天津市和平区2020届高三高考一模数学试题 Word版含解析 20页

‎2020年天津市和平区高考数学一模试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设全集，，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用补集运算求出，即可根据并集运算求出．‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 故．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基础题．‎ ‎2.“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特殊角的正切函数值，可知，根据充分必要条件的判断，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可知，‎ ‎，所以“”是“”的充分必要条件.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和充分必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎3.已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得的值.‎ ‎【详解】函数递增，‎ 且，，‎ 所以函数存在唯一的零点，‎ 故，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．‎ ‎【详解】∵双曲线（a＞0，b＞0），‎ ‎∴双曲线的渐近线方程是y＝±x 又抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x，‎ 故A，B两点的纵坐标分别是y＝±，‎ 又由双曲线的离心率为2，所以2，则，‎ A，B两点的纵坐标分别是y＝±，即=,‎ 又△AOB的面积为，且轴，‎ ‎∴，得p＝2．‎ 抛物线的焦点坐标为：（1，0）‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨．‎ ‎5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.选B.‎ ‎6.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）‎ A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将化简为，再逐个选项判断即可．‎ ‎【详解】‎ A选项，因为，则的最小正周期，结论错误；‎ B选项，当时，，则在区间上是减函数，结论正确；‎ C选项，因为，则的图象不关于直线对称，结论错误；‎ D选项，设，则，结论错误．‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.‎ ‎7.函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数，都有，记，，，则大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，则函数单调递减，且，，，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.‎ ‎【详解】构造函数，则函数单调递减，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性及其应用，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（ ）‎ A. 378 B. 306 C. 268 D. 198‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可.‎ ‎【详解】解：分两种情况讨论.‎ ‎①若选两个国内媒体一个国外媒体,‎ 有种不同提问方式；‎ ‎②若选两个外国媒体一个国内媒体,‎ 有种不同提问方式.‎ 所以共有种提问方式.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查组合数公式的运用,排列与组合问题要区分开题目要求元素的顺序,则是排列问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.‎ ‎9.已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）‎ A. -1 B. -2 C. -3 D. -4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，‎ 由于圆的半径为，是圆的一条直径，‎ 所以，，又，‎ 所以 ‎ ，‎ 所以，当时，，故的最小值为，故选C．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．‎ ‎10.已知为实数，为虚数单位，若复数为纯虚数，则__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用纯虚数的定义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案.‎ ‎【详解】解：为纯虚数，且，解得 ‎，所以 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎11.若的展开式中的系数为，则实数__．‎ ‎【答案】﹣2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出展开式通项公式，令的指数为4，求得的项数，得其系数，由系数为－448可得．‎ ‎【详解】由题意展开式通项公式为，令，，‎ ‎∴系数为，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式通项公式．‎ ‎12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，在此平面图形中求得半球的半径后可得体积，‎ ‎【详解】过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，矩形是正方体对角面，是中点，设正方体棱长为，则，，‎ 由图知球半径为，半球体积为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查求半球的体积，解题关键是过正方体对角面作半球的截面，得出正方体与半球的关系．‎ ‎13.函数的图象在处的切线被圆截得弦长为，则实数的值为________.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知切线的斜率，又，所以切点坐标为，函数的图象在处的切线方程为.圆心到切线的距离，则，求出实数的值.‎ ‎【详解】因为，所以 代入切点横坐标，可知切线的斜率.‎ 又，所以切点坐标为，所以函数图象 在处的切线方程为.‎ 又因为圆，圆心坐标为，半径为，‎ 所以圆心到切线的距离.‎ 因为切线被圆截得弦长为，‎ 则，‎ 解得实数的值是或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，及导数的几何意义，属于中档题.‎ ‎14.若,,且,则此时__,的最小值为__．‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由对数运算和换底公式,求得的关系为即可.‎ ‎(2)根据化简,再利用基本不等式求最小值即可.‎ ‎【详解】(1)因为,,,‎ 所以,所以.‎ ‎(2)因为,故 当且仅当,,即时取等号.‎ 所以最小值为 故答案为：2；‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用,根据“1”的代换联系基本不等式求最值,综合性强,属于中档题．‎ ‎15.已知函数，则__；若方程在区间，有三个不等实根，则实数的取值范围为__．‎ ‎【答案】 (1). 81 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解. ‎ ‎（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数的取值范围.‎ 详解】（1）由，‎ 则，‎ 答案：81‎ ‎（2）作出函数在区间上的图象，如图所示， ‎ 设，由图象可知要使方程在区间有个不等实根，‎ 则直线应位于与之间或直线的位置，‎ 所以实数a的取值范围为或.‎ 所以，或 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16.在中，内角、、的对边分别为，，，‎ ‎．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，．求：‎ ‎（ⅰ）边长；‎ ‎（ⅱ）的值．‎ ‎【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ii）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得角的大小.‎ ‎（2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边；‎ ‎（ⅱ）由两角差的正弦公式求得的值.‎ ‎【详解】解：（1）由已知及正弦定理得 ‎，，‎ ‎， ‎ ‎（2）（ⅰ）因为，，‎ 由余弦定理得，‎ ‎（ⅱ）由，因为为锐角，所以 ‎，，‎ ‎【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.‎ ‎17.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 证明平面，以 为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，（Ⅰ）为平面的一个法向量，证明平面，只需证明;（Ⅱ）求出平面的一个法向量、平面一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：四边形为直角梯形，四边形为矩形，‎ ‎，，‎ 又平面平面，且平面平面，‎ 平面．‎ 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,得以下点的坐标：‎ ‎，，，，， ‎ 则，．‎ ‎，，‎ 为平面的一个法向量．‎ 又．平面．‎ 平面．‎ ‎（Ⅱ）设平面的一个法向量为，‎ 则，， ‎ 得 ‎ 平面，平面一个法向量为，‎ 设平面与平面所成锐二面角的大小为，‎ 则 因此，平面与平面所成锐二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面一个法向量为 得 ‎，‎ 设直线与平面所成角为，则 因此，直线与平面所成角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面垂直，二面角及空间坐标系等基础知识与基本技能，考查用向量方法解决数学问题的能力.意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 ‎18.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别是、，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上不在轴上的一个动点，过点作的平行线交椭圆与、两个不同的点，记，，令，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由圆心到切线的距离求出，再由离心率可求得，从而得椭圆方程；‎ ‎（2）设，，，，由平行线的等积转化，得，因此设直线方程为，代入椭圆方程整理后用韦达定理得，代入后利用基本不等式可得最大值．‎ ‎【详解】解：（1）由题意可知：椭圆焦点在轴上，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，‎ 所以，‎ 又椭圆的离心率，解得：，‎ 椭圆的方程为：；‎ ‎（2）由（1）可知：椭圆的右焦点，，设，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设直线，‎ ‎，整理得：，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由，‎ ‎，‎ 当且仅当时，即时，取等号，‎ 的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题中设交点坐标，设直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理，求弦长、求面积等．这是直线与椭圆相交问题中的常用方法．‎ ‎19.数列是等比数列，公比大于0，前项和，是等差数列，已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式，；‎ ‎（Ⅱ）设的前项和为 ‎（ⅰ）求；‎ ‎（ⅱ）若，记，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）（i）；（ii），．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由等比数列的定义求得公比，得通项公式，再由等差数列的定义求得和，得；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列前项和公式求得，由分组求和法求得，（ⅱ）求得后，用裂项相消法求得，结合函数性质可得取值范围．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设数列的公比为，因为，，可得，整理得，‎ 解得（舍或 ，所以数列通项公式为．‎ 设数列的公差为，因为，，即，解得，‎ ‎，‎ 所以数列的通项公式为；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前项和公式可得，‎ 所以；‎ ‎（ⅱ）由（ⅰ）可得，‎ 所以的前项和．‎ 又在上是递增的，．‎ 所以的取值范围为，．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前项和公式，考查分组求和法与裂项相消法，解题过程只要按照题意计算即可，考查了学生的运算求解能力．‎ ‎20.已知函数,,,且 ‎(1)若函数在处取得极值,试求函数的解析式及单调区间；‎ ‎(2)设,为的导函数,若存在,使成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)函数的解析式为,定义域为；‎ 单调增区间为,和,,单调减区间为和；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导后根据在处取得极值可得,再求解即可得,求导分析导函数的零点以及正负区间,进而得到原函数单调区间即可.‎ ‎(2)根据题意可得存在为的根,再化简可得,再求导分析的值域,进而求得的取值范围即可.‎ ‎【详解】解；(1)由题意,‎ ‎,‎ 由函数在处取得极值,得,即,解得,‎ 则函数的解析式为,定义域为,‎ ‎,‎ 又对恒成立,‎ 令则有,解得,且,即或；‎ 同理令可解得或；‎ 综上,函数的单调增区间为,和,,单调减区间为和.‎ ‎(2)由题意,‎ 则 ‎,‎ 由条件存在,使成立得,对成立,‎ 又 对成立,‎ 化简得,令,则问题转化为求在区间上的值域,‎ 求导得 令,为二次函数,图象开口向上,△,则,又,‎ 则,在区间上单调递增,值域为,‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据极值点求参数值的问题,同时也考查了利用导数分析函数的单调性与值域的问题,需要根据题意将所求的问题转换为函数的单调性与值域等.属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎