【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第六章　第5讲　数列的综合应用作业 6页

第5讲　数列的综合应用 ‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·开封市定位考试)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋4S2＝0，则公比q＝(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　 B．1‎ C．－2 D．2‎ 解析：选C.法一：因为a3＋4S2＝0，所以a1q2＋4a1＋4a1q＝0，因为a1≠0，所以q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2，故选C.‎ 法二：因为a3＋4S2＝0，所以a2q＋＋4a2＝0，因为a2≠0，所以q＋＋4＝0，即(q＋2)2＝0，所以q＝－2，故选C.‎ ‎2．(2020·宁夏银川一中一模)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且b7＝a7，则S13＝(　　)‎ A．26 B．52‎ C．78 D．104‎ 解析：选B.设等比数列{an}的公比为q，因为a3a11＝4a7，所以a＝4a7≠0，解得a7＝4，‎ 因为数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，‎ 所以S13＝＝13b7＝13a7＝52.故选B.‎ ‎3．(2020·吉林长春5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＞0，a6和a8是函数f(x)＝ln x＋x2－8x的极值点，则S8＝(　　)‎ A．－38 B．38‎ C．－17 D．17‎ 解析：选A.因为f(x)＝ln x＋x2－8x，所以f′(x)＝＋x－8＝＝，‎ 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝.‎ 又a6和a8是函数f(x)的极值点，且公差d＞0，‎ 所以a6＝，a8＝，所以解得 所以S8＝8a1＋×d＝－38，故选A.‎ ‎4．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)‎ A．n(2n＋3) B．n(n＋4)‎ C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)‎ 解析：选A.由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．‎ ‎5．(2020·江西南昌模拟)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N＋)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 019项的和为(　　)‎ A．672 B．673‎ C．1 346 D．2 019‎ 解析：选C.由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，‎ 故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，‎ 所以{an}是周期为3的周期数列，‎ 且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.‎ 因为2 019＝673×3，‎ 所以数列{an}的前2 019项的和为673×2＝1 346.故选C.‎ ‎6．(2019·高考北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝ ，Sn的最小值为 ．‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为即所以可得所以a5＝a1＋4d＝0，因为Sn＝na1＋d＝(n2－9n)，所以当n＝4或n＝5时，Sn取得最小值，最小值为－10.‎ 答案：0　－10‎ ‎7．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝ ．‎ 解析：由－＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故{}是公比为的等比数列，则{bn}是公比为2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32.‎ 答案：32‎ ‎8．(2020·河北石家庄4月模拟)数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则Sn＝ ．‎ 解析：由Hn＝＝2n，‎ 得a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，　①‎ 当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)2n－1，　②‎ 由①－②得2n－1an＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，即an＝n＋1(n≥2)，‎ 当n＝1时，a1＝2也满足式子an＝n＋1，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1，所以Sn＝＝.‎ 答案： ‎9．(2020·武汉市部分学校调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.‎ ‎(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若T3＝13，求Sn.‎ 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.‎ 由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①‎ 由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②‎ 联立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.‎ ‎(2)因为T3＝b1(1＋q＋q2)，‎ 所以1＋q＋q2＝13，‎ 解得q＝3或q＝－4，‎ 由a2＋b2＝3得d＝4－q，‎ 所以d＝1或d＝8.‎ 由Sn＝na1＋n(n－1)d，得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n.‎ ‎10．(2020·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求使Tn≥成立的n的最小值．‎ 解：(1)由已知有－＝1(n≥2，n∈N)，所以数列{}为等差数列，又＝＝1，所以＝n，即Sn＝n2.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.‎ 又a1＝1也满足上式，所以an＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝＝，‎ 所以Tn＝＝＝.‎ 由Tn≥得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，所以n≥5，‎ 所以n的最小值为5.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N＋)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下4个环所需的最少移动次数a4为(　　)‎ A．7 B．10‎ C．12 D．22‎ 解析：选A.因为数列{an}满足a1＝1，且an＝ 所以a2＝2a1－1＝2－1＝1，所以a3＝2a2＋2＝2×1＋2＝4，‎ 所以a4＝2a3－1＝2×4－1＝7.故选A.‎ ‎2．已知an＝3n(n∈N＋)，记数列{an}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N＋，k≥3n－6恒成立，则实数k的取值范围是 ．‎ 解析：Tn＝＝－＋，‎ 所以Tn＋＝，‎ 则原不等式可以转化为k≥＝恒成立，‎ 令f(n)＝，‎ 当n＝1时，f(n)＝－，当n＝2时，f(n)＝0，‎ 当n＝3时，f(n)＝，当n＝4时，f(n)＝，即f(n)是先增加后减少，当n＝3时，取得最大值，所以k≥.‎ 答案：k≥ ‎3．(2019·高考江苏卷节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”．‎ ‎(1)已知等比数列{an}(n∈N＋)满足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求证：数列{an}为“M－数列”；‎ ‎(2)已知数列{bn}(n∈N＋)满足：b1＝1，＝－，其中Sn为数列{bn}的前n项和．求数列{bn}的通项公式．‎ 解：(1)证明：设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.‎ 由得 解得 因此数列{an}为“M－数列”．‎ ‎(2)因为＝－，所以bn≠0.‎ 由b1＝1，S1＝b1，得＝－，则b2＝2.‎ 由＝－，得Sn＝，‎ 当n≥2时，由bn＝Sn－Sn－1，‎ 得bn＝－，‎ 整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.‎ 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．‎ 因此，数列{bn}的通项公式为bn＝n(n∈N＋)．‎ ‎4．(2020·陕西宝鸡二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1＝1，Sn＋1－1＝Sn＋an，数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，b2＝＜b1，n∈N＋.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若数列的前n项和为Wn，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Wn与的大小．‎ 解：(1)由Sn＋1－1＝Sn＋an，‎ 可得an＋1＝an＋1，又a1＝1，‎ 所以数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，‎ 可得an＝n.‎ 因为数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，b2＝＜b1，n∈N＋，‎ 所以设公比为q，可得b1＝4b1q2，所以q＝±，‎ 当q＝时，b1＝，可得b1＝＞.‎ 当q＝－时，－b1＝，得b1＝－，不满足b2＜b1，舍去，‎ 所以bn＝.‎ ‎(2)＝＝－，‎ Wn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＜1.‎ Tn＝＝1－∈，则1＜≤2，故Wn＜.‎