【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第九章第四讲　双曲线作业 7页

第四讲　双曲线 ‎ ‎ ‎1.[2020惠州市一调]设双曲线的一条渐近线为直线y=2x,且一个焦点与抛物线 y2=4x的焦点相同,则此双曲线的方程为(　　)‎ A.‎5‎‎4‎x 2- 5y2=1 B.5y2 -‎ ‎‎5‎‎4‎x2=1‎ C.5x2-‎ ‎‎5‎‎4‎y2=1 D.‎5‎‎4‎y2 - 5x2=1‎ ‎2.[2020陕西省部分学校摸底检测]设双曲线x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎3‎=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为(　　)‎ A.13 B.12 C.11 D.10‎ ‎3.[2020南昌市测试]圆C:x2+y2-10y+16=0上有且仅有两点到双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A.(‎2‎,‎5‎)　B.(‎5‎‎3‎,‎5‎‎2‎)　C.(‎5‎‎4‎,‎5‎‎2‎)　D.(‎5‎,‎2‎+1)‎ ‎4.[2019安徽示范高中高三测试]已知F1,F2是双曲线E:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在双曲线E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=‎1‎‎4‎,则双曲线E的离心率为(　　)‎ A.‎15‎‎3‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎13‎‎2‎ D.2‎ ‎5.[2020江西红色七校第一次联考]双曲线C:x2-y‎2‎‎3‎=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上且tan∠F1PF2=4‎3‎,O为坐标原点,则|OP|=　　　　　. ‎ ‎6.[2020四川五校联考]已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线与双曲线C交于A,B两点,若∠AF2B=60°,△ABF2的面积为‎3‎a2,则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎7.[2020陕西省百校第一次联考]已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1与l2,A与B为l1上关于坐标原点对称的两点,M为l2上一点且kAM·kBM=e(e为双曲线C的离心率),则e的值为(　　)‎ A.‎5‎ B.‎5‎‎+1‎‎2‎ C.2 D.‎‎2‎ ‎8.[2020成都高三摸底考试]已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点N(-c,‎3‎b‎2‎‎2a).若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|>4b,则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)‎ A.(‎13‎‎3‎,‎5‎) B.(‎5‎,‎13‎) C.(1,‎13‎‎3‎)∪(‎5‎,+∞) D.(1,‎5‎)∪(‎13‎,+∞)‎ ‎9.[2020洛阳市第一次联考]已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为(　　)‎ A.‎2+‎‎7‎‎3‎　　B.‎4+‎‎7‎‎3‎　　C.‎3+‎‎17‎‎4‎　　D.‎‎5+‎‎17‎‎4‎ ‎10.[多选题]已知双曲线Γ:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点,△PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为M,O为坐标原点,则以下结论正确的是(　　)‎ A.△PF1F2的内切圆的圆心I在直线x=a上 B.|OM|=a C.若∠F1IF2=θ,则△PF1F2的面积为-b2tan θ D.△PF1F2的内切圆与x轴的切点为(c-a,0)‎ ‎11.[2019河北廊坊省级示范高中联考]已知点F2为双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=‎2π‎3‎,S△‎AF‎2‎B=2‎3‎,则双曲线C的虚轴长为　　　　. ‎ ‎12.[2020惠州市二调] [新定义题]我们把焦点相同,离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是(　　)‎ A.‎3‎ B.‎2‎ C.‎2‎‎3‎‎3‎ D.2‎ ‎13. [新角度题]已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,c为椭圆C的半焦距,过A1的直线与圆x2+y2=c2切于点N,与双曲线E:x‎2‎c‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1在第一象限交于点M,满足MA1⊥MA2,若椭圆C 的离心率为e1,双曲线E的离心率为e2,则e2+‎1‎e‎1‎的值为(　　)‎ A.‎16‎‎5‎ B.‎5‎ C.‎6‎‎5‎‎5‎ D.2‎‎5‎ ‎14.[双空题]在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程为2x±y=0,且该双曲线经过点(‎5‎‎4‎,‎3‎‎2‎),则该双曲线的标准方程为　　　　,焦点坐标为　　　　. ‎ 第四讲　双曲线 ‎1.C　抛物线y2=4x的焦点为点(1,0),则双曲线的一个焦点为点(1,0),设双曲线的方程为x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),由题意可得ba‎=2,‎‎1‎‎2‎‎=a‎2‎+b‎2‎,‎得a‎2‎‎=‎1‎‎5‎,‎b‎2‎‎=‎4‎‎5‎,‎所以双曲线的方程为5x2- ‎5‎‎4‎y2=1,故选C.‎ ‎2.C　由题意得双曲线的实半轴长a=2,虚半轴长b=‎3‎.根据双曲线的定义得|AF2|- |AF1|=2a=4　①,|BF2|- |BF1|=2a=4　②,①+②得|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+8=|AB|+8.易得|AB|min=‎2‎b‎2‎a=3,所以|AF2|+|BF2|的最小值为11,故选C.‎ ‎3.C　不妨设该渐近线经过第二、四象限,则该渐近线的方程为bx+ay=0.因为圆C:x2+(y- 5)2=9,所以圆C的圆心为(0,5),半径为3,所以2<‎|5a|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎<4,结合a2+b2=c2,得‎5‎‎4‎‎1,所以双曲线E的离心率为‎15‎‎3‎.故选A.‎ ‎【解题关键】　解决本题的关键是将齐次方程‎15‎c2- ‎15‎a2- 2ac=0转化为关于e的一元二次方程.‎ ‎5.‎5‎　因为tan∠F1PF2=4‎3‎,所以sin∠F1PF2=‎4‎‎3‎‎7‎,cos∠F1PF2=‎1‎‎7‎.‎ 由余弦定理得‎|F‎1‎F‎2‎|‎‎2‎‎=‎|PF‎1‎|‎‎2‎+‎‎|PF‎2‎|‎‎2‎- 2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,‎ 所以‎|F‎1‎F‎2‎|‎‎2‎‎=‎|PF‎1‎|‎‎2‎+‎|PF‎2‎|‎‎2‎-‎‎2‎‎7‎·|PF1|·|PF2|=16,‎ 又||PF1|- |PF2||=2,所以|PF1|·|PF2|=7,‎ 则△F1PF2的面积为‎1‎‎2‎·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=2‎3‎.‎ 设P(x0,y0),因为△F1PF2的面积为‎1‎‎2‎·2c·|y0|=2‎3‎,所以|y0|=‎3‎,代入x2- y‎2‎‎3‎=1得x‎0‎‎2‎=2,所以|OP|=x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎‎=‎2+3‎=‎‎5‎.‎ ‎6.y=±‎3‎x　解法一　如图D 9- 4- 2,连接AF1,BF1,则四边形AF2BF1是平行四边形,设|AF2|=x,则|BF1|=x,|BF2|=x+2a,S‎△ABF‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎·|AF2|·|BF2|·sin∠AF2B=‎1‎‎2‎x·(x+2a)·‎3‎‎2‎‎=‎‎3‎a2,解得x=(‎5‎- 1)a,则|BF2|=(‎5‎‎+‎1)a.在△BF1F2中,由余弦定理得4c2=(‎5‎- 1)2a2+(‎5‎‎+‎1)2a2- 2(‎5‎- 1)(‎5‎‎+‎1)a2·(- ‎1‎‎2‎),化简得c2=4a2,又c2=a2+b2,故b2=3a2,ba=±‎3‎,所以双曲线的渐近线方程为y=±‎3‎x.‎ 图D 9- 4- 2‎ 解法二　如图D 9- 4- 2,连接AF1,BF1,则四边形AF2BF1是平行四边形,因为∠AF2B=60°,所以∠F1AF2=120°,易知S‎△ABF‎2‎‎=‎1‎‎2‎S四边形AF‎2‎BF‎1‎=S‎△AF‎1‎F‎2‎=b‎2‎tan60°‎=‎‎3‎a2,故b‎2‎a‎2‎=3,ba=±‎3‎,所以双曲线的渐近线方程为y=±‎3‎x.‎ ‎7.B　设M(x0,y0),A(x1,y1),则B(- x1,- y1).不妨设l1:y=bax,l2:y=- bax,则y0=- bax0,y1=bax1,所以kAM·kBM=y‎0‎‎- ‎y‎1‎x‎0‎‎- ‎x‎1‎·y‎0‎‎+‎y‎1‎x‎0‎‎+‎x‎1‎‎=y‎0‎‎2‎‎- ‎y‎1‎‎2‎x‎0‎‎2‎‎- ‎x‎1‎‎2‎=‎b‎2‎a‎2‎.因为kAM·kBM=e,所以b‎2‎a‎2‎=e,即c‎2‎‎- ‎a‎2‎a‎2‎=e,整理得e2- e- 1=0,解得e=‎1±‎‎5‎‎2‎.又e>1,所以e=‎‎1+‎‎5‎‎2‎ ‎,故选B.‎ ‎8.C　由双曲线定义知|MF2|- |MF1|=2a,所以|MF2|=|MF1|+2a,因为|MF2|+|MN|>4b恒成立,所以|MF1|+|MN|>4b- 2a恒成立,即(|MF1|+|MN|)min>4b- 2a.由题意易知点N在双曲线左支的上方,由平面几何知识知,当MF1⊥x轴且点M在x轴上方时,|MF1|+|MN|取得最小值‎3‎b‎2‎‎2a,所以‎3‎b‎2‎‎2a>4b- 2a,即3·(ba)2- 8·ba‎+‎4>0,解得02.又e=ca‎=‎‎1+(‎ba‎)‎‎2‎ ,所以e∈(1,‎13‎‎3‎)∪(‎5‎,+∞),故选C.‎ 图D 9- 4- 3‎ ‎9.C　如图D 9- 4- 3,连接BF1,AF2,由双曲线的定义知,|AF2|- |AF1|=2a,|BF1|- |BF2|=2a,由|BF1|=|AF1|=2c,可得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c- 2a,在△AF1F2中,由余弦定理可得cos∠AF1F2=‎4c‎2‎+4c‎2‎- ‎‎(2a+2c)‎‎2‎‎2·2c·2c‎=‎c‎2‎‎- 2ac- ‎a‎2‎‎2‎c‎2‎,在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=‎4c‎2‎+‎(2c- 2a)‎‎2‎- 4‎c‎2‎‎2·2c·(2c- 2a)‎‎=‎c- a‎2c,由F1A∥F2B,可得∠BF2F1+∠AF1F2=π,则有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0,即c‎2‎‎- 2ac- ‎a‎2‎‎2‎c‎2‎‎+‎c- a‎2c=0,整理得2c2- 3ac- a2=0,可化为2e2- 3e- 1=0,解得e=‎3+‎‎17‎‎4‎或e=‎3- ‎‎17‎‎4‎(舍去),所以双曲线C的离心率为‎3+‎‎17‎‎4‎.故选C.‎ ‎10.ABC　设内切圆与△PF1F2的边F1F2,F2P,F1P分别切于点A,B,C,切点A的坐标为(x0,0),由题意知x0>0,则|PF1|- |PF2|=|PC|+|CF1|- |PB|- |BF2|=|CF1|- |BF2|=|AF1|- |AF2|=(c+x0)- (c- x0)=2x0=2a,所以x0=a,连接IA,则IA⊥x轴,所以A正确,D不一定正确.设直线F2M交PF1于点D,因为PM是∠F1PF2的平分线,且PM⊥F2D,所以△PDF2是等腰三角形,即|PD|=|PF2|,所以|PF1|- |PF2|=|DF1|=2a,又易得M是线段DF2的中点,O是线段F1F2的中点,所以|OM|=‎1‎‎2‎|F1D|=a,故B正确.在△PF1F2中,设∠F1PF2=α,因为|PF1|- |PF2|=2a,结合余弦定理可得|PF1|·|PF2|=‎2‎b‎2‎‎1- cosα,所以△PF1F2的面积S=‎1‎‎2‎|PF1|·|PF2|·sin α=b‎2‎sinα‎1- cosα.因为∠IF1F2+∠IF2F1+θ=π,即‎1‎‎2‎(π- α)+θ=π,所以α=2θ- π,所以S=b‎2‎sin(2θ- π)‎‎1- cos(2θ- π)‎=- b‎2‎sin2θ‎1+cos2θ=- ‎2b‎2‎sinθcosθ‎2cos‎2‎θ=- b2tan θ,所以C正确.故选ABC.‎ ‎ 11.2‎2‎　设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形,所以S‎△AF‎1‎B=2‎3‎,∠F1AF2=π‎3‎.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,由余弦定理得4c2=r‎1‎‎2‎‎+‎r‎2‎‎2‎- 2r1r2cos π‎3‎.又|r1- r2|=2a,所以r1r2=4b2.又S‎△AF‎1‎B‎=‎‎1‎‎2‎r1r2sin π‎3‎=2‎3‎,所以b2=2,则该双曲线的虚轴长为2‎2‎.‎ ‎12.A　设椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,椭圆的长半轴长为a1,椭圆的半焦距为c,双曲线的实半轴长为a2,|PF1|=x,|PF2|=y,x>y.‎ 由椭圆、双曲线的定义得x+y=2a‎1‎,‎x- y=2a‎2‎,‎‎∴‎x=a‎1‎+a‎2‎,‎y=a‎1‎- a‎2‎.‎在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=x‎2‎‎+y‎2‎- (2c‎)‎‎2‎‎2xy=cos 60°,∴‎2(a‎1‎‎2‎+a‎2‎‎2‎)- 4‎c‎2‎‎2(a‎1‎‎2‎- a‎2‎‎2‎)‎‎=‎‎1‎‎2‎,∴a‎1‎‎2‎‎+‎3a‎2‎‎2‎=4c2.∵e1·e2=ca‎1‎·ca‎2‎=1,∴c2=a1a2,∴a‎1‎‎2‎‎+‎3a‎2‎‎2‎=4a1a2,即(a1- a2)(a1- 3a2)=0,∴a1=3a2,∴3a‎2‎‎2‎=c2,∴e2=ca‎2‎‎=‎‎3‎,即双曲线的离心率为‎3‎.故选A.‎ ‎13.D　如图D 9- 4- 4,‎ 图D 9- 4- 4‎ 由已知得,a2=b2+c2,则A1,A2分别为双曲线E:x‎2‎c‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1的左、右焦点.连接ON,由直线A1M与圆x2+y2=c2切于点N,得|ON|=c,ON⊥MA1,又MA1⊥MA2,所以ON∥A2M,从而|A1N|=b,|A1M|=2b,|A2M|=2|ON|=2c.由双曲线的定义得|A1M|- |A2M|=2c,即2b- 2c=2c,b=2c,从而椭圆的离心率e1=ca‎=‎‎1‎‎5‎,双曲线的离心率e2=ac‎=‎‎5‎,所以e2‎+‎‎1‎e‎1‎=2‎5‎,故选D.‎ ‎【技巧点拨】　在解决有关圆的问题时,要多注意结合几何图形,充分利用圆的几何性质;涉及双曲线定义的题目,要抓住“双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于2a(a为双曲线的实半轴长)”这个特征;涉及椭圆定义的题目,要抓住“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2m(m为椭圆的长半轴长)”这个特征.‎ ‎【素养落地】　试题将椭圆、双曲线、直线与圆等知识有机结合起来,引导考生要抓住解析几何问题的本质,在剖析问题本质的基础上,建立“数”与“形”的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.‎ ‎ 14.x2- y‎2‎‎4‎=1　(±‎5‎,0)　解法一 　分两种情况讨论:(1)设双曲线的标准方程为x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,知 b=2a,由b=2a,‎‎25‎‎16‎a‎2‎‎- ‎9‎‎4‎b‎2‎=1,‎得a‎2‎‎=1,‎b‎2‎‎=4,‎ 所以双曲线的标准方程为x2- y‎2‎‎4‎=1,焦点坐标为(±‎5‎,0);(2)设双曲线的标准方程为y‎2‎a‎2‎‎-‎x‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,知 a=2b,由a=2b,‎‎9‎‎4‎a‎2‎‎- ‎25‎‎16‎b‎2‎=1,‎得b2=- 1,不合题意,舍去.‎ 综上,双曲线的标准方程为x2- y‎2‎‎4‎=1,焦点坐标为(±‎5‎,0).‎ 解法二　因为点(‎5‎‎4‎,‎3‎‎2‎)在渐近线y=2x的下方,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,知 b=2a,由b=2a,‎‎25‎‎16‎a‎2‎‎- ‎9‎‎4‎b‎2‎=1,‎得a‎2‎‎=1,‎b‎2‎‎=4,‎所以双曲线的标准方程为x2- y‎2‎‎4‎=1,焦点坐标为(±‎5‎,0).‎ 解法三 　由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,设双曲线的方程为4x2- y2=λ,再将(‎5‎‎4‎,‎3‎‎2‎)代入双曲线的方程,得λ=4,所以双曲线的标准方程为x2- y‎2‎‎4‎=1,焦点坐标为(±‎5‎,0).‎