2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章6.1 平面向量的概念 12页

6.1 平面向量的概念 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的 区别. 2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向 量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念. 知识点一 向量的概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.数量：只有大小没有方向的量称为数量. 知识点二 向量的几何表示 1.有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→，线段 AB 的长度叫做有向线段AB→的长度记作|AB→|. 2.向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方 向表示向量的方向. (2)字母表示：向量可以用字母 a，b，c，…表示(印刷用黑体 a，b，c，书写时用 a→，b→， c→). 3.模、零向量、单位向量 向量AB→的大小，称为向量AB→的长度(或称模)，记作|AB→|.长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0； 长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量. 思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？ 答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同， 则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管 长度和方向相同，也是不同的有向线段. 知识点三 相等向量与共线向量 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量 a 与 b 平行，记作 a∥b. (2)规定：零向量与任意向量平行. 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量. 要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. 思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都 平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ 答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量. 1.如果|AB→|>|CD→ |，那么AB→>CD→ .( × ) 提示 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. 2.若 a，b 都是单位向量，则 a＝b.( × ) 提示 a 与 b 都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但 a 与 b 的方向可能不同. 3.力、速度和质量都是向量.( × ) 提示 质量不是向量. 4.零向量的大小为 0，没有方向.( × ) 提示 任何向量都有方向，零向量的方向是任意的. 一、向量的概念 例 1 (多选)下列说法错误的有( ) A.向量AB→与向量BA→的长度相等 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量都是相等的 D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 答案 BCD 解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同； 零向量的模都是 0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故 B，C，D 都 错误，A 正确. 反思感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练 1 下列说法中正确的是( ) A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 答案 D 解析 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故 A，B 不正确；向量的大小即为向量 的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故 C 不正确；向量的模是一个数量，可以比 较大小，故 D 正确. 二、向量的几何表示及应用 例 2 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向，向西偏北 50° 的方向走了 200 km 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点. (1)作出向量AB→，BC→，CD→ ； (2)求|AD→ |. 解 (1)向量AB→，BC→，CD→ 如图所示. (2)由题意，可知AB→与CD→ 方向相反，故AB→与CD→ 共线， ∵|AB→|＝|CD→ |， ∴在四边形 ABCD 中，AB∥CD 且 AB＝CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD→ ＝BC→，∴|AD→ |＝|BC→|＝200 km. 反思感悟 作向量的方法 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向 量的终点. 跟踪训练 2 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 b＝a； (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？ 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量 b 与向量 a 方向相同，且长度相等(作图略). (2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 5的圆(作图 略). 三、相等向量与共线向量 例 3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E，F，D 分别是 AC，AB，BC 的中点. (1)写出与EF→共线的向量； (2)写出模与EF→的模相等的向量； (3)写出与EF→相等的向量. 解 (1)因为 E，F 分别是 AC，AB 的中点， 所以 EF∥BC，EF＝1 2BC. 又因为 D 是 BC 的中点， 所以与EF→共线的向量有FE→，BD→ ，DB→ ，DC→ ，CD→ ，BC→，CB→. (2)模与EF→的模相等的向量有FE→，BD→ ，DB→ ，DC→ ，CD→ . (3)与EF→相等的向量有DB→ ，CD→ . 反思感悟 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共 线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向 的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 跟踪训练 3 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心. (1)与OA→ 的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与OA→ 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA→ 共线的向量有几个？ 解 (1)与OA→ 的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有 23 个. (2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与OA→ 的长度相等、方向相反的向量有 AO→ ，OD→ ，FE→，BC→，共 4 个. (3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段 OD，AD 与 OA 在同一条直线上，所以与OA→ 共线的向量有 BC→，CB→，EF→，FE→，AO→ ，OD→ ，DO→ ，AD→ ，DA→ ，共 9 个. 特殊向量的作用 典例 给出下列命题： ①若 a∥b，则 a 与 b 的方向相同或相反； ②若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等； ④若 a＝b，b＝c，则 a＝c， 其中正确的是________.(填序号) 答案 ④ 解析 由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取 a＝0，则对于任意的向 量 b，都有 a∥b，知①错误；取 b＝0，则对于任意的向量 a，c 都有 a∥b，b∥c，知②错误； 两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③错误；由两个向量相等的概念可知④正确. [素养提升] (1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进 行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养. (2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆. 例如：零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立. 1.在同一平面内，把所有长度为 1 的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹 是( ) A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 答案 A 2.(多选)下列说法错误的有( ) A.共线的两个单位向量相等 B.相等向量的起点相同 C.若AB→∥CD→ ，则一定有直线 AB∥CD D.若向量AB→，CD→ 共线，则点 A，B，C，D 必在同一直线上 答案 ABCD 解析 A 错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B 错，相等向量的起点和终点都可能不 相同；C 错，直线 AB 与 CD 可能重合；D 错，AB 与 CD 可能平行，则 A，B，C，D 四点不 共线. 3.若|AB→|＝|AD→ |且BA→＝CD→ ，则四边形 ABCD 的形状为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 答案 C 解析 因为BA→＝CD→ ， 所以四边形 ABCD 为平行四边形， 又|AB→|＝|AD→ |，即邻边相等， 所以四边形 ABCD 为菱形. 4.如图所示，设 O 是正方形 ABCD 的中心，则下列结论正确的有________.(填序号) ①AO→ ＝OC→ ； ②AO→ ∥AC→； ③AB→与CD→ 共线； ④AO→ ＝BO→ . 答案 ①②③ 解析 AO→ 与OC→ 方向相同，长度相等，∴①正确； ∵A，O，C 三点在一条直线上， ∴AO→ ∥AC→，②正确； ∵AB∥DC，∴AB→与CD→ 共线，③正确； AO→ 与BO→ 方向不同，∴二者不相等，④错误. 5.已知 A，B，C 是不共线的三点，向量 m 与向量AB→是平行向量，与BC→是共线向量，则 m＝ ________. 答案 0 解析 AB→与BC→不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能 同时与两个不共线向量平行. 1.知识清单： (1)向量的基本概念. (2)向量的几何表示. (3)相等向量与共线向量(平行向量). 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视零向量这一特殊向量. 1.给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度. 其中是向量的有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 答案 A 解析 速度、位移、力、加速度，这 4 个物理量是向量，它们都有大小和方向. 2.(多选)下列命题中错误的有 A.温度含零上和零下温度，所以温度是向量 B.向量的模是一个正实数 C.向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 D.若|a|>|b|，则 a>b 答案 ABD 解析 温度没有方向，所以不是向量，故 A 错；向量的模也可以为 0，故 B 错；向量不可 以比较大小，故 D 错；若 a，b 中有一个为零向量，则 a 与 b 必共线，故若 a 与 b 不共线， 则应均为非零向量，故 C 对. 3.设 O 是△ABC 的外心，则AO→ ，BO→ ，CO→ 是( ) A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量 答案 B 解析 因为 O 是△ABC 的外心，所以|AO→ |＝|BO→ |＝|CO→ |. 4.如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB→与DC→ 的关系是( ) A.AB→＝DC→ B.|AB→|＝|DC→ | C.AB→>DC→ D.AB→