• 418.50 KB
  • 2021-06-15 发布

2021高考数学一轮复习第12章选修4-4第1节坐标系教学案文北师大版

  • 10页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第12章 选修4-4‎ 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 ‎1.考查形式 本章在高考中考查1道解答题,分值10分.‎ ‎2.考查内容 高考对本章内容的考查主要有以下两个方面 ‎(1)极坐标与直角坐标的互化,参数方程与普通方程的互化;‎ ‎(2)极坐标、参数方程的应用.‎ ‎3.备考策略 ‎(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ‎①极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化问题;‎ ‎②极坐标的定义及应用问题;‎ ‎③参数方程的定义及应用问题.‎ ‎(2)重视数形结合、转化与化归思想的应用.‎ 第一节 坐标系 ‎[最新考纲] 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.‎ ‎(对应学生用书第204页)‎ ‎1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系的概念 ‎(1)极坐标系 - 10 -‎ 如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点;从极点O引一条射线Ox,叫做极轴;选定一个单位长度、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.‎ ‎(2)极坐标 ‎①极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ.‎ ‎②极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.‎ ‎③极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).一般不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.‎ ‎3.极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为: ‎4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 ρ=r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0)半径为r的圆 ρ=2rcos_θ 圆心为,半径为r的圆 ρ=2rsin_θ(0≤θ<π)‎ 过极点,倾斜角为α的直线 θ=α(ρ∈R) ‎ 或θ=α+π(θ∈R)‎ 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ρcos θ=a 过点,与极轴平行的直线 ρsin_θ=a(0<θ<π)‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系. (  )‎ - 10 -‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是. ‎ ‎ (  )‎ ‎(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的. (  )‎ ‎(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线. (  )‎ ‎[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ 二、教材改编 ‎1.若点P的直角坐标为(-3,),则点P的极坐标为(  )‎ A.      B. C. D. C [因为点P(-3,)在第二象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为,所以点P的极坐标为.]‎ ‎2.若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为(  )‎ A.ρ=,0≤θ≤ B.ρ=,0≤θ≤ C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ A [∵y=1-x(0≤x≤1),‎ ‎∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ρcos θ≤1),‎ ‎∴ρ=.]‎ ‎3.在极坐标系中,A,B两点间的距离为________.‎ ‎6 [法一:(数形结合)在极坐标系中,A,B两点如图所示,|AB|=|OA|+|OB|=6.‎ 法二:∵A,B的直角坐标系为A(1,-),‎ B(-2,2),‎ ‎∴|AB|==6.]‎ - 10 -‎ ‎4.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为______.‎ x2+y2-2y=0 [由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,‎ 即x2+y2=2y.]‎ ‎(对应学生用书第205页)‎ ‎⊙考点1 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 ‎ 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下的变换方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y′=h(x′),即为所求变换之后的方程.‎ ‎ 1.求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标.‎ ‎[解] 由伸缩变换得到 代入x2-=1得-=1,化简得-=1.‎ 即曲线C′的方程为-=1,则曲线C′是双曲线,其焦点坐标为(-5,0)和(5,0).‎ ‎2.若函数y=f(x)的图像在伸缩变换φ:的作用下得到曲线的方程为y′=3sin,求函数y=f(x)的最小正周期.‎ ‎[解] 由题意,把变换公式代入曲线y′=3sin得3y=3sin,‎ 整理得y=sin,‎ 故f(x)=sin.‎ 所以函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎3.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式φ:(λ,μ>0),求λ,μ的值.‎ ‎[解] 将变换后的椭圆+=1改写为+=1,‎ 把伸缩变换公式φ:(λ,μ>0)代入上式得:‎ +=1,即x2+y2=1,与x2+y2=1‎ - 10 -‎ 比较系数得所以 ‎ 应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的点的坐标(x′,y′).‎ ‎⊙考点2 极坐标与直角坐标的互化 ‎1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.‎ ‎(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.‎ ‎2.极角的确定 由tan θ确定角θ时,应根据点P所在象限取最小正角.‎ ‎(1)当x≠0时,θ角才能由tan θ=按上述方法确定.‎ ‎(2)当x=0时,tan θ没有意义,这时可分三种情况处理:‎ 当x=0,y=0时,θ可取任何值;当x=0,y>0时,可取θ=;当x=0,y<0时,可取θ=.‎ ‎ [一题多解](2019·江苏高考)在极坐标系中,已知两点A,B,直线l的方程为ρsin=3.‎ ‎(1)求A,B两点间的距离;‎ ‎(2)求点B到直线l的距离.‎ ‎[解](1)法一:(使用余弦定理)设极点为O,在△AOB中,A,B,‎ 由余弦定理得|AB|==.‎ 法二:(化为直角坐标)点A的直角坐标为,点B的直角坐标为(0,),则 ‎|AB|==.‎ ‎(2)由ρsin=3得ρsin θ+ρcos θ=3,‎ - 10 -‎ 所以直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,‎ 又点B的直角坐标为(0,),则点B到直线l的距离d==2.‎ ‎ 把极坐标方程转化为直角坐标方程,然后利用平面解析几何的知识解决问题,这是常用的方法.‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎ 在极坐标系中,直线l的方程为ρsin=2,曲线C的方程为ρ=4cos θ,求直线l被曲线C截得的弦长.‎ ‎[解] 因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,化成直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l的极坐标方程为ρsin=2,化成直角坐标方程为y=(x-4),‎ 则直线l过A(4,0),倾斜角为,‎ 所以A为直线l与圆C的一个交点.‎ 设另一个交点为B,则∠OAB=,‎ 如图,连接OB,‎ 因为OA为直径,从而∠OBA=,‎ 所以AB=4cos=2.‎ 所以直线l被曲线C截得的弦长为2.‎ ‎ 1.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin=(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.‎ ‎[解](1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l - 10 -‎ 的直角坐标方程为x-y+1=0.‎ ‎(2)将两直角坐标方程联立得 解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),将(0,1)转化为极坐标为即为所求.‎ ‎2.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.‎ ‎(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程;‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.‎ ‎[解](1)由ρ=2知ρ2=4,‎ 所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.‎ 因为ρ2-2ρcos=2,‎ 所以ρ2-2ρ=2,‎ 所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减,‎ 得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,‎ 即ρsin=.‎ ‎⊙考点3 求曲线的极坐标方程 ‎ 求简单曲线的极坐标方程的方法 ‎(1)设点M(ρ,θ)为曲线上任意一点,由已知条件,构造出三角形,利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系.‎ ‎(2)先求出曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的变换公式,把直角坐标方程化为极坐标方程.‎ ‎ (2019·全国卷Ⅲ)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圆的圆心分别是(1,0),,(1,π),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.‎ ‎(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;‎ - 10 -‎ ‎(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标.‎ ‎[解](1)由题设可得,弧,,所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.‎ 所以M1的极坐标方程为ρ=2cos θ,M2的极坐标方程为ρ=2sin θ,M3的极坐标方程为ρ=-2cos θ.‎ ‎(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知 若0≤θ≤,则2cos θ=,解得θ=;‎ 若≤θ≤,则2sin θ=,解得θ=或θ=;‎ 若≤θ≤π,则-2cos θ=,解得θ=.‎ 综上,P的极坐标为或或或.‎ ‎ 本题易错点有二:一是第(1)问没有对圆的极坐标方程进行范围限制;二是写点P的极坐标时,当≤θ≤时,只得到θ=一个结果.‎ ‎ 在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)求圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长.‎ ‎[解](1)圆C是将圆ρ=4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos.‎ ‎(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos得ρ=2,所以圆C被直线l所截得的弦长为2.‎ ‎⊙考点4 曲线极坐标方程的应用 ‎ 利用极坐标系解决问题的技巧 ‎(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.‎ ‎(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,其比直角坐标系中求最值的运算量小.‎ - 10 -‎ ‎ (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ ‎[解](1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).‎ 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).‎ 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α· ‎=2≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ ‎ 在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性.‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎ 已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)A,B为曲线C上两点,若OA⊥OB,求+的值.‎ ‎[解](1)由ρ2=得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得到曲线C的直角坐标方程是+y2=1.‎ ‎(2)因为ρ2=,‎ 所以=+sin2θ,‎ - 10 -‎ 由OA⊥OB,设A(ρ1,α),则点B的坐标可设为,‎ 所以+=+=+sin2θ++cos2α=+1=.‎ ‎ 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ ‎[解](1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,‎ C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.‎ ‎(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.‎ 故ρ1-ρ2=,即|MN|=.‎ 由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.‎ - 10 -‎