• 2.52 MB
  • 2021-06-15 发布

高考数学真题专题归纳专题14数列综合含解析理

  • 27页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
专题14 数列综合 ‎【2020年】‎ ‎1.(2020·新课标Ⅰ)设是公比不为1的等比数列,为,的等差中项.‎ ‎(1)求的公比;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)-2;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设的公比为,为的等差中项,‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎(2)设的前项和为,,‎ ‎,①‎ ‎,②‎ ‎①②得,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎2.(2020·新课标Ⅲ)设数列{an}满足a1=3,.‎ ‎(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;‎ ‎(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.‎ ‎【答案】(1),,,证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由题意可得,,‎ 27‎ 由数列的前三项可猜想数列是以为首项,2为公差的等差数列,即,‎ 证明如下:‎ 当时,成立;‎ 假设时,成立.‎ 那么时,也成立.‎ 则对任意的,都有成立;‎ ‎(2)由(1)可知,‎ ‎,①‎ ‎,②‎ 由①②得:‎ ‎,‎ 即.‎ ‎3.(2020·北京卷)已知是无穷数列.给出两个性质:‎ ‎①对于中任意两项,在中都存在一项,使;‎ ‎②对于中任意项,在中都存在两项.使得.‎ ‎(Ⅰ)若,判断数列是否满足性质①,说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若,判断数列是否同时满足性质①和性质②,说明理由;‎ ‎(Ⅲ)若是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:为等比数列.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详解解析;(Ⅲ)证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)不具有性质①;‎ 27‎ ‎(Ⅱ)具有性质①;‎ 具有性质②;‎ ‎(Ⅲ)【解法一】‎ 首先,证明数列中的项数同号,不妨设恒为正数:‎ 显然,假设数列中存在负项,设,‎ 第一种情况:若,即,‎ 由①可知:存在,满足,存在,满足,‎ 由可知,从而,与数列的单调性矛盾,假设不成立.‎ 第二种情况:若,由①知存在实数,满足,由的定义可知:,‎ 另一方面,,由数列的单调性可知:,‎ 这与的定义矛盾,假设不成立.‎ 同理可证得数列中的项数恒为负数.‎ 综上可得,数列中的项数同号.‎ 其次,证明:‎ 利用性质②:取,此时,‎ 由数列的单调性可知,‎ 而,故,‎ 此时必有,即,‎ 27‎ 最后,用数学归纳法证明数列为等比数列:‎ 假设数列的前项成等比数列,不妨设,‎ 其中,(的情况类似)‎ 由①可得:存在整数,满足,且 (*)‎ 由②得:存在,满足:,由数列的单调性可知:,‎ 由可得: (**)‎ 由(**)和(*)式可得:,‎ 结合数列的单调性有:,‎ 注意到均为整数,故,‎ 代入(**)式,从而.‎ 总上可得,数列的通项公式为:.‎ 即数列为等比数列.‎ ‎【解法二】假设数列中的项数均为正数:‎ 首先利用性质②:取,此时,‎ 由数列的单调性可知,‎ 而,故,‎ 此时必有,即,‎ 即成等比数列,不妨设,‎ 然后利用性质①:取,则,‎ 27‎ 即数列中必然存在一项的值为,下面我们来证明,‎ 否则,由数列的单调性可知,‎ 在性质②中,取,则,从而,‎ 与前面类似的可知则存在,满足,‎ 若,则:,与假设矛盾;‎ 若,则:,与假设矛盾;‎ 若,则:,与数列的单调性矛盾;‎ 即不存在满足题意的正整数,可见不成立,从而,‎ 同理可得:,从而数列为等比数列,‎ 同理,当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.‎ 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负,不会同时出现正数和负数.‎ 从而题中的结论得证,数列为等比数列.‎ ‎4.(2020·江苏卷)已知数列的首项a1=1,前n项和为Sn.设λ与k是常数,若对一切正整数n,均有成立,则称此数列为“λ–k”数列.‎ ‎(1)若等差数列是“λ–1”数列,求λ的值;‎ ‎(2)若数列是“”数列,且an>0,求数列的通项公式;‎ ‎(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列为“λ–3”数列,且an≥0?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由,‎ ‎【答案】(1)1‎ ‎(2)‎ 27‎ ‎(3)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎,‎ ‎(3)假设存在三个不同的数列为数列.‎ 或 或 ‎∵对于给定的,存在三个不同的数列为数列,且 或有两个不等的正根.‎ 可转化为,不妨设,则 27‎ 有两个不等正根,设.‎ ‎① 当时,,即,此时,,满足题意.‎ ‎② 当时,,即,此时,,此情况有两个不等负根,不满足题意舍去.‎ 综上,‎ ‎5.(2020·山东卷)已知公比大于的等比数列满足.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1) 设等比数列的公比为q(q>1),则,‎ 整理可得:,‎ ‎,‎ 数列的通项公式为:.‎ ‎(2)由于:,故:‎ ‎.‎ 27‎ ‎6.(2020·天津卷)已知为等差数列,为等比数列,.‎ ‎(Ⅰ)求和的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记的前项和为,求证:;‎ ‎(Ⅲ)对任意的正整数,设求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为q.‎ 由,,可得d=1.‎ 从而的通项公式为.‎ 由,‎ 又q≠0,可得,解得q=2,‎ 从而的通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得,‎ 故,,‎ 从而,‎ 所以.‎ ‎(Ⅲ)当n奇数时,,‎ 27‎ 当n为偶数时,,‎ 对任意的正整数n,有,‎ 和 ①‎ 由①得 ②‎ 由①②得,‎ 由于,‎ 从而得:.‎ 因此,.‎ 所以,数列的前2n项和为.‎ ‎7.(2020·浙江卷)已知数列{an},{bn},{cn}中,.‎ ‎(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列,且公比,且,求q与an的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列,且公差,证明:.‎ ‎【答案】(I);(II)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(I)依题意,而,即,由于,所以解得 27‎ ‎,所以.‎ 所以,故,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.‎ 所以().‎ 所以 ‎(II)依题意设,由于,‎ 所以,‎ 故 ‎.‎ 所以 ‎.‎ 由于,所以,所以.‎ 即,.‎ ‎【2019年】‎ ‎1.【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,,.‎ ‎(I)证明:{an+bn}是等比数列,{an–bn}是等差数列;‎ ‎(II)求{an}和{bn}的通项公式.‎ 27‎ ‎【答案】(I)见解析;(2),.‎ ‎【解析】(1)由题设得,即.‎ 又因为a1+b1=l,所以是首项为1,公比为的等比数列.‎ 由题设得,即.‎ 又因为a1–b1=l,所以是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知,,.‎ 所以,‎ ‎.‎ ‎2.【2019年高考北京卷理数】已知数列{an},从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i10.‎ 因为ck≤bk≤ck+1,所以,其中k=1,2,3,…,m.‎ 当k=1时,有q≥1;‎ 当k=2,3,…,m时,有.‎ 设f(x)=,则.‎ 令,得x=e.列表如下:‎ x e ‎(e,+∞)‎ 27‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ f(x)‎ 极大值 因为,所以.‎ 取,当k=1,2,3,4,5时,,即,‎ 经检验知也成立.‎ 因此所求m的最大值不小于5.‎ 若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,‎ 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.‎ 综上,所求m的最大值为5.‎ ‎5.【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为,,,数列满足:对每个成等比数列.‎ ‎(I)求数列的通项公式; (II)记 证明:‎ ‎【答案】(I),;(II)证明见解析.‎ ‎【解析】(I)设数列的公差为d,由题意得 ‎,‎ 解得.‎ 从而.‎ 所以,‎ 由成等比数列得 ‎.‎ 解得.‎ 所以.‎ 27‎ ‎(II).‎ 我们用数学归纳法证明.‎ ‎(i)当n=1时,c1=0<2,不等式成立;‎ ‎(ii)假设时不等式成立,即.‎ 那么,当时,‎ ‎.‎ 即当时不等式也成立.‎ 根据(i)和(ii),不等式对任意成立.‎ ‎【2018年】‎ ‎1. (2018年浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列 ‎{bn}满足b1=1,数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n.‎ ‎(Ⅰ)求q的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式. ‎ ‎【答案】(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由是的等差中项得,‎ 所以,‎ 解得.‎ 由得,‎ 因为,所以.‎ ‎(Ⅱ)设,数列前n项和为.‎ 由解得.‎ 27‎ 由(Ⅰ)可知,‎ 所以,‎ 故,‎ ‎ .‎ 设,‎ 所以,‎ 因此,‎ 又,所以.‎ ‎2. (2018年天津卷)设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知,,,.‎ ‎(I)求和的通项公式;‎ ‎(II)设数列的前n项和为,‎ ‎(i)求;‎ ‎(ii)证明.‎ ‎【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析.‎ ‎【解析】(I)设等比数列的公比为q.由 可得.因为,可得,故.‎ 设等差数列的公差为d,由,可得 由,可得 ‎ 从而 故 ‎ 所以数列的通项公式为,‎ 数列的通项公式为 27‎ ‎(II)(i)由(I),有,‎ 故.‎ ‎(ii)因为,‎ 所以 ‎3. (2018年江苏卷)设是首项为,公差为d的等差数列,是首项为,公比为q的等比数列.‎ ‎(1)设,若对均成立,求d的取值范围;‎ ‎(2)若,证明:存在,使得对均成立,并求的取值范围(用表示).‎ ‎【答案】(1)d的取值范围为.‎ ‎(2)d的取值范围为,证明见解析。‎ ‎【解析】(1)由条件知:.‎ 因为对n=1,2,3,4均成立,‎ 即对n=1,2,3,4均成立,‎ 即11,1d3,32d5,73d9,得.‎ 因此,d的取值范围为.‎ ‎(2)由条件知:.‎ 若存在d,使得(n=2,3,···,m+1)成立,‎ 即,‎ 即当时,d满足.‎ 因为,则,‎ 从而,,对均成立.‎ 因此,取d=0时,对均成立.‎ 27‎ 下面讨论数列的最大值和数列的最小值().‎ ‎①当时,,‎ 当时,有,从而.‎ 因此,当时,数列单调递增,‎ 故数列的最大值为.‎ ‎②设,当x>0时,,‎ 所以单调递减,从而