2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第7讲对数式与对数函数课件 41页

第 7 讲　对数式与对数函数 课标要求 考情风向标 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用 . 2. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 . 3. 知道指数函数 y ＝ a x 与对数函数 y ＝ log a x 互为反函数 ( a ＞ 0, a ≠ 1) 本节复习，利用对数函数的图象掌握对数函数的性质，侧重把握对数函数与其他知识交汇问题的解决方法 . 重点解决： (1) 对数式化简与求值； (2) 对数函数的图象与性质及其应用 . 复习时也应注意分类讨论、数形结合、函数与方程思想的应用 . 要特别关注比较大小的方法与技巧 对数的 概念 如果 a x ＝ N ( a ＞ 0 ，且 a ≠ 1) ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝ log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数 对数 恒等式 1. 对数的概念 ( 续表 ) 对数函数 y ＝ log a x ( a >1) y ＝ log a x (0< a <1) 图象 定义域 (0 ，＋ ∞ ) ____________ 值域 R ____________ 2. 对数函数的图象及性质 (0 ，＋ ∞ ) R 对数函数 y ＝ log a x ( a >1) y ＝ log a x (0< a <1) 单调性 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递增 在 (0 ，＋∞ ) 上 __ _ ______ 定点 过定点 (1,0) 过定点 (1,0) 性质 当 x ∈(0,1) 时， y ＜ 0 ； 当 x ∈(1 ，＋∞ ) 时， y ＞ 0 当 x ∈(0,1) 时， y ＞ 0 ； 当 x ∈(1 ，＋∞ ) 时， __ _ __ ( 续表 ) 单调递减 y ＜ 0 y ＝ x 3. 指数函数 y ＝ a x 与对数函数 y ＝ log a x 互为反函数，它们的 图象关于直线________对称. 1.lg 0.01 ＋ log 2 16 ＝ _____. 2. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y ＝ 10 lg x 的定义 ) 域和值域相同的是 ( A. y ＝ x B. y ＝ lg x 2 D 答案： A D 4. 设 a ＝ log 3 6 ， b ＝ log 5 10 ， c ＝ log 7 14 ，则 ( 　　 ) A. c > b > a B. b > c > a C. a > c > b D. a > b > c 解析： a ＝ log 3 6 ＝ log 3 (2 × 3) ＝ log 3 2 ＋ 1 ； b ＝ log 5 10 ＝ log 5 (2 × 5) ＝ log 5 2 ＋ 1 ； c ＝ log 7 14 ＝ log 7 (2 × 7) ＝ log 7 2 ＋ 1. ∵ 1log 5 2>log 7 2. ∴ a > b > c . 故选 D. 考点 1 对数式的运算 考向 1 对数运算法则的应用 故选 A. 答案： A (2) 已知 b ＞ 0 ， log 5 b ＝ a ， lg b ＝ c, 5 d ＝ 10 ，则下列等式一定 ) 成立的是 ( A. d ＝ ac C. c ＝ ad B. a ＝ cd D. d ＝ a ＋ c 答案： B 考向 2 对数恒等式的应用 例 2 ： (1) 若 a ＝ log 4 3 ，则 2 a ＋ 2 － a ＝ ________. 答案： A 答案： 4 2 考向 3 换底公式的应用 例 3 ： (1) (2017 年新课标Ⅰ ) 设 x ， y ， z 为正数，且 2 x ＝ 3 y ＝ 5 z ，则 ( 　　 ) A.2 x <3 y <5 z C.3 y <5 z <2 x B.5 z <2 x <3 y D.3 y <2 x <5 z 答案： D A.1 C. － 1 B.2 D. － 2 答案： B (3) (2018 年新课标 Ⅲ) 设 a ＝ log 0.2 0.3 ， b ＝ log 2 0.3 ，则 ( 　　 ) A. a ＋ b < ab <0 B. ab < a ＋ b <0 C. a ＋ b <0< ab D. ab <0< a ＋ b 答案： B 考点 2 对数函数的图象 例 4 ： (1) 已知 log a 2 ＜ log b 2 ，则不可能成立的是 ( 　　 ) A. a > b >1 B. b >1> a >0 C.0< b < a <1 D. b > a >1 解析： 令 y 1 ＝ log a x ， y 2 ＝ log b x ，由于 log a 2 ＜ log b 2 ，它们的 函数图象可能有如下三种情况.由图 2-7-1(1)(2)(3)，分别得 0＜ a ＜1＜ b ， a ＞ b ＞1,0＜ b ＜ a ＜1. 图 2-7-1 答案： D (2) 若点 ( a ， b ) 在 y ＝ lg x 图象上， a ≠1 ，则下列点也在此图 象上的是 ( ) 解析： 由题意 b ＝ lg a, 2 b ＝ 2lg a ＝ lg a 2 ，即 ( a 2 ,2 b ) 也在函数 y ＝lg x 图象上. 答案： D 【规律方法】 本例 (1) 中两个对数的真数相同，底数不同， 利用单调性相同的对数函数图象在直线 x ＝ 1 右侧 “底大图 低” 的特点比较大小 . 注意 log a 2 ＜ log b 2 ，要考虑两个对数的底 数分别在 1 的两侧、同在 1 的右侧及同在 0 和 1 之间三种情况 . 【 跟踪训练 】 1. 函数 f ( x ) ＝ |log 2 x | 的图象是 ( 　　 ) A A B C D 2.(2017 年青海西宁期末 ) 函数 f ( x ) ＝ log a ( x ＋ 2) ＋ 3( a >0 ，且 a ≠1) 的图象恒过定点 __________. ( － 1,3) 解析： 当 x ＋2＝1 时， x ＝－1， f (－1)＝log a (－1＋2)＋3＝3， ∴函数 f ( x )＝log a ( x ＋2)＋3 的图象恒过定点(－1,3). 考点 3 对数函数的性质及其应用 例 5 ： (1) (2017 年新课标 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ ln x ＋ ln(2 － x ) ， 则 ( ) A. f ( x ) 在 (0,2) 单调递增 B. f ( x ) 在 (0,2) 单调递减 C. y ＝ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称 D. y ＝ f ( x ) 的图象关于点 (1,0) 对称 答案： C (2) (2019 年新课标 Ⅰ) 已知 a ＝ log 2 0.2 ， b ＝ 2 0.2 ， c ＝ 0.2 0.3 ， 则 ( ) A. a < b < c C. c < a < b B. a < c < b D. b < c < a 解析： a ＝ log 2 0.2<0 ， b ＝ 2 0.2 >1,0< c ＝ 0.2 0.3 <1 ，∴ a < c < b . 答案： B 分类 方法 底数相同，真数不同 可构造相应的对数函数，利用其单调性比 较大小 真数相同，底数不同 可转化为同底 ( 利用换底公式 ) 或借助函数 图象，利用单调性相同的对数函数图象在 直线 x ＝ 1 右侧“底大图低”的特点比较 大小 底数、真数均不相同 经常借助中间值 “ 0” 或 “ 1” 比较大小 【 规律方法 】 比较两个对数的大小的基本方法： 【 跟踪训练 】 c 的大小关系为 ( ) A. a > b > c B. b > a > c C. c > b > a D. c > a > b D 解析： 由题意结合对数函数的性质可知： 据此可得： c > a > b . 故选 D. 4. (2019 年山东济南模拟 ) 若 f ( x ) ＝ lg( x 2 － 2 ax ＋ 1 ＋ a ) 在区间 ) ( － ∞ ， 1] 上递减，则 a 的取值范围为 ( A.[1,2) B.[1,2] C.[1 ，＋ ∞ ) D.[2 ，＋ ∞ ) 答案： A 思想与方法 ⊙ 数形结合探讨对数函数的性质 解析： 正实数 m ， n 满足 m < n ，且 f ( m )＝ f ( n )， 如图 272 ，有 0< m <1 ， n >1 ，则 m 2 < m . 图 2-7-2 答案： （ 1 ） C（ 2 ） B 【 跟踪训练 】 解析： 作出 y ＝ |log a x |(0< a <1) 的大致图象如图 D7. 图 D7 1. 研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的 图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到 . 特别地，要注意底 数 a ＞ 1 和 0 ＜ a ＜ 1 两种不同的情况 . 有些复杂的问题，借助于 函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要 体现 . 2. 比较两个对数的大小的基本方法 . (1) 若底数相同，真数不同，可构造相应的对数函数，利用 其单调性比较大小 . (2) 若真数相同，底数不同，则可借助函数图象，利用图象 在直线 x ＝ 1 右侧“底大图低”的特点比较大小 . (3) 若底数、真数均不相同，则经常借助中间值“ 0” 或“ 1” 比较大小 . 3. 多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与 直线 y ＝ 1 交点的横坐标进行判定 . 4.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研 究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.如在运算性质 log a M n ＝ n log a M 中，要特别注意条件 M ＞ 0 ，在无 M ＞ 0 的条件 下应为 log a M n ＝ n log a | M |( n ∈ N * ，且 n 为偶数 ).