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- 2021-06-12 发布
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课时提能演练(五十)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.直线经过原点和点(-a,a)(a≠0),则它的倾斜角是( )
(A)45° (B)135°
(C)45°或135° (D)0°
2.(2012·福州模拟)一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角为α=45°,则这条直线方程为( )
(A)x+y+5=0 (B)x-y-5=0
(C)x-y+5=0 (D)x+y-5=0
3.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a、b、c应满足( )
(A)ab>0,bc<0 (B)ab>0,bc>0
(C)ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<0
4.(2012·银川模拟)已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a等于( )
(A)3 (B)1 (C)-1 (D)3或-1
5.(易错题)已知b>0,直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直,则ab的最小值等于( )
(A)1 (B)2 (C) (D)
6.(2012·大庆模拟)直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是( )
(A)40° (B)50° (C)130° (D)140°
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.(2012•莆田模拟)过点P(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是_____________.
8.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为_______.
9.在平面直角坐标系中,设△ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上(异于端点),设a、b、c、p均为非零实数,直线BP,CP分别交AC、AB于点E、F,一同学已正确算得OE的方程:,请你求OF的方程:( )x+()y=0.
三、解答题(每小题15分,共30分)
10.已知两直线l1:x+ysinθ-1=0和l2:2xsinθ+y+1=0,试求θ的值,使得:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.
11.(2012·青岛模拟)已知两点A(-1,2),B(m,3).
(1)求直线AB的方程;
(2)已知实数m∈[],求直线AB的倾斜角α的取值范围.
【探究创新】
(16分)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合,将矩形ABCD折叠使A点落在直线DC上,若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程.
答案解析
1.【解析】选B.因为经过原点和点(-a,a)(a≠0)的直线的斜率,所以直线的倾斜角为135°.
2.【解析】选C.由题意知所求直线的斜率k=1,方程为y-3=x+2,即x-y+5=0.
3.【解析】选A.易知直线斜率存在,即直线ax+by+c=0变形为,
由题意知,∴ab>0,bc<0.
4.【解析】选C.由题意知,解得a=-1.
5.【解题指南】由两直线垂直可得到关于a、b的一个等式,则ab可用一个字母来表示,进而求出最值.
【解析】选B.∵直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直,
∴(b2+1)-b2a=0,即,
∴(当且仅当b=1时取等号),即ab的最小值等于2.
6.【解析】选B.∵直线xcos140°+ysin140°=0的斜率
.
∴直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角为50°.
7. 【解析】设所求直线方程为=1.
则解得或
即方程为=1或=1,
化简得2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.
答案:2x-5y-10=0或8x-5y+20=0
8.【解析】根据A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为,又C(-2,-2)在该直线上,故,所以-2(a+b)=ab,又ab>0,故a<0,b<0,根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4,又ab>0,得≥4,故ab≥16,即ab的最小值为16.
答案:16
【方法技巧】研究三点A、B、C共线的常用方法
方法一:建立过其中两点的直线方程,再使第三点满足该方程;
方法二:过其中一点与另两点连线的斜率相等;
方法三:以其中一点为公共点,与另两点连成有向线段所表示的向量共线.
9.【解析】由截距式可得直线AB:,直线CP:,两式相减得
,显然直线AB与CP的交点F满足此方程,又原点O也满足此方程,故为所求直线OF的方程.
答案:
10.【解析】(1)∵l1∥l2,∴2sin2θ-1=0,得sin2θ=,
∴sinθ=,∴θ=kπ±,k∈Z.
∴当θ=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.
(2)∵l1⊥l2,∴2sinθ+sinθ=0,
即sinθ=0,∴θ=kπ(k∈Z),
∴当θ=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.
【变式备选】设直线l的方程为
(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,当然相等.
∴a=2,方程即为3x+y=0.
当直线不过原点时,由截距存在且均不为0,
得,即a+1=1,
∴a=0,方程即为x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
∴或.
∴a≤-1.
综上可知a的取值范围是a≤-1.
11.【解析】(1)当m=-1时,直线AB的方程为x=-1,
当m≠-1时,直线AB的方程为y-2=(x+1).
(2)①当m=-1时,α= ;
②当m≠-1时,m+1∈[,0)∪(0,],
∴k=∈(-∞,-]∪[,+∞),
∴α∈[)∪(].
综合①②知,直线AB的倾斜角α∈[].
【探究创新】
【解析】(1)当k=0时,此时A点与D点重合,折痕所在直线的方程为;
(2)当k≠0时,将矩形折叠后A点落在直线DC上的点为G(a,1),所以A与G关于折痕所在的直线对称,所以有kAG·k=-1,,所以a=-k,G点的坐标为G(-k,1),从而折痕所在的直线与AG的交点坐标为M(),折痕所在的直线方程为:,即;
因此,当k≠0时,折痕所在的直线方程为.
对,当k=0时,y=.综上,折痕所在的直线方程为.