2020高中数学 第二章 平面向量 第四讲 向量的数量积学案 苏教版必修1 4页

向量的数量积 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 向量的数量积 ‎1. 了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念；‎ ‎2. 理解平面向量数量积的含义、几何意义及坐标表示；‎ ‎3. 掌握坐标运算公式；‎ ‎4. 解决长度和角度，平行与垂直的问题 填空 向量的数量积是向量的运算中最重要的一种运算，尤其是垂直、平行、求模求夹角等是考试的热点 二、重难点提示 重点：平面向量数量积的含义及其几何意义；用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角，会判断两向量间的垂直关系；‎ 难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题；运用向量法与坐标法解决有关问题。‎ 一、平面向量的数量积及性质 ‎（1）两个向量的夹角：对于两个非零向量a和b，记作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角，其范围是0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，称向量a与b垂直，记作a⊥b。‎ ‎（2）向量的数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积（或内积）记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0。‎ ‎【要点诠释】‎ 两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆。‎ ‎（3）向量的数量积的性质及作用 设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ。‎ ‎① a⊥b等价于a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系。‎ ‎② 当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线。‎ ‎③ a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化。‎ ‎④ cos θ＝，此性质可求a与b的夹角或直线的夹角，也可利用夹角取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围。‎ 4‎ ‎（4）向量的数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ。‎ ‎① a·b＝b·a；‎ ‎② （λa）·b＝a·（λb）＝λ（a·b）＝λa·b；‎ ‎③ （a＋b）·c＝a·c＋b·c。‎ ‎【要点诠释】‎ 平面向量的数量积不满足结合律。‎ 二、平面向量的数量积的坐标表示及长度、夹角、垂直的坐标表示 ‎（1）则。‎ ‎（2）长度、夹角、垂直的坐标表示 ‎①向量的模：设a＝（x，y），则a2＝x2＋y2，即|a|＝。‎ ‎②向量的夹角公式：设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），它们的夹角为θ，则cos θ＝＝。‎ 特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0，反之亦成立。‎ ‎【要点诠释】‎ 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来。本节主要应用有：‎ ‎①求两点间的距离（求向量的模）；‎ ‎②求两向量的夹角；‎ ‎③证明两向量垂直。‎ ‎【规律总结】‎ 利用数量积求两向量夹角的步骤 ‎①利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积。‎ ‎②利用|a|＝计算出这两个向量的模。‎ ‎③由公式cos θ＝直接求出cos θ的值。‎ ‎④在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ。‎ 例题1 （求向量的模）‎ ‎（1）已知平面向量a＝（2,4），b＝（－1,2），若c＝a－（a·b）·b，求|c|。‎ ‎（2）已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|。‎ 思路分析：（1）由已知条件求出c的坐标，再根据公式|c|＝求解。‎ ‎（2）由|a＋b|＝4可求a·b的值，再利用公式|a|＝求解。‎ 答案：（1）∵a＝（2,4），b＝（－1,2），‎ ‎∴a·b＝2×（－1）＋4×2＝6，‎ ‎∴c＝a－（a·b）·b＝（2,4）－6（－1,2）‎ 4‎ ‎＝（2,4）－（－6,12）‎ ‎＝（2＋6,4－12）＝（8，－8），‎ ‎∴|c|＝＝8。‎ ‎（2）由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，‎ ‎∴a2＋‎2a·b＋b2＝16，‎ ‎∵|a|＝2，|b|＝3，‎ ‎∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，‎ ‎∴4＋‎2a·b＋9＝16，即‎2a·b＝3，‎ 又∵|a－b|2＝a2－‎2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，‎ ‎∴|a－b|＝。‎ 技巧点拨：‎ 求向量的模的常见思路及方法：‎ ‎（1）求模问题一般要转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用，勿忘记开方；‎ ‎（2）一些常见的等式应熟记，如（a±b）2＝a2±‎2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2等。‎ 例题2 （向量的夹角和垂直问题）‎ 已知a，b都是非零向量，且a＋3b与‎7a－5b垂直，a－4b与‎7a－2b垂直，求a与b的夹角。‎ 思路分析：解答本题可由已知条件中的两组垂直关系得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos θ＝可求得夹角。‎ 答案：由已知得（a＋3b）·（‎7a－5b）＝0，‎ 即‎7a2＋‎16a·b－15b2＝0①‎ ‎（a－4b）·（‎7a－2b）＝0，‎ 即‎7a2－‎30a·b＋8b2＝0，②‎ ‎①②两式相减得‎2a·b＝b2，‎ ‎∴a·b＝b2，‎ 代入①②中任一式得a2＝b2，‎ 设a，b的夹角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝，‎ ‎∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°。‎ ‎【重要提示】‎ ‎1. 求向量a，b夹角的流程图：‎ 4‎ ‎2. 由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解（或表示）未知量。‎ ‎3. 利用向量的坐标运算求出两向量的数量积和模的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值。利用函数思想处理最值问题，是一种常用方法，需切实掌握。‎ 对向量的夹角理解不正确致误 ‎【满分训练】已知△ABC中，＝5，＝8，∠C＝60°，求·。‎ ‎【错解】如图，因为＝5，＝8，∠C＝60°，‎ 所以·＝·cos 60°＝5×8×cos 60°＝20。‎ ‎【错因分析】错解中未正确理解向量夹角的含义，题干中两向量与的起始点不相同，所以它们的夹角并非∠C。如图所示，其夹角应该是∠C的补角，即〈，〉＝120°。‎ ‎【防范措施】结合图形求两个向量的数量积时，注意依据图形特点，分析两个向量的夹角是相应线段所成的角还是该角的补角。‎ ‎【正解】因为＝5，＝8，〈，〉＝180°－∠C＝120°，‎ 所以·＝·cos〈，〉＝5×8×cos 120°＝－20。‎ 4‎