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- 2021-06-12 发布
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第五节 空间几何体的表面积与体积
[最新考纲] 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
(对应学生用书第135页)
1.多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧=2πrl
S圆锥侧=πrl
S圆台侧=π(r1+r2)l
三者关系
S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r′)lS圆锥侧=πrl
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
V=Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=(S上+S下+)h
球
S=4πR2
V=πR3
1.正四面体的表面积与体积
棱长为a的正四面体,其表面积为a2,体积为a3.
2.几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
- 16 -
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1,棱长为a的正四面体,其内切球半径R内=a,外接球半径R外=a.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积. ( )
(2)球的体积之比等于半径比的平方. ( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. ( )
(4)已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则R=a. ( )
[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材改编
1.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为( )
A.π B.π C.16π D.24π
B [设球的半径为R,由题意得4πR2=16π,
解得R=2,所以这个球的体积为V=πR3=π,故选B.]
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( )
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D. cm
B [设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
由题意知,2πr=πl,得l=2r.
则S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π.
解得r=2(cm),故选B.]
3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
- 16 -
A.6 B.3
C.2 D.3
B [由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为左视图,该左视图是底边为2,高为的三角形,主视图的长为三棱柱的高,故h=3,所以几何体的体积V=S·h=×3=3.]
4.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.
1∶47 [设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为V1=××a×b×c=abc,剩下的几何体的体积V2=abc-abc=abc,所以V1∶V2=1∶47.]
(对应学生用书第136页)
⊙考点1 空间几何体的表面积
求解几何体表面积的类型及求法
求多面体的表面积
先求各个面的面积,再相加即可
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积时
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积
- 16 -
(1)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )
A.48+π B.48-π
C.48+2π D.48-2π
(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.12π B.12π
C.8π D.10π
(1)A (2)B [(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球,正四棱柱的底面是正方形(边长为2),高为5,半球的半径是1,那么该几何体的表面积为S=2×2×2+4×2×5-π×12+2π×12=48+π,故选A.
(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2,底面圆的直径为2,所以该圆柱的表面积为2×π×()2+2π××2=12π.]
解答本题T(1)时易误认为几何体的上底面不存在,导致计算错误.
1.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )
- 16 -
A.1+ B.1+2
C.2+ D.2
C [由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体,其中AB=AD=CB=CD=,BD=2,且平面ABD⊥平面CBD.所以△ABD与△CBD都是等腰直角三角形,而△ABC与△CAD都是边长是的等边三角形.所以表面积是×××2+×()2×2=2+,故选C.]
2.(2016·全国卷Ⅲ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )
A.18+36 B.54+18
C.90 D.81
B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则表面积为(3×3+3×6+3×3)×2=54+18.故选B.]
⊙考点2 空间几何体的体积
求体积的常用方法
直接法
对于规则的几何体,利用相关公式直接计算
割补法
首先把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算
等体积法
选择合适的底面来求几何体体积,常用于求三棱锥的体积,即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换
直接法求体积
(1)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )
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A.+1 B.+3 C.+1 D.+3
(2)(2018·天津高考)如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1BB1D1D的体积为________.
(1)A (2) [(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆锥和三棱锥S ABC组成的,
如图,三棱锥的高为3,底面△ABC中,AB=2,OC=1,AB⊥OC.故其体积V=××π×12×3+××2×1×3=+1.故选A.
(2)四棱锥A1BB1D1D的底面BB1D1D为矩形,其面积S=1×=,又四棱锥的高为点A1到平面BB1D1D的距离,即h=A1C1=,所以四棱锥的体积V=××=.]
直接法求体积关键是求几何体的底面面积和高这两个量.
[教师备选例题]
某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )
A.4π B.2π C. D.π
B [由题意知该几何体的直观图如图所示,该几何体为圆柱的一部分,设底面扇形的圆心角为α,由tan α==,得α=,故底面面积为××22=,则该几何体的体积为×3=2π.]
割补法求体积
- 16 -
(1)[一题多解](2017·全国卷Ⅱ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π
C.42π D.36π
(2)[一题多解]如图所示,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( )
A. B.
C. D.
(1)B (2)A [(1)法一:(割补法)如图所示,由几何体的三视图,可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得.
将圆柱补全,并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×=63π.
故选B.
法二:(估值法)由题意,知V圆柱<V几何体<V圆柱.又V圆柱=π×32×10=90π,∴45π<V几何体<90π.观察选项可知只有63π符合.
故选B.
(2)法一:如图所示,分别过A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,
因为三棱锥高为,直三棱柱高为1,AG==,
取AD的中点M,则MG=,
- 16 -
所以S△AGD=×1×=,
所以V=×1+2×××=.
法二:如图所示,取EF的中点P,则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体,四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥.所以V=×12×+2×××=.]
解答本例T(1)中,也可将两个相同的几何体对接为圆柱,圆柱体积的一半即为所求.
等体积法求体积
(2019·武汉模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M为CD的中点,则三棱锥ABC1M的体积VABC1M=( )
A. B. C. D.
C [VABC1M=VC1ABM=S△ABM·C1C=×AB×AD×C1C=,故选C.]
使用等体积法求体积时,一般是把三棱锥的底面转化到已知几何体的某一个面上.
[教师备选例题]
如图所示,已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1ABC1的体积为( )
A. B.
- 16 -
C. D.
A [三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积,三棱锥AB1BC1的高为,底面积为,故其体积为××=.]
1.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g.
118.8 [由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形,
对角线长分别为6 cm和4 cm,
故V挖去的四棱锥=××4×6×3=12(cm3).
又V长方体=6×6×4=144(cm3),
所以模型的体积为
V长方体-V挖去的四棱锥=144-12=132(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g).]
2.某几何体的三视图如图所示,若其主视图为等腰梯形,左视图为正三角形,则该几何体的体积为________.
[根据几何体的三视图,知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥,如图所示:
底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,EF平行于底面,且EF=1.过点E作EM⊥AB,垂足为点M,过点E作EN⊥DC,垂足为点N,连接MN.
同理作FM1,FN1,M1N1.
- 16 -
则AM=,EM=1,V=2VEAMND+VEMNFM1N1=2×××+×1××1=.]
⊙考点3 球与空间几何体的切、接问题
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.
外接球
(1)(2018·全国卷Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A.12 B.18
C.24 D.54
(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B.2
C. D.3
(1)B (2)C [(1)如图,E是AC中点,M是△ABC的重心,O为球心,连接BE,OM,OD,BO.因为S△ABC=AB2=9,所以AB=6,BM=BE==2.易知OM⊥平面ABC,所以在Rt△OBM中,OM==2,所以当D,O,M三点共线且DM=OD+OM时,三棱锥DABC的体积取得最大值,且最大值Vmax=S△ABC×(4+OM)=×9×6=18.故选B.
(2)如图所示,由球心作平面ABC的垂线,
则垂足为BC的中点M.因为AB=3,AC=4,AB⊥AC,所以BC
- 16 -
=5.
又AM=BC=,OM=AA1=6,
所以球O的半径R=OA==,故选C.]
[母题探究]
本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥,则其外接球的半径是多少?”
[解] 依题意,得该正四棱锥底面对角线的长为3×=6,
高为=3,
因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3.
本例T(2)中直三棱柱有三条棱两两垂直,因此直三棱柱可补形为长方体,从而其外接球的直径为长方体的体对角线长.
[教师备选例题]
1.点A、B、C、D在同一球面上,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为( )
A.32π B.48π C.64π D.16π
A [由题意知,球心O到△ABC的中心O′的距离为3,
即OO′=AD=3,如图所示,
AO′=××3=,
∴OA==2,
∴V球=π×(2)3=32π.]
2.若一个底面边长为,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,求该球的体积和表面积.
[解] 在底面正六边形ABCDEF中,连接BE、AD交于O,连接BE1,
- 16 -
则BE=2OE=2DE,
∴BE=,
在Rt△BEE1中,
BE1==2,∴2R=2,则R=,∴球的体积V球=πR3=4π,球的表面积S球=4πR2=12π.
内切球
(1)(2017·江苏高考)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.
(2)已知正三棱锥SABC的底面是面积为的正三角形,高为2,则其内切球的表面积为________.
(1) (2) [(1)设球O的半径为R,
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,
∴圆柱O1O2的高为2R,底面半径为R.
∴==.
(2)过顶点S作SO⊥平面ABC,则SO=2.
设正三棱锥SABC的底面边长为a,则底面积为a2=,即a=2.
连接AO并延长,交BC于D,连接SD,则SD为斜高,
∴SD==.
- 16 -
设正三棱锥SABC的内切球的半径为r,
则××2=r,
解得r=.
∴内切球的表面积S=4πr2=.]
三棱锥内切球球心位置不易确定,一般用等体积法求解,如本例T(2).求圆锥内切球的半径,可先作出轴截面利用等面积法求解.
1.一个圆锥的母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为,则圆锥的内切球的表面积为( )
A.8π B.4(2-)2π
C.4(2+)2π D.π
B [作出圆锥截面图如图,
∵母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为,∴圆锥底面半径与高均为.
设内切球的半径为r,则利用轴截面,根据等面积可得×2×=×(2+2+2)r,∴r=2-.
∴该圆锥内切球的表面积为4π×(2-)2=4(2-)2π,故选B.]
2.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知PA⊥平面ABCE,四边形ABCD为正方形, AD=2,ED=1, 若鳖臑PADE的外接球的体积为,则阳马PABCD的外接球的表面积等于( )
A.15π B.16π C.17π D.18π
- 16 -
C [由题意,在三棱锥PADE(鳖臑)中,ED⊥DA,PA⊥平面ABCE,所以其外接球的直径2r=PE.设PA=h,则2r===,所以其外接球的体积V===,解得h=3.设四棱锥PABCD(阳马)的外接球半径为R,则2R=PC===,所以该球的表面积S=4πR2=17π.故选C.]
课外素养提升⑦ 直观想象——巧解球的切、接问题
(对应学生用书第139页)
球与简单几何体的切、接问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题,其中球心的确定是关键.
外接球问题
常用结论
(1)简单多面体外接球的球心的结论.
结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.
结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.
(2)构造正方体或长方体确定球心.
(3)利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.
【例1】 (2019·武昌模拟)已知底面为正方形的四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=AB=2,则球O的表面积为( )
A. B.
C. D.
D [令△PAD所在圆的圆心为O1,△PAD为正三角形,AD=2,
则圆O1的半径r=,∵平面PAD⊥底面ABCD,AB=2,
∴OO1=AB=1,∴球O的半径R==,
∴球O的表面积=4πR2=,故选D.]
[评析] 求出△PAD所在圆的半径,利用勾股定理求出球O的半径R,即可求出球O的表面积.
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【素养提升练习】
1.(2019·广州模拟)三棱锥PABC中,平面PAC⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=PC=AC=2,AB=4,则三棱锥PABC的外接球的表面积为( )
A.23π B.π
C.64π D.π
D [如图,设O′为正△PAC的中心,D为Rt△ABC斜边的中点,H为AC中点.由平面PAC⊥平面ABC.
则O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD,OD∥O′H,则交点O为三棱锥外接球的球心,连接OP,又O′P=PH=××2=,
OO′=DH=AB=2.
∴R2=OP2=O′P2+O′O2=+4=.
故几何体外接球的表面积
S=4πR2=π.]
【例2】 (2019·开封模拟)在三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=,AA1⊥平面ABC,则该三棱柱的外接球的体积为( )
A.40π B.40π
C. D.
D [由题意可知直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=2,∠BAC=,
AA1=2,底面三角形ABC的外接圆半径为=2,
连接两个底面中心的连线,中点与顶点的连线就是球的半径,
外接球的半径为:=.
∴三棱柱的外接球的体积为V=π×()3=,故选D.]
[评析] 由已知求出底面ABC的外接圆的半径,连接两个底面中心的连线,中点与顶点的连线就是球的半径,即可求出三棱柱的外接球的体积.
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【素养提升练习】
2.已知正三棱柱A1B1C1ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为( )
A.21π B.42π
C.84π D.84
C [如图,M,N为上下底面正三角形的中心,
O为MN的中点,即外接球球心,
∵正三棱柱A1B1C1ABC的所有棱长都是6,
AM==2,OM=3,
球半径R=OA==,该棱柱外接球的表面积为S=4π×()2=84π,故选C.]
内切球问题
常用结论
(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一定重合.
【例3】 体积为的球与正三棱柱的所有面均相切,则该棱柱的体积为________.
6 [设球的半径为R,由R3=,得R=1,所以正三棱柱的高h=2.设底面边长为a,则×a=1,所以a=2.所以V=×(2)2×2=6.]
[评析] 球与正三棱柱的两个底面相切,可求球的直径,球与正三棱柱的三个侧面相切,相当于正三棱柱的底面三角形有内切圆.
【素养提升练习】
3.若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则=________.
[设正四面体的棱长为a,则S1=a2.
正四面体的高h=a,体积V=××a=a3.
设正四面体的内切球半径为r,
则×a2×r=a3,
解得r=a,则内切球表面积S2=4πr2=,
∴=a2×=.]
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