2020届高考理科数学二轮专题复习课件：专题5 解析几何2-5-解答题 3 35页

第 3 课时 　 最值与范围问题 考向一　圆锥曲线中的最值问题 【例 1 】 (2017· 山东高考 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 椭 圆 E: =1(a>b>0) 的 离心率为 ，焦距为 2. ① (1) 求椭圆 E 的方程 . (2) 如图 , 动直线 l :y=k 1 x- 交椭圆 E 于 A,B 两点 ,C 是椭 圆 E 上一点 , 直线 OC 的斜率为 k 2 , 且 k 1 k 2 = ,M 是线段 OC 延长线上一点 , 且 |MC|∶|AB|=2∶3 ， ② 圆 M 的 半径为 |MC|,OS,OT 是圆 M 的两条切线 , 切点分别为 S,T, 求 ∠SOT 的最大值 ③ , 并求取得最大值时直线 l 的斜率 . 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① e= ,2c=2 ② 想到弦长公式的应用 ③ 想到换元及二次函数思想求最值 【解析】 (1) 由题意知 : 所以 a= , 所以椭圆 E 的方程为 +y 2 =1. (2) 联立 : 得 :(1+2 )x 2 -2 k 1 x- =0, 所以 x 1 +x 2 = ,x 1 · x 2 = 所以 |AB|= 因为 |CM|∶|AB|=2∶3, 所以 |CM|= 联立 : 所以 x= 所以 OC= OM=OC+CM= 因为 k 1 k 2 = 所以 所以 OC= 设 θ=∠SOM, 所以 sin θ 所以 sin θ= 令 t= 所以原式 = 所以 t= 时取最大值 , 此时 k 1 =± ; 此时 sin θ 最大 值为 , 即 θ=30°,∠SOT=60°. 【拓展提升】 圆锥曲线中的最值问题类型较多 , 解法灵活多变 , 但总体上主要有两种方法 : 一是利用几何方法 , 即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解 ; 二是利用代数方法 , 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 ( 些 ) 参数的函数 ( 解析式 ), 然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 . 【变式训练】 已知椭圆 C: =1(a>b>0) 的离心率为 , 两焦点与 短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 . (1) 求椭圆 C 的方程 . (2) 设与圆 O:x 2 +y 2 = 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点 (O 为坐标原点 ), 求 △AOB 面积的最大值 . 【解析】 (1) 由题设 :e= bc= ,a 2 -b 2 =c 2 , 解得 a 2 =3,b 2 =1, 所以椭圆 C 的方程为 +y 2 =1. (2) 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ) ① 当 AB⊥x 轴时 ,|AB|= . ② 当 AB 与 x 轴不垂直时 , 设直线 AB 的方程为 y=kx+m, 由已知 得 m 2 = (k 2 +1). 把 y=kx+m 代入椭圆方程消去 y, 整理得 (3k 2 +1)x 2 +6kmx+3m 2 -3=0, 有 x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 = |AB| 2 =(x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2 =(x 1 -x 2 ) 2 +k 2 (x 1 -x 2 ) 2 = (1+k 2 )(x 1 -x 2 ) 2 =(1+k 2 )[(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 ] =(1+k 2 ) 当且仅当 9k 2 = , 即 k=± 时等号成立 . 当 k=0 时 ,|AB|= , 综上所述 ,|AB| max =2, 从而 △AOB 面积的最大值为 . 考向二　圆锥曲线中的范围问题 【例 2 】 (2018· 浙江高考 ) 如图 , 已知点 P 是 y 轴左侧 ( 不含 y 轴 ) 一点 , 抛物线 C:y 2 =4x 上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上 . (1) 设 AB 中点为 M ① ，证明 :PM 垂直于 y 轴 . (2) 若 P 是半椭圆 x 2 + =1(x<0) 上的动点 ② ，求 △PAB 面积的取值范围 ③ . 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到求出 AB 的中点坐标 ② 想到 P 点的变化范围 ③ 想到利用函数思想求最值 【解析】 (1) 设 P(x 0 ,y 0 ), 因为 PA,PB 的中点在抛物线上 , 所以 y 1 ,y 2 为方程 即 y 2 -2y 0 y+8x 0 - =0 的两个 不同的实数根 . 所以 y 1 +y 2 =2y 0 . 因此 ,PM 垂直于 y 轴 . (2) 由 (1) 可知 所以 |PM|= |y 1 -y 2 |= 因此 ,△PAB 的面积 S △PAB = |PM| · |y 1 -y 2 |= 因为 =1(x 0 <0), 所以 -4x 0 =-4 -4x 0 +4 ∈[4,5]. 因此 ,△PAB 面积的取值范围是 【拓展提升】 求解范围问题的常见求法 1. 利用判别式来构造不等关系 , 从而确定参数的取值范围 . 2. 利用已知参数的范围 , 求新参数的范围 , 解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系 . 3. 利用隐含或已知的不等关系建立不等式 , 从而求出参数的取值范围 . 4. 利用基本不等式求出参数的取值范围 . 5. 利用函数的值域的求法 , 确定参数的取值范围 . 【变式训练】 点 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ) 是椭圆 C: +y 2 =1 上两点 , 点 M 满 足 (1) 若点 M 在椭圆上 , 求证 :x 1 x 2 +2y 1 y 2 =-2. (2) 若 x 1 x 2 +2y 1 y 2 =0, 求点 M 到直线 x+y=4 距离的取值范围 . 【解析】 设点 M(x 0 ,y 0 ), 由 可得 :(x 0 ,y 0 )=(x 1 ,y 1 )+2(x 2 ,y 2 ), 即 　 ① (1) 因为点 M 在椭圆上 , 所以 =1. 将 ① 代入上式得 +(y 1 +2y 2 ) 2 =1, 展开并整理得 +2x 1 x 2 +4y 1 y 2 =1. 因为点 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ) 在椭圆上 , 所以 所以 1+4+2x 1 x 2 +4y 1 y 2 =1, 即 x 1 x 2 +2y 1 y 2 =-2. (2) +(y 1 +2y 2 ) 2 = +2x 1 x 2 +4y 1 y 2 = +2(x 1 x 2 +2y 1 y 2 ) =1+4+2×0=5, 所以 即点 M 在椭圆 =1 上 . 设与直线 x+y=4 平行且与椭圆 =1 相切的直线方 程为 x+y=λ. 消去 y 并整理得 3x 2 -4λx+2λ 2 -10=0, 令判别式 Δ=0, 即 16λ 2 -3×4×(2λ 2 -10)=0, 解得 λ=± . 点 M 到直线 x+y=4 距离的最大值为 最小值为 所以点 M 到直线 x+y=4 距离 的取值范围是