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  • 2021-06-12 发布

2013年陕西省高考数学试卷(理科)

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‎2013年陕西省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分)‎ ‎1.(5分)设全集为R,函数的定义域为M,则∁RM为(  )‎ A.[﹣1,1] B.(﹣1,1) C.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)‎ ‎2.(5分)根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为(  )‎ A.25 B.30 C.31 D.61‎ ‎3.(5分)设,为向量,则|•|=||||是“∥”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.(5分)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为(  )‎ A.11 B.12 C.13 D.14‎ ‎5.(5分)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(5分)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(  )‎ A.若|z1﹣z2|=0,则= B.若z1=,则=z2‎ C.若|z1|=|z2|,则z1•=z2• D.若|z1|=|z2|,则z12=z22‎ ‎7.(5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 ‎8.(5分)设函数f(x)=,则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(  )‎ A.﹣20 B.20 C.﹣15 D.15‎ ‎9.(5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是(  )‎ A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30] D.[20,30]‎ ‎10.(5分)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有(  )‎ A.[﹣x]=﹣[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x﹣y]≤[x]﹣[y]‎ ‎ ‎ 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11.(5分)双曲线﹣=1的离心率为,则m等于  .‎ ‎12.(5分)某几何体的三视图如图所示,则其体积为  .‎ ‎13.(5分)若点(x,y)位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域,则2x﹣y的最小值为  .‎ ‎14.(5分)观察下列等式:‎ ‎12=1‎ ‎12﹣22=﹣3‎ ‎12﹣22+32=6‎ ‎12﹣22+32﹣42=﹣10‎ ‎…‎ 照此规律,第n个等式可为  .‎ ‎ ‎ 选做题:(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)‎ ‎15.(5分)(不等式选做题) ‎ 已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为  .‎ ‎16.(几何证明选做题)‎ 如图,弦AB与CD相交于⊙O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD=2DA=2,则PE=  .‎ ‎17.(坐标系与参数方程选做题) ‎ 如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共6小题,共75分)‎ ‎18.(12分)已知向量=(cosx,﹣),=(sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=.‎ ‎(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期.‎ ‎(Ⅱ) 求f(x)在[0,]上的最大值和最小值.‎ ‎19.(12分)设{an}是公比为q的等比数列.‎ ‎(Ⅰ)试推导{an}的前n项和公式;‎ ‎(Ⅱ) 设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.‎ ‎20.(12分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.‎ ‎(Ⅰ) 证明:A1C⊥平面BB1D1D;‎ ‎(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.‎ ‎21.(12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.‎ ‎(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;‎ ‎(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.‎ ‎22.(13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.‎ ‎(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ) 已知点B(﹣1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线过定点.‎ ‎23.(14分)已知函数f(x)=ex,x∈R.‎ ‎(Ⅰ) 若直线y=kx+1与f (x)的反函数g(x)=lnx的图象相切,求实数k的值;‎ ‎(Ⅱ) 设x>0,讨论曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.‎ ‎(Ⅲ) 设a<b,比较与的大小,并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2013年陕西省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分)‎ ‎1.(5分)(2013•陕西)设全集为R,函数的定义域为M,则∁RM为(  )‎ A.[﹣1,1] B.(﹣1,1) C.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)‎ ‎【分析】求出函数f(x)的定义域得到集合M,然后直接利用补集概念求解.‎ ‎【解答】解:由1﹣x2≥0,得﹣1≤x≤1,即M=[﹣1,1],又全集为R,‎ 所以∁RM=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2013•陕西)根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为(  )‎ A.25 B.30 C.31 D.61‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值.‎ ‎【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,‎ 再根据流程图所示的顺序,可知:‎ 该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值.‎ 当x=60时,则y=25+0.6(60﹣50)=31,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2013•陕西)设,为向量,则|•|=||||是“∥”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】利用向量的数量积公式得到 •=,根据此公式再看与之间能否互相推出,利用充要条件的有关定义得到结论.‎ ‎【解答】解:∵•=,‎ 若a,b为零向量,显然成立;‎ 若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角,即,故充分性成立.‎ 而,则与的夹角为为零角或平角,有 .‎ 因此是的充分必要条件.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2013•陕西)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为(  )‎ A.11 B.12 C.13 D.14‎ ‎【分析】根据系统抽样方法,从840人中抽取42人,那么从20人抽取1人.从而得出从编号481~720共240人中抽取的人数即可.‎ ‎【解答】解:使用系统抽样方法,从840人中抽取42人,即从20人抽取1人.‎ 所以从编号1~480的人中,恰好抽取=24人,接着从编号481~720共240人中抽取=12人.‎ 故:B.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2013•陕西)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据题意,算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为,结合矩形ABCD的面积为2,可得在矩形ABCD内且没有信号的区域面积为2﹣,再用几何概型计算公式即可算出所求的概率.‎ ‎【解答】解:∵扇形ADE的半径为1,圆心角等于90°‎ ‎∴扇形ADE的面积为S1=×π×12=‎ 同理可得,扇形CBF的在,面积S2=‎ 又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2‎ ‎∴在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是 P===1﹣‎ 故答案选:A ‎ ‎ ‎6.(5分)(2013•陕西)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(  )‎ A.若|z1﹣z2|=0,则= B.若z1=,则=z2‎ C.若|z1|=|z2|,则z1•=z2• D.若|z1|=|z2|,则z12=z22‎ ‎【分析】题目给出的是两个复数及其模的关系,两个复数与它们共轭复数的关系,要判断每一个命题的真假,只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案.‎ ‎【解答】解:对(A),若|z1﹣z2|=0,则z1﹣z2=0,z1=z2,所以为真;‎ 对(B)若,则z1和z2互为共轭复数,所以为真;‎ 对(C)设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,若|z1|=|z2|,则,‎ ‎,所以为真;‎ 对(D)若z1=1,z2=i,则|z1|=|z2|为真,而,所以为假.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2013•陕西)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 ‎【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1,可得A=,由此可得△ABC的形状.‎ ‎【解答】解:△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,‎ ‎∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,‎ 即 sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,故A=,故三角形为直角三角形,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2013•陕西)设函数f(x)=,则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(  )‎ A.﹣20 B.20 C.﹣15 D.15‎ ‎【分析】依题意,可求得f[f(x)]=,利用二项展开式的通项公式即可求得f[f(x)]表达式的展开式中常数项.‎ ‎【解答】解:当x>0时,f[f(x)]==的展开式中,常数项为:=﹣20.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2013•陕西)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是(  )‎ A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30] D.[20,30]‎ ‎【分析】设矩形的高为y,由三角形相似可得,且40>x>0,40>y>0,xy≥300,再由,得y=40﹣x,代入xy≥300得到关于x的二次不等式,解此不等式即可得出答案.‎ ‎【解答】解:设矩形的高为y,由三角形相似得:‎ ‎,且40>x>0,40>y>0,xy≥300,‎ 由,得y=40﹣x,‎ ‎∴x(40﹣x)≥300,‎ 解得10≤x≤30.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2013•陕西)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有(  )‎ A.[﹣x]=﹣[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x﹣y]≤[x]﹣[y]‎ ‎【分析】本题考查的是取整函数问题.在解答时要先充分理解[x]的含义,从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可,注意反例的应用.‎ ‎【解答】解:对A,设x=﹣1.8,则[﹣x]=1,﹣[x]=2,所以A选项为假.‎ 对B,设x=﹣1.4,[2x]=[﹣2.8]=﹣3,2[x]=﹣4,所以B选项为假.‎ 对C,设x=y=1.8,对A,[x+y]=[3.6]=3,[x]+[y]=2,所以C选项为假.‎ 故D选项为真.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11.(5分)(2013•陕西)双曲线﹣=1的离心率为,则m等于 9 .‎ ‎【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:∵双曲线可得a2=16,b2=m,‎ 又离心率为,则,‎ 解得m=9.‎ 故答案为9.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2013•陕西)某几何体的三视图如图所示,则其体积为  .‎ ‎【分析】利用三视图判断几何体的形状,然后通过三视图的数据求解几何体的体积.‎ ‎【解答】解:几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体,底面是半径为1的半圆,高为2.‎ 所以体积.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2013•陕西)若点(x,y)位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域,则2x﹣y的最小值为 ﹣4 .‎ ‎【分析】先根据曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域画出区域D,再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可.‎ ‎【解答】解:如图,封闭区域为三角形.‎ 令|x﹣1|=2,解得x1=﹣1,x2=3,‎ 所以三角形三个顶点坐标分别为(1,0,),(﹣1,2),(3,2),‎ 把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z,则直线经过点(﹣1,2)时z取得最小值;‎ 所以zmin=2×(﹣1)﹣2=﹣4,‎ 故2x﹣y在点(﹣1,2)取最小值﹣4.‎ 故答案为:﹣4.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2013•陕西)观察下列等式:‎ ‎12=1‎ ‎12﹣22=﹣3‎ ‎12﹣22+32=6‎ ‎12﹣22+32﹣42=﹣10‎ ‎…‎ 照此规律,第n个等式可为  .‎ ‎【分析】等式的左边是正整数的平方和或差,根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…(﹣1)n﹣1n2.再分n为奇数和偶数讨论,结合分组求和法求和,最后利用字母表示即可.‎ ‎【解答】解:观察下列等式:‎ ‎12=1‎ ‎12﹣22=﹣3‎ ‎12﹣22+32=6‎ ‎12﹣22+32﹣42=﹣10‎ ‎…‎ 分n为奇数和偶数讨论:‎ 第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…(﹣1)n﹣1n2.‎ 当n为偶数时,分组求和(12﹣22)+(32﹣42)+…+[(n﹣1)2﹣n2]=﹣,‎ 当n为奇数时,第n个等式左边=(12﹣22)+(32﹣42)+…+[(n﹣2)2﹣(n﹣1)2]+n2=﹣+n2=.‎ 综上,第n个等式为.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 选做题:(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)‎ ‎15.(5分)(2013•陕西)(不等式选做题) ‎ 已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 2 .‎ ‎【分析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d∈R 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2其中等号当且仅当时成立,即可求出(am+bn)(bm+an)的最小值.‎ ‎【解答】解:根据二维形式的柯西不等式的代数形式:‎ ‎(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2‎ 可得(am+bn)(bm+an)≥(+)2‎ ‎=mn(a+b)2‎ ‎=2×1=2,当且仅当即m=n时,取得最小值2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎16.(2013•陕西)(几何证明选做题)‎ 如图,弦AB与CD相交于⊙O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD=2DA=2,则PE=  .‎ ‎【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE,列出比例关系,即可求解PE的值.‎ ‎【解答】解:因为BC∥PE,∴∠BCD=∠PED,‎ 且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD,‎ ‎⇒△EPD∽△APE,∵PD=2DA=2‎ ‎⇒‎ ‎⇒PE2=PA•PD=3×2=6,‎ ‎∴PE=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎17.(2013•陕西)(坐标系与参数方程选做题) ‎ 如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为 ,θ∈R,且θ≠ .‎ ‎【分析】将圆的方程化为标准方程,找出圆心与半径,利用三角函数定义表示出OP,进而表示出x与y,即为圆的参数方程.‎ ‎【解答】解:将圆方程化为(x﹣)2+y2=,可得半径r=,‎ ‎∴OP=2r•cosθ=cosθ,‎ ‎∴x=OP•cosθ=cos2θ,y=OP•sinθ=sinθcosθ,‎ 则圆的参数方程为,θ∈R,且θ≠.‎ 故答案为:,θ∈R,且θ≠‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共6小题,共75分)‎ ‎18.(12分)(2013•陕西)已知向量=(cosx,﹣),=(sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=.‎ ‎(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期.‎ ‎(Ⅱ) 求f(x)在[0,]上的最大值和最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,通过周期公式,求f (x)的最小正周期.‎ ‎(Ⅱ) 通过x在[0,],求出f(x)的相位的范围,利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)==(cosx,﹣)•(sinx,cos2x)‎ ‎=sinxcosx ‎=sin(2x﹣)‎ 最小正周期为:T==π.‎ ‎(Ⅱ)当x∈[0,]时,2x﹣∈,‎ 由正弦函数y=sinx在的性质可知,sinx,‎ ‎∴sin(2x﹣),‎ ‎∴f(x)∈[﹣,1],‎ 所以函数f (x)在[0,]上的最大值和最小值分别为:1,﹣.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2013•陕西)设{an}是公比为q的等比数列.‎ ‎(Ⅰ)试推导{an}的前n项和公式;‎ ‎(Ⅱ) 设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.‎ ‎【分析】(I)分q=1与q≠1两种情况讨论,当q≠1,0时,利用错位相减法即可得出;‎ ‎(II)分①当存在n∈N*,使得an+1=0成立时,显然不成立;②当∀n∈N*(n≥2),使得an+1≠0成立时,使用反证法即可证明.‎ ‎【解答】解:(I)当q=1时,Sn=na1;‎ 当q≠0,1时,由Sn=a1+a2+…+an,‎ 得qSn=a1q+a2q+…+an﹣1q+anq.‎ 两式错位相减得(1﹣q)Sn=a1+(a2﹣a1q)+…+(an﹣an﹣1q)﹣anq,(*)‎ 由等比数列的定义可得,‎ ‎∴a2﹣a1q=a3﹣a2q=…=0.‎ ‎∴(*)化为(1﹣q)Sn=a1﹣anq,‎ ‎∴.‎ ‎∴;‎ ‎(Ⅱ)用反证法:设{an}是公比为q≠1的等比数列,数列{an+1}是等比数列.‎ ‎①当存在n∈N*,使得an+1=0成立时,数列{an+1}不是等比数列.‎ ‎②当∀n∈N*(n≥2),使得an+1≠0成立时,则==,‎ 化为(qn﹣1﹣1)(q﹣1)=0,‎ ‎∵q≠1,∴q﹣1≠0,qn﹣1﹣1≠0,故矛盾.‎ 综上两种情况:假设不成立,故原结论成立.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2013•陕西)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1‎ 的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.‎ ‎(Ⅰ) 证明:A1C⊥平面BB1D1D;‎ ‎(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.‎ ‎【分析】(Ⅰ)要证明A1C⊥平面BB1D1D,只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可,由已知可证出A1C⊥BD,取B1D1的中点为E1,通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O.由线面垂直的判定定理问题得证.‎ ‎(Ⅱ)以O为原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x,y,Z轴建立空间直角坐标系,然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量,利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:∵A1O⊥面ABCD,且BD⊂面ABCD,∴A1O⊥BD;‎ 又∵在正方形ABCD中,AC⊥BD,A1O∩AC=O,‎ ‎∴BD⊥面A1AC,且A1C⊂面A1AC,故A1C⊥BD.‎ 在正方形ABCD中,∵,∴AO=1,‎ 在Rt△A1OA中,∵,∴A1O=1.‎ 设B1D1的中点为E1,则四边形A1OCE1为正方形,∴A1C⊥E1O.‎ 又BD⊂面BB1D1D,且E10⊂面BB1D1D,且BD∩E1O=O,‎ ‎∴A1C⊥面BB1D1D;‎ ‎(Ⅱ)解:以O为原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x,y,Z轴建立如图所示空间直角坐标系,‎ 则B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,1,1),‎ ‎.‎ 由(Ⅰ)知,平面BB1D1D的一个法向量,‎ ‎,.‎ 设平面OCB1的法向量为,‎ 由,得,取z=﹣1,得x=1.‎ ‎∴.‎ 则=.‎ 所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2013•陕西)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.‎ ‎(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;‎ ‎(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.‎ ‎【分析】(I)设事件A表示:“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”,观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=,利用互斥事件的概率公式,即可求得结论;‎ ‎(II)由题意,X可取0,1,2,3,求出相应的概率,即可得到X的分布列与数学期望.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设事件A表示:“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”,‎ 观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=,‎ ‎∴P(A)=,‎ ‎∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为;‎ ‎(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X可取0,1,2,3.‎ 观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为,‎ 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X=0)=(1﹣)(1﹣)2=,‎ 当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时,这时X=1,‎ P(X=1)=(1﹣)2+(1﹣)(1﹣)+(1﹣)(1﹣)=,‎ 当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时,这时X=2,‎ P(X=2)=•(1﹣)+(1﹣)•+(1﹣)=,‎ 当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时,这时X=3,‎ P(X=3)=•()2=,‎ X的分布列如下:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=.‎ ‎ ‎ ‎22.(13分)(2013•陕西)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.‎ ‎(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎ 已知点B(﹣1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线过定点.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设圆心C(x,y),过点C作CE⊥y 轴,垂足为E,利用垂径定理可得|ME|=|MN|,‎ 又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2,利用两点间的距离公式即可得出.‎ ‎(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知y1+y2≠0,y1y2<0.,.利用角平分线的性质可得kPB=﹣kQB,可化为化为8+y1y2=0.又直线PQ的方程为,代入化简整理为y(y1+y2)+8=8x,令y=0,则x=1即可得到定点.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设圆心C(x,y)(x≠0),过点C作CE⊥y 轴,垂足为E,则|ME|=|MN|,‎ ‎∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2,‎ ‎∴(x﹣4)2+y2=42+x2,化为y2=8x.‎ 当x=0时,也满足上式.‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.‎ ‎(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 由题意可知y1+y2≠0,y1y2<0.,.‎ ‎∵x轴是∠PBQ的角平分线,∴kPB=﹣kQB,‎ ‎∴,∴,化为8+y1y2=0.‎ 直线PQ的方程为,‎ ‎∴,化为,‎ 化为,‎ y(y1+y2)+8=8x,令y=0,则x=1,‎ ‎∴直线PQ过 定点(1,0)‎ ‎ ‎ ‎23.(14分)(2013•陕西)已知函数f(x)=ex,x∈R.‎ ‎(Ⅰ) 若直线y=kx+1与f (x)的反函数g(x)=lnx的图象相切,求实数k的值;‎ ‎(Ⅱ) 设x>0,讨论曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.‎ ‎(Ⅲ) 设a<b,比较与的大小,并说明理由.‎ ‎【分析】(I)先求出其反函数,利用导数得出切线的斜率即可;‎ ‎(II)由f(x)=mx2,令h(x)=,利用导数研究函数h(x)的单调性即可得出;‎ ‎(III)利用作差法得 ===,令g(x)=x+2+(x﹣2)ex(x>0),利用导数研究其单调性即可证明.‎ ‎【解答】解:(I)函数f(x)=ex的反函数为g(x)=lnx,∴.‎ 设直线y=kx+1与g(x)的图象相切于点P(x0,y0),则,解得,k=e﹣2,‎ ‎∴k=e﹣2.‎ ‎(II)当x>0,m>0时,令f(x)=mx2,化为m=,‎ 令h(x)=,则,‎ 则x∈(0,2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.‎ ‎∴当x=2时,h(x)取得极小值即最小值,.‎ ‎∴当时,曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数为0;‎ 当时,曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数为1;‎ 当时,曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点个数为2.‎ ‎(Ⅲ) =‎ ‎=‎ ‎=,‎ 令g(x)=x+2+(x﹣2)ex(x>0),则g′(x)=1+(x﹣1)ex.‎ g′′(x)=xex>0,∴g′(x)在(0,+∞)上单调递增,且g′(0)=0,‎ ‎∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 而g(0)=0,∴在(0,+∞)上,有g(x)>g(0)=0.‎ ‎∵当x>0时,g(x)=x+2+(x﹣2)•ex>0,且a<b,‎ ‎∴,‎ 即当a<b时,.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123;minqi5;ywg2058;caoqz;wfy814;沂蒙松;qiss;sllwyn(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日