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  • 2021-06-15 发布

人教A版高中数学2-2-2对数函数及其性质(3)教案新人教版必修1

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2.2.2(3)对数函数及其性质(教学设计) (内容:指数函数与对数函数的关系) 教学目的: ⒈了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数; ⒉通过对互为反函数的指数函数和对数函数图象间的关系的认识,了解互为反函数的两个函数图象间的关系; ⒊通过指数函数与对数函数的比较,了解互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系. 教学重点:底数相同的指数函数与对数函数互为反函数. 教学难点:互为反函数的两个函数图象间的关系. 教学过程: 一、复习回顾,新课引入: 1、指数函数与对数函数对照表 指数函数 对数函数 一般形式 xy a ( 0a  ,且 1)a  logay x ( 0a  ,且 1)a  图象 定义域 ( , )  (0, ) 值域 (0, ) ( , )  函 数 值 变 化 情 况 当 1a  时, 1, 0, 1, 0, 1, 0. x x x a x a x a x          当 0 1a  时, 1, 0, 1, 0, 1, 0. x x x a x a x a x          当 1a  时, log 0, 1, log 0, 1, log 0, 1. a a a x x x x x x         当 0 1a  时, log 0, 1, log 0, 1, log 0, 1. a a a x x x x x x         单调性 1a  时, xy a 是增函数; 0 1a  时, xy a 是减函数 1a  时, logay x 是增函数; 0 1a  时, logay x 是减函数 图象 函数 xy a 的图象与函数 logay x 的图象关于直线 y x 对称. 从上面的表格中,我们看到对数函数与指数函数之间有非常密切的关系,今天我们就对它们之间的关系来做一番 研究. 二、师生互动,新课讲解: 例 1:在同一坐标系中,作出函数 2xy  与 2logy x 的图象,并观察两图象之间有何关系。 变式训练 1:在同一坐标系中,作出函数 1( )2 xy  与 1 2 logy x 的图象,并观察两图象之间有何关系。 2、反函数: 问 1:在指数函数 2xy  中,x 为自变量,y 是因变量.如果把 y 当成自变量,x 当成因变量,那么 x 是 y 的函数吗? 答 1:由指数式 2xy  可得对数式 2logx y .这样,对于任意一个 (0, )y   ,通过式子 2logx y ,x 在 R 中 都 有唯一的值和它对应.也就是说,可以把 y 作为自变量,x 作为 y 的函数. 问 2:你可以用几何方法来得到上面的结论吗? 答 2:指数函数 2xy  中,x 为自变量 ( )x R ,y 是 x 的函数 ( (0, ))y   ,并且它是 ( , )  上的单调递增函数.我们过 y 轴正半轴上任一点,作 x 轴的平行线,与 2xy  的 图象有且只有一个交点.这也说明,对于任意一个 (0, )y   ,x 在 R 中都有唯一的值和 它对应.也就是说,可以把 y 作为自变量,x 作为 y 的函数. 问 3:这时我们称函数 2logx y ( )y R 是函数 2xy  ( )x R 的反函数. 请同学们考虑,在函数 2logx y 中,自变量、函数各是什么呢?这合乎我们的习惯吗? 答 3:在函数 2logx y 中,y 是自变量,x 是函数.而习惯上,我们通常用 x 表示自变量,y 表示函数. 问 4:为了和我们的习惯一致,我们常常对调函数在函数 2logx y 中的字母 x,y,把它写成 2logy x .于是,对数 函数 2logy x ( (0, ))x  是指数函数 2xy  ( )x R 的反函数. 请同学们仿照上面的过程,说明对数函数 logay x ( 0a  ,且 1)a  和指数函数 xy a ( 0a  ,且 1)a  之间 的关系. 答 4:(探究、讨论得出结论)对数函数 logay x ( 0a  ,且 1)a  和指数函数 xy a ( 0a  ,且 1)a  互为反函数. 问 5:对于具体的指数函数 xy a ( 0a  ,且 1)a  ,我们可以怎样得到它的反函数呢? 答 5:对于具体的指数函数 xy a ( 0a  ,且 1)a  ,我们可以先把它化为对数形式 2logx y ,然后再对调其中的字 母 x,y,就得到了它的反函数 logay x ( 0a  ,且 1)a  . 问 6:请同学们观察一下对数函数 logay x ( 0a  ,且 1)a  和指数函数 xy a ( 0a  ,且 1)a  的定义域和值域, 你能得出什么结论? 答 6:指数函数 xy a ( 0a  ,且 1)a  的定义域和值域分别是对数函数 logay x ( 0a  ,且 1)a  的值域和定义域. 问 7:请同学们观察对数函数 2logy x ( (0, ))x  是指数函数 2xy  ( )x R 的图象,它们有什么关系呢? 答7:(观察得)对数函数 2logy x ( (0, ))x  是指数函数 2xy  ( )x R 的图象关于直线 y x 对称. 小结:对数函数 logay x ( 0a  ,且 1)a  和指数函数 xy a ( 0a  ,且 1)a  的图象关于直线 y x 对称.两函数 互为反函数。 例 2:求下列函数的反函数: (1)y=3x ;(2)y=lnx ;(3)y= 1 x ;(4) y x 小结:求函数的反函数的步骤: (1)求定义;(2)反解;(3)互换 性质:反函数的定义域就是原函数的值域。 变式训练 2:求下列函数的反函数: (1) y=x+1;(2)y= xe ;(3)y= 2log ( 1)x  例 3:作出下列函数的图象: (1)y=|lgx| ;(2)y=lg|x| 变式训练 3:作出下列函数的图象: (1)y=| 1 2 log x |;(2)y=ln|x|;(3)y= | |2 x 例 4:解下列不等式: (1) 1 2 log (2 1) 0x   ;(2) 1 2 log (2 1) 0x   ;(3) 1 2 log (2 1) 0x   ;(4) 2 2log ( ) 1x x  (5) 2 2log ( ) 1x x  变式训练:解下列不等式: (1) 2 2log ( 2 ) 3x x  ;(2) 2 2log ( 4 ) 5x x  ;(3) 2 1 3 log ( 2 ) 1x x   三、课堂小结,巩固反思: 1、指数函数与对数函数互为反函数。 2、互为反函数的两图象关于 y=x 对称。 3、用“同底化”法解指对数不等式。 4、重视分类讨论的数学思想。 四、布置作业: A 组: 1、在同一坐标系中,作出函数 y=lgx 与 10xy  的图象,并分别写出它们的定义域,值域,单调递增区间。 2、求下列函数的反函数 (1)y=2x+3;(2)y=ln(x+1);(3)y=10x-1 3、解下列不等式: (1) 2lg( 3 ) 1x x  ;(2) 2 1 3 log ( 8 ) 2x x   ;(3) 1 2 1log ( 1) 1x    ; 4、判断下列函数的奇偶性 (1) 3 1log 1 xy x   ;(2)y=loga|x|;(3)y=2|x| B 组: 1、(tb0218719)若 a>0 且 a  1,且 loga 4 3 <1,则实数 a 的取值范围是(D)。 (A)0 4 3 或 01 2、函数 ))(1(log 2 2 Rxxxy  的奇偶性为[ ] A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇且偶函数