2020高中数学 章末综合测评2 圆锥曲线与方程 新人教A版选修2-1 9页

章末综合测评(二)　圆锥曲线与方程 ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为(　　)‎ A．　 B．‎2‎　　　C．2　　　D．4 D　[方程化为标准方程为－＝1，‎ ‎∴a2＝3，b2＝9，‎ ‎∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴‎2c＝4.]‎ ‎2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　) ‎ ‎【导学号：46342125】‎ A． B． C．1 D． B　[抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B．]‎ ‎3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F‎1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．－2‎ A　[由题意可得2|F‎1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即‎4c＝a－c＋a＋c＝‎2a，故e＝＝.]‎ ‎4．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)‎ A． B． C． D． A　[抛物线的焦点为(1,0)，由题意知＝2.‎ 即m＝，则n＝1－＝，从而mn＝.]‎ ‎5．已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝，则椭圆的方程是(　　)‎ 9‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ D　[由椭圆的定义知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝‎4a＝16，∴a＝4.又e＝＝，∴c＝2，∴b2＝42－(2)2＝4，∴椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎6．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)‎ A．8 B．‎16 C．32 D．64‎ B　[抛物线中2p＝8，p＝4，则焦点坐标为(2,0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，由得x2－12x＋4＝0，则x1＋x2＝12(x1，x2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.]‎ ‎7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ D　[由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，可得＝×2. ①‎ 由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，可得＝. ②‎ 由①②解得a＝2，b＝，所以双曲线的方程为－＝1.]‎ ‎8．已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝2(x－1) B．y2＝4(x－1)‎ C．y2＝x－1 D．y2＝(x－1)‎ D　[设P(x0，y0)，M(x，y)，则所以 由于y＝x0，所以4y2＝2x－2，‎ 即y2＝(x－1)．]‎ ‎9．已知θ是△ABC的一个内角，且sin θ＋cos θ＝，则方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示(　　) ‎ ‎【导学号：46342126】‎ A．焦点在x轴上的双曲线 9‎ B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 D　[∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝－.∵θ为△ABC的一个内角，∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ>－cos θ>0，∴>>0，∴方程x2sin θ－y2cos θ＝1是焦点在y轴上的椭圆．]‎ ‎10．设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Г上存在点P满足|PF1|∶|F‎1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Г的离心率等于(　　)‎ A．或 B．或2‎ C．或2 D．或 A　[设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F‎1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A．]‎ ‎11．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．x2－＝1(x>1)‎ B．x2－＝1(x<－1)‎ C．x2＋＝1(x>0)‎ D．x2－＝1(x>1)‎ A　[设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2，∴点P的轨迹是以M(－3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8.故双曲线的方程是x2－＝1(x>1)．]‎ ‎12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ 9‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ D　[因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b.所以y＝±b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，选D．]‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)‎ ‎13．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为________．‎ 　[因为线段PF1的中点在y轴上，所以PF2与x轴垂直，且点P的坐标为，所以|PF2|＝，则|PF1|＝‎2a－|PF2|＝，＝.]‎ ‎14．如图1所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________. ‎ ‎【导学号：46342127】‎ 图1‎ ‎8　[由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，∴K(－2,0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，‎ ‎∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，‎ ‎|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，‎ ‎∴y0＝4，即A(2,4)，∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8.]‎ ‎15．如图2等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p 9‎ ‎>0)上，则抛物线E的方程为________．‎ 图2‎ x2＝4y　[依题意知，|OB|＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，y＝|OB|cos 30°＝12.因为点B(4，12)在抛物线E：x2＝2py(p>0)上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.]‎ ‎16．如图3，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．‎ 图3‎ ＋1　[如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF‎2F1＝30°.易知△AF‎1F2为直角三角形，则|AF1|＝|F‎1F2|＝c，|AF2|＝c，∴‎2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率e＝＝1＋.]‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．‎ ‎[解]　设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 由得x2－2(4＋m)x＋16＝0，‎ 所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，‎ 9‎ 所以弦长为 ‎＝ ‎＝2.‎ 由2＝6.‎ 解得m＝1或m＝－9.‎ 经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．‎ 所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x.‎ ‎18．(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．‎ ‎(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；‎ ‎(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值. ‎ ‎【导学号：46342128】‎ ‎[解]　(1)|PF1|·|PF2|≤＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，‎ ‎∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.‎ ‎(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，‎ ‎∴|PF1|·|PF2|＝， ①‎ 由题意知：‎ ‎∴3|PF1|·|PF2|＝400－‎4c2. ②‎ 由①②得c＝6，∴b＝8.‎ ‎19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若椭圆＋＝1的离心率为，且左、右焦点为F1，F2.试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF‎1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．‎ ‎[解]　(1)依题意，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝16(a>0)．‎ ‎∵圆与y轴相切，∴a＝4，‎ ‎∴圆的方程为(x－4)2＋y2＝16.‎ ‎(2)∵椭圆＋＝1的离心率为，‎ 9‎ ‎∴e＝＝＝，解得b2＝9.‎ ‎∴c＝＝4，‎ ‎∴F1(－4,0)，F2(4,0)，‎ ‎∴F2(4,0)恰为圆心C，‎ ‎(ⅰ)过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2(图略)，则∠P‎1F2F1＝∠P‎2F2F1＝90°，符合题意；‎ ‎(ⅱ)过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，‎ 连接CP3，CP4(图略)，则∠F1P‎3F2＝∠F1P‎4F＝90°，符合题意．‎ 综上，圆C上存在4个点P，使得△PF‎1F2为直角三角形．‎ ‎20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎[解]　(1)由题意，得＝，又点(2，)在C上，所以＋＝1，两方程联立，可解得a2＝8，b2＝4.‎ 所以C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．‎ 将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.‎ 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.‎ 所以直线OM的斜率kOM＝＝－，所以kOM·k＝－.‎ 故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎(2)求证：A为线段BM的中点．‎ ‎[解]　(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.‎ 9‎ 所以抛物线C的方程为y2＝x.‎ 抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ ‎(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．‎ 直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.‎ 因为y1＋－2x1＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝0，‎ 所以y1＋＝2x1，‎ 故A为线段BM的中点．‎ ‎22．(本小题满分12分)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴的一个端点A，短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求∠F1QF2的取值范围. ‎ ‎【导学号：46342129】‎ ‎[解]　(1)依题意知F1点坐标为(－c,0)，‎ 设M点坐标为(－c，y)．‎ 若A点坐标为(－a,0)，则B点坐标为(0，－b)，‎ 则直线AB的斜率k＝.(A点坐标为(a,0)，B点坐标为(0，b)时，同样有k＝)‎ 则有＝，∴y＝. ①‎ 9‎ 又∵点M在椭圆＋＝1上，‎ ‎∴＋＝1. ②‎ 由①②得＝，∴＝，‎ 即椭圆的离心率为.‎ ‎(2)设|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，‎ 则m＋n＝‎2a，|F‎1F2|＝‎2C．‎ 在△F1QF2中，cos θ＝ ‎＝＝－1≥－1＝0.‎ 当且仅当m＝n时，等号成立，‎ ‎∴0≤cos θ≤1，∴θ∈.‎ 即∠F1QF2的取值范围是.‎ 9‎