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- 2021-06-15 发布
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第12章 选修4-4
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式
本章在高考中考查1道解答题,分值10分.
2.考查内容
高考对本章内容的考查主要有以下两个方面
(1)极坐标与直角坐标的互化,参数方程与普通方程的互化;
(2)极坐标、参数方程的应用.
3.备考策略
(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律
①极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化问题;
②极坐标的定义及应用问题;
③参数方程的定义及应用问题.
(2)重视数形结合、转化与化归思想的应用.
第一节 坐标系
[最新考纲] 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
(对应学生用书第204页)
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
- 10 -
如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点;从极点O引一条射线Ox,叫做极轴;选定一个单位长度、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标
①极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ.
②极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.
③极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).一般不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
3.极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:
4.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
ρ=r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)半径为r的圆
ρ=2rcos_θ
圆心为,半径为r的圆
ρ=2rsin_θ(0≤θ<π)
过极点,倾斜角为α的直线
θ=α(ρ∈R)
或θ=α+π(θ∈R)
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcos θ=a
过点,与极轴平行的直线
ρsin_θ=a(0<θ<π)
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系. ( )
- 10 -
(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是.
( )
(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的. ( )
(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线. ( )
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、教材改编
1.若点P的直角坐标为(-3,),则点P的极坐标为( )
A. B.
C. D.
C [因为点P(-3,)在第二象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为,所以点P的极坐标为.]
2.若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=,0≤θ≤
B.ρ=,0≤θ≤
C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
A [∵y=1-x(0≤x≤1),
∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ρcos θ≤1),
∴ρ=.]
3.在极坐标系中,A,B两点间的距离为________.
6 [法一:(数形结合)在极坐标系中,A,B两点如图所示,|AB|=|OA|+|OB|=6.
法二:∵A,B的直角坐标系为A(1,-),
B(-2,2),
∴|AB|==6.]
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4.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为______.
x2+y2-2y=0 [由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,
即x2+y2=2y.]
(对应学生用书第205页)
⊙考点1 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
伸缩变换后方程的求法
平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下的变换方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y′=h(x′),即为所求变换之后的方程.
1.求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标.
[解] 由伸缩变换得到
代入x2-=1得-=1,化简得-=1.
即曲线C′的方程为-=1,则曲线C′是双曲线,其焦点坐标为(-5,0)和(5,0).
2.若函数y=f(x)的图像在伸缩变换φ:的作用下得到曲线的方程为y′=3sin,求函数y=f(x)的最小正周期.
[解] 由题意,把变换公式代入曲线y′=3sin得3y=3sin,
整理得y=sin,
故f(x)=sin.
所以函数f(x)的最小正周期为π.
3.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式φ:(λ,μ>0),求λ,μ的值.
[解] 将变换后的椭圆+=1改写为+=1,
把伸缩变换公式φ:(λ,μ>0)代入上式得:
+=1,即x2+y2=1,与x2+y2=1
- 10 -
比较系数得所以
应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的点的坐标(x′,y′).
⊙考点2 极坐标与直角坐标的互化
1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.
(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.
2.极角的确定
由tan θ确定角θ时,应根据点P所在象限取最小正角.
(1)当x≠0时,θ角才能由tan θ=按上述方法确定.
(2)当x=0时,tan θ没有意义,这时可分三种情况处理:
当x=0,y=0时,θ可取任何值;当x=0,y>0时,可取θ=;当x=0,y<0时,可取θ=.
[一题多解](2019·江苏高考)在极坐标系中,已知两点A,B,直线l的方程为ρsin=3.
(1)求A,B两点间的距离;
(2)求点B到直线l的距离.
[解](1)法一:(使用余弦定理)设极点为O,在△AOB中,A,B,
由余弦定理得|AB|==.
法二:(化为直角坐标)点A的直角坐标为,点B的直角坐标为(0,),则
|AB|==.
(2)由ρsin=3得ρsin θ+ρcos θ=3,
- 10 -
所以直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,
又点B的直角坐标为(0,),则点B到直线l的距离d==2.
把极坐标方程转化为直角坐标方程,然后利用平面解析几何的知识解决问题,这是常用的方法.
[教师备选例题]
在极坐标系中,直线l的方程为ρsin=2,曲线C的方程为ρ=4cos θ,求直线l被曲线C截得的弦长.
[解] 因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,化成直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l的极坐标方程为ρsin=2,化成直角坐标方程为y=(x-4),
则直线l过A(4,0),倾斜角为,
所以A为直线l与圆C的一个交点.
设另一个交点为B,则∠OAB=,
如图,连接OB,
因为OA为直径,从而∠OBA=,
所以AB=4cos=2.
所以直线l被曲线C截得的弦长为2.
1.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin=(ρ≥0,0≤θ<2π).
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.
[解](1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l
- 10 -
的直角坐标方程为x-y+1=0.
(2)将两直角坐标方程联立得
解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),将(0,1)转化为极坐标为即为所求.
2.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.
(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
[解](1)由ρ=2知ρ2=4,
所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.
因为ρ2-2ρcos=2,
所以ρ2-2ρ=2,
所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,
得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.
化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,
即ρsin=.
⊙考点3 求曲线的极坐标方程
求简单曲线的极坐标方程的方法
(1)设点M(ρ,θ)为曲线上任意一点,由已知条件,构造出三角形,利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系.
(2)先求出曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的变换公式,把直角坐标方程化为极坐标方程.
(2019·全国卷Ⅲ)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圆的圆心分别是(1,0),,(1,π),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.
(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;
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(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标.
[解](1)由题设可得,弧,,所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.
所以M1的极坐标方程为ρ=2cos θ,M2的极坐标方程为ρ=2sin θ,M3的极坐标方程为ρ=-2cos θ.
(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知
若0≤θ≤,则2cos θ=,解得θ=;
若≤θ≤,则2sin θ=,解得θ=或θ=;
若≤θ≤π,则-2cos θ=,解得θ=.
综上,P的极坐标为或或或.
本题易错点有二:一是第(1)问没有对圆的极坐标方程进行范围限制;二是写点P的极坐标时,当≤θ≤时,只得到θ=一个结果.
在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)求圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长.
[解](1)圆C是将圆ρ=4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos.
(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos得ρ=2,所以圆C被直线l所截得的弦长为2.
⊙考点4 曲线极坐标方程的应用
利用极坐标系解决问题的技巧
(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,其比直角坐标系中求最值的运算量小.
- 10 -
(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
[解](1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性.
[教师备选例题]
已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)A,B为曲线C上两点,若OA⊥OB,求+的值.
[解](1)由ρ2=得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得到曲线C的直角坐标方程是+y2=1.
(2)因为ρ2=,
所以=+sin2θ,
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由OA⊥OB,设A(ρ1,α),则点B的坐标可设为,
所以+=+=+sin2θ++cos2α=+1=.
在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
[解](1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,
C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得
ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.
故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
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