ‎ 割补法求体积 - 16 -‎ ‎(1)[一题多解](2017·全国卷Ⅱ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(  )‎ A.90π B.63π C.42π D.36π ‎(2)[一题多解]如图所示,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为(  )‎ A. B. C. D. ‎(1)B (2)A [(1)法一:(割补法)如图所示,由几何体的三视图,可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得.‎ 将圆柱补全,并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×=63π.‎ 故选B.‎ 法二:(估值法)由题意,知V圆柱<V几何体<V圆柱.又V圆柱=π×32×10=90π,∴45π<V几何体<90π.观察选项可知只有63π符合.‎ 故选B.‎ ‎(2)法一:如图所示,分别过A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,‎ 因为三棱锥高为,直三棱柱高为1,AG==,‎ 取AD的中点M,则MG=,‎ - 16 -‎ 所以S△AGD=×1×=,‎ 所以V=×1+2×××=.‎ 法二:如图所示,取EF的中点P,则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体,四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥.所以V=×12×+2×××=.]‎ ‎ 解答本例T(1)中,也可将两个相同的几何体对接为圆柱,圆柱体积的一半即为所求.‎ ‎ 等体积法求体积 ‎ (2019·武汉模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M为CD的中点,则三棱锥ABC1M的体积VABC1M=(  )‎ A.    B.    C.    D. C [VABC1M=VC1ABM=S△ABM·C1C=×AB×AD×C1C=,故选C.]‎ ‎ 使用等体积法求体积时,一般是把三棱锥的底面转化到已知几何体的某一个面上.‎ ‎[教师备选例题]‎ 如图所示,已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1ABC1的体积为(  )‎ A.      B. - 16 -‎ C. D. A [三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积,三棱锥AB1BC1的高为,底面积为,故其体积为××=.]‎ ‎ 1.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g.‎ ‎118.8 [由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形,‎ 对角线长分别为6 cm和4 cm,‎ 故V挖去的四棱锥=××4×6×3=12(cm3).‎ 又V长方体=6×6×4=144(cm3),‎ 所以模型的体积为 V长方体-V挖去的四棱锥=144-12=132(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g).]‎ ‎2.某几何体的三视图如图所示,若其主视图为等腰梯形,左视图为正三角形,则该几何体的体积为________.‎  [根据几何体的三视图,知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥,如图所示:‎ 底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,EF平行于底面,且EF=1.过点E作EM⊥AB,垂足为点M,过点E作EN⊥DC,垂足为点N,连接MN.‎ 同理作FM1,FN1,M1N1.‎ - 16 -‎ 则AM=,EM=1,V=2VEAMND+VEMNFM1N1=2×××+×1××1=.]‎ ‎⊙考点3 球与空间几何体的切、接问题 ‎ 空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.‎ ‎(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.‎ ‎ 外接球 ‎(1)(2018·全国卷Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为(  )‎ A.12    B.18 C.24 D.54 ‎(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为(  )‎ A. B.2 C. D.3 ‎(1)B (2)C [(1)如图,E是AC中点,M是△ABC的重心,O为球心,连接BE,OM,OD,BO.因为S△ABC=AB2=9,所以AB=6,BM=BE==2.易知OM⊥平面ABC,所以在Rt△OBM中,OM==2,所以当D,O,M三点共线且DM=OD+OM时,三棱锥DABC的体积取得最大值,且最大值Vmax=S△ABC×(4+OM)=×9×6=18.故选B.‎ ‎(2)如图所示,由球心作平面ABC的垂线,‎ 则垂足为BC的中点M.因为AB=3,AC=4,AB⊥AC,所以BC - 16 -‎ ‎=5.‎ 又AM=BC=,OM=AA1=6,‎ 所以球O的半径R=OA==,故选C.]‎ ‎[母题探究]‎ 本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥,则其外接球的半径是多少?”‎ ‎[解] 依题意,得该正四棱锥底面对角线的长为3×=6,‎ 高为=3,‎ 因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3.‎ ‎ 本例T(2)中直三棱柱有三条棱两两垂直,因此直三棱柱可补形为长方体,从而其外接球的直径为长方体的体对角线长.‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎1.点A、B、C、D在同一球面上,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为(  )‎ A.32π  B.48π  C.64π  D.16π A [由题意知,球心O到△ABC的中心O′的距离为3,‎ 即OO′=AD=3,如图所示,‎ ‎ AO′=××3=,‎ ‎∴OA==2,‎ ‎∴V球=π×(2)3=32π.]‎ ‎2.若一个底面边长为,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,求该球的体积和表面积.‎ ‎[解] 在底面正六边形ABCDEF中,连接BE、AD交于O,连接BE1,‎ - 16 -‎ 则BE=2OE=2DE,‎ ‎∴BE=,‎ 在Rt△BEE1中,‎ BE1==2,∴2R=2,则R=,∴球的体积V球=πR3=4π,球的表面积S球=4πR2=12π.‎ ‎ 内切球 ‎(1)(2017·江苏高考)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.‎ ‎(2)已知正三棱锥SABC的底面是面积为的正三角形,高为2,则其内切球的表面积为________.‎ ‎(1) (2) [(1)设球O的半径为R,‎ ‎∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,‎ ‎∴圆柱O1O2的高为2R,底面半径为R.‎ ‎∴==.‎ ‎(2)过顶点S作SO⊥平面ABC,则SO=2.‎ 设正三棱锥SABC的底面边长为a,则底面积为a2=,即a=2.‎ 连接AO并延长,交BC于D,连接SD,则SD为斜高,‎ ‎∴SD==.‎ - 16 -‎ 设正三棱锥SABC的内切球的半径为r,‎ 则××2=r,‎ 解得r=.‎ ‎∴内切球的表面积S=4πr2=.]‎ ‎ 三棱锥内切球球心位置不易确定,一般用等体积法求解,如本例T(2).求圆锥内切球的半径,可先作出轴截面利用等面积法求解.‎ ‎ 1.一个圆锥的母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为,则圆锥的内切球的表面积为(  )‎ A.8π B.4(2-)2π C.4(2+)2π D.π B [作出圆锥截面图如图,‎ ‎∵母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为,∴圆锥底面半径与高均为.‎ 设内切球的半径为r,则利用轴截面,根据等面积可得×2×=×(2+2+2)r,∴r=2-.‎ ‎∴该圆锥内切球的表面积为4π×(2-)2=4(2-)2π,故选B.]‎ ‎2.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知PA⊥平面ABCE,四边形ABCD为正方形, AD=2,ED=1, 若鳖臑PADE的外接球的体积为,则阳马PABCD的外接球的表面积等于(  )‎ A.15π   B.16π C.17π   D.18π - 16 -‎ C [由题意,在三棱锥PADE(鳖臑)中,ED⊥DA,PA⊥平面ABCE,所以其外接球的直径2r=PE.设PA=h,则2r===,所以其外接球的体积V===,解得h=3.设四棱锥PABCD(阳马)的外接球半径为R,则2R=PC===,所以该球的表面积S=4πR2=17π.故选C.]‎ 课外素养提升⑦ 直观想象——巧解球的切、接问题 ‎(对应学生用书第139页)‎ 球与简单几何体的切、接问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题,其中球心的确定是关键.‎ 外接球问题 常用结论 ‎(1)简单多面体外接球的球心的结论.‎ 结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.‎ 结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.‎ 结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.‎ ‎(2)构造正方体或长方体确定球心.‎ ‎(3)利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.‎ ‎【例1】 (2019·武昌模拟)已知底面为正方形的四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=AB=2,则球O的表面积为(  )‎ A.       B. C. D. D [令△PAD所在圆的圆心为O1,△PAD为正三角形,AD=2,‎ 则圆O1的半径r=,∵平面PAD⊥底面ABCD,AB=2,‎ ‎∴OO1=AB=1,∴球O的半径R==,‎ ‎∴球O的表面积=4πR2=,故选D.]‎ ‎[评析] 求出△PAD所在圆的半径,利用勾股定理求出球O的半径R,即可求出球O的表面积.‎ - 16 -‎ ‎【素养提升练习】‎ ‎1.(2019·广州模拟)三棱锥PABC中,平面PAC⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=PC=AC=2,AB=4,则三棱锥PABC的外接球的表面积为(  )‎ A.23π B.π C.64π D.π D [如图,设O′为正△PAC的中心,D为Rt△ABC斜边的中点,H为AC中点.由平面PAC⊥平面ABC.‎ 则O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD,OD∥O′H,则交点O为三棱锥外接球的球心,连接OP,又O′P=PH=××2=,‎ OO′=DH=AB=2.‎ ‎∴R2=OP2=O′P2+O′O2=+4=.‎ 故几何体外接球的表面积 S=4πR2=π.]‎ ‎【例2】 (2019·开封模拟)在三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=,AA1⊥平面ABC,则该三棱柱的外接球的体积为(  )‎ A.40π B.40π ‎ C. D. D [由题意可知直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=2,∠BAC=,‎ AA1=2,底面三角形ABC的外接圆半径为=2,‎ 连接两个底面中心的连线,中点与顶点的连线就是球的半径,‎ 外接球的半径为:=.‎ ‎∴三棱柱的外接球的体积为V=π×()3=,故选D.]‎ ‎[评析] 由已知求出底面ABC的外接圆的半径,连接两个底面中心的连线,中点与顶点的连线就是球的半径,即可求出三棱柱的外接球的体积.‎ - 16 -‎ ‎【素养提升练习】‎ ‎2.已知正三棱柱A1B1C1ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为(  )‎ A.21π B.42π C.84π D.84‎ C [如图,M,N为上下底面正三角形的中心,‎ O为MN的中点,即外接球球心,‎ ‎∵正三棱柱A1B1C1ABC的所有棱长都是6,‎ AM==2,OM=3,‎ 球半径R=OA==,该棱柱外接球的表面积为S=4π×()2=84π,故选C.]‎ 内切球问题 常用结论 ‎(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.‎ ‎(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.‎ ‎(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一定重合.‎ ‎【例3】 体积为的球与正三棱柱的所有面均相切,则该棱柱的体积为________.‎ ‎6 [设球的半径为R,由R3=,得R=1,所以正三棱柱的高h=2.设底面边长为a,则×a=1,所以a=2.所以V=×(2)2×2=6.]‎ ‎[评析] 球与正三棱柱的两个底面相切,可求球的直径,球与正三棱柱的三个侧面相切,相当于正三棱柱的底面三角形有内切圆.‎ ‎【素养提升练习】‎ ‎3.若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则=________.‎  [设正四面体的棱长为a,则S1=a2.‎ 正四面体的高h=a,体积V=××a=a3.‎ 设正四面体的内切球半径为r,‎ 则×a2×r=a3,‎ 解得r=a,则内切球表面积S2=4πr2=,‎ ‎∴=a2×=.]‎ - 16 -‎