高二数学教案：第3讲 曲线方程和圆的标准方程 8页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 曲线方程和圆的标准方程 教学内容 ‎1. 理解曲线方程的概念；‎ ‎2. 会应用圆的标准方程解题。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 曲线的方程和方程的曲线的定义是什么？你是怎样理解的？‎ 一般地，如果某曲线与方程之间有以下两个关系：‎ ‎① 曲线上的点的坐标都方程的解；‎ ‎② 以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，此时，把方程；‎ 叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线.‎ 此处的定义比较抽象，理解的时候可以认为曲线和方程谁大就可以了，如果曲线大说明满足方程的点都在曲线上，但曲线上的点不一定都满足方程；反过来方程大说明曲线上的点都满足方程，但以方程的解为坐标的点不一定都在曲线上。‎ ‎2. 求曲线的方程的步骤是怎样的？（以提问为主，让学生回答）‎ ‎① 建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略)；‎ ‎② 设曲线上任意一点的坐标为；‎ ‎③ 根据曲线上点所适合的条件，写出等式；‎ ‎④ 用坐标表示这个等式(方程)，并化简；‎ ‎⑤ 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.‎ ‎3. 求曲线的方程你经常用哪些方法？（老师引导，让学生回答）‎ ‎① 直接法：直接根据动点满足的几何条件或等量关系列出等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，‎ 这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法．‎ ‎② 代入法：找到所求曲线上点的坐标与已知曲线上点的坐标之间的关系，通过建立的关系，把原来的 曲线方程转化为所求的曲线方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法．‎ ‎4. 圆的标准方程：，为圆的圆心，为圆的半径.‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列命题中正确的是( )‎ 曲线C上的点的坐标都满足方程 不在曲线C上的点的坐标有些满足方程 凡坐标不满足方程的点都不在曲线上 不在曲线上的点的坐标必不满足方程 解：由曲线的方程的定义可知,曲线上的点的坐标不一定都满足方程，故错；不在曲线上的点一定不适合，故错；坐标不适合方程的点可能在曲线上，故错；正确答案.‎ 试一试：如果曲线C上任意一点的坐标都是方程的解，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 曲线C的方程是 B. 曲线C上的点都在方程的曲线上 C. 方程的曲线是C D. 以方程的解为坐标的点都在曲线C上 解：曲线C上任意一点的坐标都是方程的解，说明方程比曲线大，即方程的解为坐标的点不一定在曲线C上，故选B.‎ 例2. 已知定线段，且，动点满足，求动点的轨迹方程．‎ 解：以线段所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，两点的坐标分别为，．设是轨迹上任意一点，则有，.由，可得．整理得.‎ ‎（通过典型例题的讲解，让学生总结和掌握利用直接法求解曲线的轨迹方程的5个步骤，同时强调哪一步最重要，及每步需注意的问题.）‎ 试一试：直角三角形中，斜边，求直角定点的轨迹方程．‎ 解：以线段所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，两点的坐标分别为，．设是轨迹上任意一点，则有，．由于，即.化简得.‎ ‎(强调求解曲线的轨迹方程时，一定要结合实际意义和题目的已知条件写出自变量的取值范围.)‎ 例3. 已知的顶点、，顶点在直线上移动，求重心的轨迹.‎ 解:设，两点的坐标分别为，则.由重心坐标公式，得由上式可得所以．化简得．‎ 试一试：‎ ‎1. 已知，，为坐标原点，动点满足，其中，且，求动点的轨迹方程.‎ 解：设点坐标为，则由满足，可得，于是 ‎，由因为，所以化简得．‎ ‎2. 已知定点，动点满足条件，点与点关于直线对称，求点的轨迹.‎ 解：设,两点的坐标分别为，则由点与点关于直线对称，可得,又因为动点满足条件，所以,所以点的轨迹方程为.‎ 例4. 已知为坐标原点，点坐标为，求以为直径的圆.‎ 解：设圆的标准方程为，由已知可得：，∴ ，线段中点坐标为，即为待求圆的圆心，∴圆的方程为 试一试：过点A（-1，1）和B（1，3），圆心在轴上的圆的标准方程为： ‎ 解：圆经过A、B，则圆心在线段AB的中垂线上，又圆心在轴上，所以圆心为两直线的交点C（2，0），半径为CA的长，所求圆的方程为．‎ 例5. 已知直线:，圆:，求直线被圆所截得的线段的长.‎ 解：直线被圆所截得的线段的长为.‎ 试一试：已知直线:被圆:所截得的弦长为，求的值.‎ 解：‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 已知两点P1（4，5）和P2（6，3），则以P1P2为直径的圆的方程___________．‎ ‎【答案】‎ ‎2. 圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的标准方程为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎3. 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎4. 圆上的点到直线的距离的最小值是 .‎ ‎【答案】4‎ ‎5. 已知直角坐标平面上一点和圆：，动点到圆的切线长等于圆的半径与的和．求动点的轨迹方程。‎ 解：设切圆于，又圆的半径，‎ ‎∴，‎ ‎∴，由已知．‎ 设，则，‎ ‎∴，即．可化为 ‎6. 已知△ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．‎ 解：设，，由重心公式，得 ‎　　又在抛物线上，．　　　③‎ ‎　　将①，②代入③，得，即所求曲线方程是 ‎7. 已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程。‎ 解：设圆心为半径为，令 而 ‎，或 ‎ ‎ 本节课主要知识点：曲线方程的定义，轨迹方程的求解方法，圆的标准方程。 ‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1. 圆心在直线上，且圆心到两坐标轴距离相等的圆的标准方程为（ ） C ‎ A． ‎ B．‎ C．或 ‎ D．或 ‎2. 点是曲线上的动点，为坐标原点，又点是线段中点，求动点轨迹方程。‎ ‎【答案】：设点，则，‎ 依题意，点在曲线上，代入，得：，‎ 所以 ‎3. 求圆关于点的对称圆方程 ‎【答案】：解法一：圆心关于点的对称点为，‎ 所以对称后的圆心为，半径不变，圆：‎ 解法二：设对称后圆上任一点，‎ 则它关于的对称点应在原来的圆上 所以，即 ‎4. 求过点向圆所引的切线方程.‎ 解：显然为所求切线之一；另设 而 或为所求。‎ ‎【预习思考】‎ ‎1. 圆的一般方程： ‎ ‎(1) 圆的一般方程由圆的标准方程展开整理得到，它是以 为圆心，‎ 以 为半径的圆；当时，‎ 表示点；当，没有图形.‎ ‎(2) 圆的一般方程的特点：‎ ‎①和项的系数 且不为 ；‎ ‎②不含 项；‎ ‎③；‎ ‎2. 点和圆的位置关系的判断方法：已知点与圆，‎ ‎（1）几何法：‎ ‎（2） 代数法：‎ ‎3. 直线和圆的位置关系的判断方法：‎ ‎（1）几何法：‎ ‎（2） 代数法：‎