北京市通州区2020届高三高考数学一模试卷 Word版含解析 23页

‎2020年高考数学一模试卷 一、选择题（共10小题）‎ ‎1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（　　）‎ A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1＜x≤2}‎ ‎2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（　　）‎ A．1 B．2 C．‎5‎ D．3‎ ‎3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（　　）‎ A．π‎2‎ B．π C．2π D．4π ‎4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（　　）‎ A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（2，1）‎ ‎5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（　　）‎ A．﹣1 B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．‎1‎‎2‎ D．1‎ ‎6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x‎2‎‎3‎‎-y‎2‎=‎1的右焦点重合，则p＝（　　）‎ A．‎2‎ B．2 C．2‎2‎ D．4‎ ‎7．在（2x‎-‎‎1‎x）6的展开式中，常数项是（　　）‎ A．﹣l60 B．﹣20 C．20 D．160‎ ‎8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），B(cos(α+π‎3‎)，sin(α+π‎3‎))‎．则‎|OA‎→‎+OB‎→‎|=‎（　　）‎ A．1 B．‎3‎ C．2 D．与α有关 ‎9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“an（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：‎ N＝2n（n＞0）‎ lgN N的位数 ‎21‎ lg2‎ 一位数 ‎22‎ lg4‎ 一位数 ‎23‎ lg8‎ 一位数 ‎24‎ ‎1+lg1.6‎ 两位数 ‎25‎ ‎1+lg3.2‎ 两位数 ‎26‎ ‎1+lg6.4‎ 两位数 ‎27‎ ‎2+lg1.28‎ 三位数 ‎28‎ ‎2+lg2.56‎ 三位数 ‎29‎ ‎2+lg5.12‎ 三位数 ‎210‎ ‎3+lg1.024‎ 四位数 ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ 试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（　　）‎ A．101 B．50 C．31 D．30‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．已知向量a‎→‎‎=(1，-2)‎，b‎→‎‎=(-3，m)‎，其中m∈R．若a‎→‎‎，‎b‎→‎共线，则m等于　 　．‎ ‎12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+‎3‎y+1=0‎的距离为　 　．‎ ‎13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于　 　．‎ ‎14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{an}，则a1＝　 　；an＝　 　．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）‎ ‎15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cosx，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．已知△ABC，满足a=‎‎7‎，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．‎ 从①A=‎π‎3‎，②cosB=‎‎21‎‎7‎这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：‎ 专项 员工人数 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 老员工 ‎4‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎3‎ 中年员工 ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎8‎ 青年员工 ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；‎ ‎（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）若点F满足AF‎→‎‎=λAB‎→‎，当EF∥平面AGH时，求λ的值．‎ ‎19．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a＞b＞0)‎的离心率为‎2‎‎2‎，点A（0，1）在椭圆C上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎20．已知函数f（x）＝（x﹣a）ex+x+a，设g（x）＝f'（x）．‎ ‎（Ⅰ）求g（x）的极小值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．‎ ‎21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足ai+1＝[ai]•（ai﹣[ai]），其中a0是任意一个非零实数．‎ ‎（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；‎ ‎（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[ai]}的最小值；‎ ‎（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，ai＝ai+2．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（　　）‎ A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1＜x≤2}‎ ‎【分析】利用交集定义能求出A∩B．‎ 解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，‎ ‎∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．‎ 故选：D．‎ ‎2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（　　）‎ A．1 B．2 C．‎5‎ D．3‎ ‎【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可 解：因为复数z＝i（2+i）＝﹣1+2i，所以|z|‎=‎(-1‎)‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎5‎，‎ 故选：C．‎ ‎3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（　　）‎ A．π‎2‎ B．π C．2π D．4π ‎【分析】函数y解析式提取‎2‎变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．‎ 解：函数y＝sin2x+cos2x‎=‎‎2‎sin（2x‎+‎‎2‎‎2‎），‎ ‎∵ω＝2，∴T＝π．‎ 故选：B．‎ ‎4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（　　）‎ A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（2，1）‎ ‎【分析】根据f（x）是奇函数即可得出f（﹣1）＝﹣2，从而得出点（﹣1，﹣2）在f（x）的图象上．‎ 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，‎ ‎∴f（﹣1）＝﹣2，‎ ‎∴（﹣1，﹣2）一定在函数f（x）的图象上．‎ 故选：B．‎ ‎5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（　　）‎ A．﹣1 B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．‎1‎‎2‎ D．1‎ ‎【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．‎ 解：a，3，b，9，c成等比数列，‎ 则bc＝81，b2＝27，‎ ‎∴b‎2‎bc‎=bc=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴log3b﹣log3c＝log3‎1‎‎3‎‎=-‎1，‎ 故选：A．‎ ‎6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x‎2‎‎3‎‎-y‎2‎=‎1的右焦点重合，则p＝（　　）‎ A．‎2‎ B．2 C．2‎2‎ D．4‎ ‎【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2＝2px的焦点坐标（p‎2‎，0），可得p‎2‎‎=‎2，得p＝4．‎ 解：∵双曲线x‎2‎‎3‎‎-y‎2‎=1‎中a2＝3，b2＝1‎ ‎∴c‎=a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎2，得双曲线的右焦点为F（2，0）‎ 因此抛物线y2＝2px的焦点（p‎2‎，0）即F（2，0）‎ ‎∴p‎2‎‎=‎2，即p＝4‎ 故选：D．‎ ‎7．在（2x‎-‎‎1‎x）6的展开式中，常数项是（　　）‎ A．﹣l60 B．﹣20 C．20 D．160‎ ‎【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．‎ 解：‎(2x-‎‎1‎x‎)‎‎6‎展开式的通项公式为 Tr+1‎=‎C‎6‎r•（2x）6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•26﹣r•C‎6‎r•x6﹣2r，‎ 令6﹣2r＝0，可得r＝3，故‎(2x-‎‎1‎x‎)‎‎6‎展开式的常数项为﹣8•C‎6‎‎3‎‎=-‎160，‎ 故选：A．‎ ‎8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），B(cos(α+π‎3‎)，sin(α+π‎3‎))‎．则‎|OA‎→‎+OB‎→‎|=‎（　　）‎ A．1 B．‎3‎ C．2 D．与α有关 ‎【分析】根据题意，求出向量OA‎→‎、OB‎→‎的坐标，进而可得OA‎→‎‎+‎OB‎→‎的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．‎ 解：根据题意，A（cosα，sinα），B(cos(α+π‎3‎)，sin(α+π‎3‎))‎．‎ 则OA‎→‎‎=‎（cosα，sinα），OB‎→‎‎=‎（cos（α‎+‎π‎3‎），sin（α‎+‎π‎3‎）），‎ 则有OA‎→‎‎+OB‎→‎=‎（cosα+cos（α‎+‎π‎3‎），sinα+sin（α‎+‎π‎3‎）），‎ 故|OA‎→‎‎+‎OB‎→‎|2＝[cosα+cos（α‎+‎π‎3‎）]2+[sinα+sin（α‎+‎π‎3‎）]2＝2+2cosαcos（α‎+‎π‎3‎）+2sinαsin（α‎+‎π‎3‎）＝2+2cosπ‎3‎‎=‎3，‎ 则|OA‎→‎‎+‎OB‎→‎|‎=‎‎3‎；‎ 故选：B．‎ ‎9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】a＞0，b＞0，利用基本不等式的性质可得：a+b≥2ab，可由ab≥1，得出a+b≥2．反之不成立．‎ 解：a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，‎ 若ab≥1，则a+b≥2．‎ 反之不成立，例如取a＝5，b‎=‎‎1‎‎10‎．‎ ‎∴“ab≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“an（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：‎ N＝2n（n＞0）‎ lgN N的位数 ‎21‎ lg2‎ 一位数 ‎22‎ lg4‎ 一位数 ‎23‎ lg8‎ 一位数 ‎24‎ ‎1+lg1.6‎ 两位数 ‎25‎ ‎1+lg3.2‎ 两位数 ‎26‎ ‎1+lg6.4‎ 两位数 ‎27‎ ‎2+lg1.28‎ 三位数 ‎28‎ ‎2+lg2.56‎ 三位数 ‎29‎ ‎2+lg5.12‎ 三位数 ‎210‎ ‎3+lg1.024‎ 四位数 ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ 试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（　　）‎ A．101 B．50 C．31 D．30‎ ‎【分析】因为450＝2100，所以N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数．‎ 解：∵450＝2100，∴N＝2100，‎ 则lgN＝lg2100＝100lg2≈30.10＝30+0.10＝30+lg100.10≈30+lg1.26，‎ 由表中数据规律可知，N的位数是31位数，‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．已知向量a‎→‎‎=(1，-2)‎，b‎→‎‎=(-3，m)‎，其中m∈R．若a‎→‎‎，‎b‎→‎共线，则m等于　6　．‎ ‎【分析】因为a‎→‎‎，‎b‎→‎共线，即a‎→‎‎∥‎b‎→‎，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可．‎ 解：若a‎→‎‎，‎b‎→‎共线，即a‎→‎‎∥‎b‎→‎，‎ ‎∵a‎→‎‎=(1，-2)‎，b‎→‎‎=(-3，m)‎，‎ ‎∴1×m＝﹣2×（﹣3），‎ ‎∴m＝6．‎ 故答案为：6．‎ ‎12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+‎3‎y+1=0‎的距离为　1　．‎ ‎【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果．‎ 解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），‎ 所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+‎3‎y+1=0‎的距离d‎=‎|1+1|‎‎1‎‎2‎‎+(‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎1，‎ 故答案为：1．‎ ‎13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于　‎16‎‎3‎‎3‎　．‎ ‎【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．‎ 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．‎ 如图所示：‎ 所以：V‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×4×2‎3‎×4=‎‎16‎‎3‎‎3‎．‎ 故答案为：‎16‎‎3‎‎3‎．‎ ‎14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{an}，则a1＝　8　；an＝　15n﹣7　．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）‎ ‎【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{an}的公差为15，首项为8．利用通项公式即可得出．‎ 解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{an}的公差为15，首项为8．‎ ‎∴a1＝8，an＝8+15（n﹣1）＝15n﹣7．‎ 故答案为：8，15n﹣7．‎ ‎15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cosx，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是　①②④　．‎ ‎【分析】①由x2≥0，得x2+1≥1，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由2x＞0，得2x+1＞1，由此得出结论；④由函数f（x）＝x2+cosx的奇偶性及单调性即可得出结论．‎ 解：①∵x2≥0，‎ ‎∴x2+1≥1，‎ 故值域为[1，+∞），符合题意；‎ ‎②y＝|x+1|+|x+2|≥|（x+1）﹣（x+2）|＝1，故值域为[1，+∞），符合题意；‎ ‎③∵2x＞0，‎ ‎∴2x+1＞1，‎ 故值域为（1，+∞），不合题意；‎ ‎④函数f（x）＝x2+cosx为偶函数，且f′（x）＝2x﹣sinx，f''（x）＝2﹣cosx＞0，故f′（x）在R上单调递增，‎ 又f′（0）＝0，故当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）单调递减，‎ 又f（0）＝1，故其值域为[1，+∞），符合题意．‎ 故答案为：①②④．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．已知△ABC，满足a=‎‎7‎，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．‎ 从①A=‎π‎3‎，②cosB=‎‎21‎‎7‎这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎【分析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为‎3‎‎3‎‎2‎，由此作出判断；‎ 选②，先利用余弦定理可得c=‎‎3‎，结合已知条件可知△ABC是A 为直角的三角形，进而求得面积为‎3‎，此时S＞2不成立．‎ 解：选①，△ABC的面积S＞2成立，理由如下：‎ 当A=‎π‎3‎时，cosA=‎1‎‎2‎=‎‎4+c‎2‎-7‎‎2⋅2c，‎ 所以c2﹣2c﹣3＝0，所以c＝3，‎ 则△ABC的面积S=‎1‎‎2‎bcsinA=‎1‎‎2‎×2×3×sinπ‎3‎=‎‎3‎‎2‎‎3‎，‎ 因为‎3‎‎2‎‎3‎‎=‎27‎‎4‎＞‎4‎=2‎，‎ 所以S＞2成立．‎ 选②，△ABC的面积S＞2不成立，理由如下：‎ 当cosB=‎‎21‎‎7‎时，cosB=a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac=‎‎21‎‎7‎，‎ 即‎7+c‎2‎-4‎‎2‎7‎c‎=‎‎21‎‎7‎，整理得，c‎2‎‎-2‎3‎c+3=0‎，所以c=‎‎3‎，‎ 因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，‎ 所以△ABC是A为直角的三角形，‎ 所以△ABC的面积S=‎1‎‎2‎bc=‎1‎‎2‎×2×‎3‎=‎3‎＜2‎，‎ 所以不成立．‎ ‎17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：‎ 子女教育 继续教育 大病医疗 住房租金 赡养老人 专项 员工人数 住房贷款利息 老员工 ‎4‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎3‎ 中年员工 ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎8‎ 青年员工 ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；‎ ‎（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．‎ ‎（Ⅱ）随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．‎ 解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人，‎ 抽取的老年员工‎140×‎20‎‎400‎=7‎人，‎ 中年员工‎180×‎20‎‎400‎=9‎人，‎ 青年员工‎80×‎20‎‎400‎=4‎人．‎ ‎（Ⅱ）X的可取值为0，1，2，‎ P(X=0)=C‎3‎‎2‎C‎8‎‎2‎=‎‎3‎‎28‎‎，P(X=1)=C‎3‎‎1‎‎⋅‎C‎5‎‎1‎C‎8‎‎2‎=‎‎15‎‎28‎，P(X=0)=C‎5‎‎2‎C‎8‎‎2‎=‎‎10‎‎28‎．‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎3‎‎28‎‎ ‎ ‎15‎‎28‎‎ ‎ ‎10‎‎28‎‎ ‎ 数学期望E（X）‎=0×‎3‎‎28‎+1×‎15‎‎28‎+2×‎10‎‎28‎=‎‎5‎‎4‎．‎ ‎18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）若点F满足AF‎→‎‎=λAB‎→‎，当EF∥平面AGH时，求λ的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明；‎ ‎（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值；‎ ‎（Ⅲ） 由AF‎→‎‎=λAB‎→‎，则F(1-λ，‎3‎λ，0)‎，由n‎→‎‎⋅EF‎→‎=0‎．计算可得所求值．‎ 解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点 所以BE⊥AD，所以BE⊥AE．‎ 因为∠AEG＝90°，‎ 所以GE⊥AE．‎ 因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E 所以AE⊥平面EBHG．‎ ‎（Ⅱ） 设菱形ABCD的边长为2，‎ 由（Ⅰ）可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE．‎ 所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，‎ 建立如图空间坐标系 可得A（1，0，0），B(0，‎3‎，0)‎，G（0，0，1），H(0，‎3‎，2)‎．AG‎→‎‎=(-1，0，1)‎，‎AH‎→‎‎=(-1，‎3‎，2)‎ 设平面AGH的法向量为n‎→‎‎=(x，y，z)‎，‎ 所以n‎→‎‎⋅AG‎→‎=0‎n‎→‎‎⋅AH‎→‎=0‎，即‎-x+z=0‎‎-x+‎3‎y+2z=0‎．‎ 令x＝1，则n‎→‎‎=(1，-‎3‎‎3‎，1)‎．‎ 平面EBHG的法向量为EA‎→‎‎=(1，0，0)‎．‎ 设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900）cosθ=|cos＜n‎→‎，EA‎→‎＞=‎‎21‎‎7‎．‎ ‎（Ⅲ） 由AF‎→‎‎=λAB‎→‎，则F(1-λ，‎3‎λ，0)‎，‎ 所以EF‎→‎‎=(1-λ，‎3‎λ，0)‎．‎ 因为EF∥平面AGH，则n‎→‎‎⋅EF‎→‎=0‎．‎ 即1﹣2λ＝0．‎ 所以λ=‎‎1‎‎2‎．‎ ‎19．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a＞b＞0)‎的离心率为‎2‎‎2‎，点A（0，1）在椭圆C上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合b＝1，求出a，得到椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），求出AM，AN的方程，求出E的坐标，F的坐标，假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，得到‎|OE|‎‎|OG|‎‎=‎‎|OG|‎‎|OF|‎，求出n，即可．说明存在点G坐标为‎(0，±‎2‎)‎满足条件．‎ 解：（Ⅰ）由题意得e=ca=‎‎2‎‎2‎，‎ b＝1，‎ 又a2＝b2+c2‎ 解得a=‎2‎，c=1‎，‎ 所以椭圆方程为x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎．‎ ‎（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），‎ 则直线AM的方程为y=y‎0‎‎-1‎x‎0‎x+1‎，‎ 直线AN的方程为y=y‎0‎‎+1‎x‎0‎x+1‎，‎ 则E点坐标为‎(x‎0‎‎1-‎y‎0‎，0)‎，F点坐标为‎(‎-‎x‎0‎‎1+‎y‎0‎，0)‎．‎ 假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，‎ 即tan∠OGE＝tan∠OFG （也可以转化为斜率来求），‎ 即‎|OE|‎‎|OG|‎‎=‎‎|OG|‎‎|OF|‎ 即|OG|2＝|OE||OF|，‎ 即n‎2‎‎=x‎0‎‎2‎‎1-‎y‎0‎‎2‎=2‎ 所以n=±‎‎2‎，‎ 所以存在点G坐标为‎(0，±‎2‎)‎满足条件．‎ ‎20．已知函数f（x）＝（x﹣a）ex+x+a，设g（x）＝f'（x）．‎ ‎（Ⅰ）求g（x）的极小值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出导函数得到g（x）＝（x﹣a+1）ex+1，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣ea﹣2+1，通过a≤2时，当a＞2时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可．‎ 解：（Ⅰ）f'（x）＝（x﹣a+1）ex+1，‎ 由题意可知g（x）＝（x﹣a+1）ex+1，‎ 所以g'（x）＝（x﹣a+2）ex，‎ 当x＞a﹣2时g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；‎ 当x＜a﹣2时g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，a﹣2）上单调递减，‎ 所以g（x）在x＝a﹣2处取得极小值，为g（a﹣2）＝﹣ea﹣2+1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣ea﹣2+1‎ 当a≤2时f'（x）≥﹣ea﹣2+1＞0，‎ 所以f（x）在单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，‎ 即a≤2时f（x）＞0在（0，+∞）恒成立．‎ 当a＞2时f'（0）＝g（0）＝2﹣a＜0，‎ 又f'（a）＝g（a）＝ea+1＞0，‎ 又由于f'（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；在（0，a﹣2）上单调递减；‎ 所以在（0，a）上一定存在x0使得f'（x0）＝0，‎ 所以f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，‎ 所以f（x0）＜f（0）＝0，‎ 所以在（0，+∞）存在x0，使得f（x0）＜0，‎ 所以当a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上不恒成立 所以a的取值范围为（﹣∞，2]．‎ ‎21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足ai+1＝[ai]•（ai﹣[ai]），其中a0是任意一个非零实数．‎ ‎（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；‎ ‎（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[ai]}的最小值；‎ ‎（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，ai＝ai+2．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由a0＝﹣2.6，代入可得a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣1.2，同理可得：a2，a3．‎ ‎（Ⅱ）由a0＞0，可得[a0]≥0，a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[ai]≥0，i≥1，可得ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）≥0，因此[ai]≥0，∀i≥0．又因0≤ai﹣[ai]＜1，则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）≤[ai]，可得[ai+1]≤[ai]，∀i≥0．假设∀i≥0，都有[ai]＞0成立，可得：[ai+1]≤[ai]﹣1，∀i≥0，利用累加求和方法可得[an]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[an]≤0，得出矛盾，因此存在k∈一、选择题，[ak]＝0．从而{[ai]}的最小值为0．‎ ‎（Ⅲ）当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[ak]＝0，可得ak+1＝0，[ak+1]＝0，可得ai＝0，∀i≥k，成立．当a0＜0时，若存在k∈N，ak＝0，则ai＝0，∀i≥k，得证；若ai＜0，∀i≥0，则[ai]≤﹣1，则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）＞[ai]，可得[ai+1]≥[ai]，∀i≥0，可得数列{[ai]}单调不减．由于[ai]是负整数，因此存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[ai]＝c．所以，当i≥m时，ai+1＝c（ai﹣c），转化为ai+1‎‎-c‎2‎c-1‎=c(ai-c‎2‎c-1‎)‎，令bi‎=ai-‎c‎2‎c-1‎，即bi+1＝cbi，i≥m．经过讨论：当bm＝0时，得证．当bm≠0时，bi≠0，i≥m，bi‎=ci-mbm，i≥m，当i≥m时，[ai]＝c，则ai∈[c，c+1），则{bi}有界，进而证明结论．‎ 解：（Ⅰ）∵a0＝﹣2.6，‎ ‎∴a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣3×（﹣2.6+3）＝﹣1.2，‎ 同理可得：a2＝﹣1.6、a3＝﹣0.8．………………‎ ‎（Ⅱ）因a0＞0，则[a0]≥0，‎ 所以a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，‎ 设[ai]≥0，i≥1，则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）≥0，‎ 所以[ai]≥0，∀i≥0．‎ 又因0≤ai﹣[ai]＜1，‎ 则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）≤[ai]，则[ai+1]≤[ai]，∀i≥0．………………‎ 假设∀i≥0，都有[ai]＞0成立，‎ 则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）＜[ai]，‎ 则[ai+1]＜[ai]，∀i≥0，即[ai+1]≤[ai]﹣1，∀i≥0，………………‎ 则[an]≤[a0]﹣n，∀n≥1，‎ 则当n≥[a0]时，[an]≤0，‎ 这与假设矛盾，所以[ai]＞0，∀i≥0不成立，………………‎ 即存在k∈N，[ak]＝0．‎ 从而{[ai]}的最小值为0．………………‎ ‎（Ⅲ）证明：当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[ak]＝0，‎ 所以ak+1＝0，所以[ak+1]＝0，‎ 所以ai＝0，∀i≥k，成立．………………‎ 当a0＜0时，若存在k∈N，ak＝0，则ai＝0，∀i≥k，得证；………………‎ 若ai＜0，∀i≥0，则[ai]≤﹣1，‎ 则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）＞[ai]，‎ 则[ai+1]≥[ai]，∀i≥0，‎ 所以数列{[ai]}单调不减．‎ 由于[ai]是负整数，‎ 所以存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[ai]＝c．‎ 所以，当i≥m时，ai+1＝c（ai﹣c），‎ 则ai+1‎‎-c‎2‎c-1‎=c(ai-c‎2‎c-1‎)‎，令bi‎=ai-‎c‎2‎c-1‎，‎ 即bi+1＝cbi，i≥m．‎ 当bm＝0时，则bi＝0，i≥m，则ai‎=c‎2‎c-1‎，i≥m，得证．………………‎ 当bm≠0时，bi≠0，i≥m，bi‎=ci-mbm，i≥m，‎ 因当i≥m时，[ai]＝c，则ai∈[c，c+1），则{bi}有界，‎ 所以|c|≤1，所以负整数c＝﹣1．………………‎ ‎∴ai‎=-‎1‎‎2‎+(-1‎)‎i-mbm=-‎1‎‎2‎+(-1‎)‎i-m(am+‎1‎‎2‎)(i≥m)‎，‎ 则ai‎=am‎，i=m，m+2，m+4，⋯‎‎-1-am，i=m+1，m+3，⋯‎⋯⋯⋯⋯⋯⋯‎ 令k＝m，满足当i≥k时，ai＝ai+2．‎ 综上，存在非负整数k，使得当i≥k时，ai＝ai+2．………………‎ ‎ ‎