人教a版高中数学选修1-1：单元质量评估（三）word版含答案 11页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 单元质量评估(三) 第三章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.(2016·台州高二检测)函数 y=lgx 的导数为 ( ) A. B. ln10 C. D. 【解析】选 C.因为(logax)′= , 所以(lgx)′= . 2.(2016·泉州高二检测)已知 f(x)=sinx+lnx,则 f′(1)的值为 ( ) A.1-cos1 B.1+cos1 C.-1+cos1 D.-1-cos1 【解析】选 B.f′(x)=cosx+ ,f′(1)=cos1+1. 3.设 f(x)=x2(2-x),则 f(x)的单调递增区间是 ( ) A. B. C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪ 【解析】选 A.f(x)=2x2-x3,f′(x)=4x-3x2, 由 f′(x)>0 得 01 时, f′(x)>0. 故 a=1 符合题意. 8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π且用料最省,则圆柱的底面半径为 ( ) A.5 B.6 C.3 D.2 【解析】选 C.设圆柱的底面半径为 R,母线长为 l, 则 V=πR2l=27π,所以 l= . 要使用料最省,只需使水桶的表面积最小, 而 S 表=πR2+2πRl=πR2+ , 令 S 表′=2πR- =0, 解得 R=3,即当 R=3 时,S 表最小. 9.(2016·菏泽高二检测)函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D. 【解析】选 D.f′(x)=3x2-6b, 因为 f(x)在(0,1)内有极小值, 所以 f′(x)=0 在 x∈(0,1)有解. 所以 所以 02- > - ,故函数 y=x+2cosx- 在区间 上的最大值是 . 答案: 【补偿训练】曲线 y= x3-2 以点 为切点的切线的倾斜角为 . 【解析】y′=x2,当 x=1 时,y′=1,从而切线的倾斜角为 45°. 答案:45° 16.设 f(x)=x3- x2-2x+5,当 x∈时,f(x)7. 答案:(7,+∞) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(10 分)(2016·南昌高二检测)设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值. (2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,说 明理由. 【解析】f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a. (1)由已知有 f′(x1)=f′(x2)=0,从而 x1x2= =1,所以 a=9. (2)由于Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0, 所以不存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数. 【补偿训练】已知函数 f(x)= ax2+2x-lnx. (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值. (2)若 f(x)在区间 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞). 因为 f(x)= ax2+2x-lnx, 当 a=0 时,f(x)=2x-lnx,则 f′(x)=2- , 令 f′(x)=0 得 x= , 所以当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表 x f′(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以当 x= 时,f(x)的极小值为 1+ln2,无极大值. (2)由已知,得 f(x)= ax2+2x-lnx,且 x>0,则 f′(x)=ax+2- = . 若 a=0,由 f′(x)>0 得 x> ,显然不合题意; 若 a≠0,因为函数 f(x)在区间 上是增函数, 所以 f′(x)≥0 对 x∈ 恒成立,即不等式 ax2+2x-1≥0 对 x∈ 恒成立, 即 a≥ = - = -1 恒成立, 故 a≥ . 而当 x= 时,函数 -1 的最大值为 3,所以实数 a 的取值范围为 a≥3. 18.(12 分)已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程. (2)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 【解析】(1)因为 f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, 所以 f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. 所以切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32. (2)因为切线与直线 y=- +3 垂直, 所以切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为(x0,y0), 则 f′(x0)=3 +1=4, 所以 x0=±1, 所以 或 即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18). 切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14. 19.(12 分)(2016·临沂高二检测)已知函数 f(x)=lnx- ax2-2x. (1)若函数 f(x)在 x=2 处取得极值,求实数 a 的值. (2)若函数 f(x)在定义域内单调递增,求 a 的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=- (x>0), 因为 x=2 时,f(x)取得极值, 所以 f′(2)=0,解之得 a=- ,经检验符合题意. (2)由题意知 f′(x)≥0 在 x>0 时恒成立, 即 ax2+2x-1≤0 在 x>0 时恒成立, 则 a≤ = -1 在 x>0 时恒成立, 即 a≤ (x>0), 当 x=1 时, -1 取得最小值-1. 所以 a 的取值范围是(-∞,-1]. 20.(12 分)某 5A 级景区为提高经济效益,现对某景点进行改造升级,提高旅游增加值,经过市 场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x(x≥10)万元之间满足: y=f(x)=ax2+ x-bln ,a,b 为常数,当 x=10 万元时,y=19.2 万元;当 x=50 万元时,y=74.4 万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6) (1)求 f(x)的解析式. (2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入) 【解析】(1)由条件可得 解得 a=- ,b=1. 则 f(x)=- + x-ln (x≥10). (2)由 T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10), 则 T′(x)=- + - =- , 令 T′(x)=0,则 x=1(舍)或 x=50, 当 x∈(10,50)时,T′(x)>0, 因此 T(x)在(10,50)上是增函数; 当 x>50 时,T′(x)<0,因此 T(x)在(50,+∞)上是减函数, 故 x=50 为 T(x)的极大值点,也是最大值点,且最大值为 24.4 万元. 即该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为 24.4 万元. 21.(12 分)(2016·绍兴高二检测)已知函数 f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3. (1)设 a=1,求函数 f(x)的极值. (2)若 a> ,且当 x∈时,f(x)≥a3-12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a=1 时,f(x)=x3-3x2-9x+1 且 f′(x)=3x2-6x-9,由 f′(x)=0 得 x=-1 或 x=3. 当 x<-1 时,f′(x)>0,当-13 时 f′(x)>0, 因此 x=3 是函数的极小值点,极小值为 f(3)=-26. (2)因为 f′(x)=3x2-6ax-9a2=3(x+a)(x-3a),a> , 所以当 1≤x<3a 时,f′(x)<0; 当 3a0. 所以 x∈时,f(x)的最小值为 f(3a)=-26a3. 由 f(x)≥a3-12a 在上恒成立得-26a3≥a3-12a. 解得 a≤- 或 0≤a≤ . 又 a> ,所以 1 时,f′(x)>0, 所以 f(x)的递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞),递减区间是(-1,1). (3)因为 f(-1)=2,f(1)=-2,为使方程 f(x)+m=0, 即 f(x)=-m 有三个不等实数根, 则-2<-m<2, 即-2