2014届高三理科数学一轮复习试题选编22：双曲线（教师版） 6页

‎2014届高三理科数学一轮复习试题选编22：双曲线 一、选择题 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为，则此双曲线的方程是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 解：由双曲线的焦点可知，线段PF1的中点坐标为，所以设右焦点为，则有，且，点P在双曲线右支上。所以，所以，所以，所以双曲线的方程为，选B．‎ ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 B．‎ ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若双曲线的渐近线与抛物线有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A．‎ ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在上,∠=,则到轴的距离为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B【解析】由双曲线的方程可知,在中,根据余弦定理可得,即,所以,所以,所以的面积为,又的面积也等于,所以高,即点P到轴的距离为,选 B． ‎ ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D【解析】依题意|PF2|=|F‎1F2|,可知三角形是一个等腰三角形,F2在直线PF1的投影是其中点,由勾股定理知可知,根据双曲定义可知4b﹣‎2c=‎2a,整理得c=2b﹣a,代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0,求得= ‎ ‎∴双曲线渐进线方程为,即.故选 D． ‎ ．（2013届北京大兴区一模理科）双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为 （　　）‎ A．4 B．‎8 ‎C．16 D．32 ‎ ‎【答案】D 解：双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，所以，即。所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设, 过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,选 D．‎ ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形，所以，所以点，代入双曲线方程，当时，，得，所以由，的，即，所以，解得离心率，选 D． ‎ ．（2013北京高考数学（理））若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 （　　）‎ A．y=±2x B．y= C． D．‎ ‎【答案】B于由离心率为,可知,所以我们有,渐近线方程为 ‎ 二、填空题 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）若双曲线C: 的离心率为,则抛物线的焦点到C的渐近线距离是______.‎ ‎【答案】 ; ‎ ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）圆与双曲线的渐近线相切，则的值是 _______. ‎ ‎【答案】‎ 解：双曲线的渐近线为，不妨取，若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离，即，所以。‎ ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.‎ ‎【答案】‎ 解：双曲线的渐近线为，不妨取，即。双曲线的右焦点为 ‎，圆心到直线的距离为，即圆的半径为4，所以所求圆的标准方程为。‎ ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）A y B O x 如图，和分别是双曲线 ‎ 的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与 ‎ 该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双 曲线的离心率为 . ‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）抛物线的准线与双曲线的两渐近线围成的三角形的面积为 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】抛物线的准线为,双曲线的两渐近线为和,令,分别解得,所以三角形的低为,高为3,所以三角形的面积为. ‎ ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）双曲线的一条渐近线方程为,则_________.‎ ‎【答案】; ‎ ．（2010年高考（北京理））已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为__________｡‎ ‎【答案】(,0) , ;解:椭圆的焦点坐标是(±4,0),所以双曲线的焦点也是(±4,0),在双曲线中,c=4,又离心率为2,所以a=2,b=2,所以渐近线方程为x±y=0. ‎ ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 .‎ ‎【答案】 ‎ ．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知定点的坐标为，点F是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】9‎ 解：由双曲线的方程可知，设右焦点为，则。，即，所以，当且仅当 三点共线时取等号，此时 ‎，所以，即的最小值为9.‎ ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆 的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为__________,渐近线方程为_______________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以为渐近线且经过点的双曲线方程为______.‎ ‎【答案】‎ 解：因为双曲线经过点，所以双曲线的焦点在轴，且，又双曲线的渐近线为，所以双曲线为等轴双曲线，即，所以双曲线的方程为。 ‎ 三、解答题 ．（2009高考(北京理)）已知双曲线的离心率为,右准线方程为 ‎(Ⅰ)求双曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交 于不同的两点,证明的大小为定值. ‎ ‎【答案】【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.‎ ‎(Ⅰ)由题意,得,解得, ‎ ‎∴,∴所求双曲线的方程为.‎ ‎(Ⅱ)点在圆上, ‎ 圆在点处的切线方程为,‎ 化简得. ‎ 由及得 ‎,‎ ‎∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,‎ ‎∴,且,‎ 设A、B两点的坐标分别为,‎ 则,‎ ‎∵,且 ‎,‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎∴ 的大小为.. ‎ ‎【解法2】(Ⅰ)同解法1.‎ ‎(Ⅱ)点在圆上,‎ 圆在点处的切线方程为,‎ 化简得.由及得 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,‎ ‎∴,设A、B两点的坐标分别为,‎ 则,‎ ‎∴,∴ 的大小为.‎ ‎∵且,∴,从而当时,方程①和方程②的判别式均大于零).‎