高中数学第二章几个重要的不等式3_1数学归纳法学案北师大版选修4-51 4页

3.1 数学归纳法 1．了解数学归纳法，理解数学归纳法的原理和实质． 2．掌握用数学归纳法解证明题的两个步骤，并能灵活应用． 对数学归纳法的理解 (1)数学归纳法原理： 数学归纳法原理是设有一个关于________的命题，若当 n 取__________时该命题成立， 又在假设当 n 取__________时该命题成立后可以推出 n 取__________时该命题成立，则该命 题对一切自然数________都成立． (2)数学归纳法： 数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题．证明需要经过两个步骤： ①验证当 n 取______________(如 n0＝1 或 2 等)时命题正确． ②假设当__________时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当________时命题也正确．在完 成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于______________都正确． 【做一做 1】在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应检验( )． A．n＝1 时成立 B．n＝2 时成立 C．n＝3 时成立 D．n＝4 时成立 【做一做 2】已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－1 2 ＋1 3 －1 4 ＋…＋ 1 n－1 －1 n ＝ 2 1 n＋2 ＋ 1 n＋4 ＋…＋ 1 2n 时，若已假设 n＝k(k≥2，且 k 为偶数)时命题为真，则还需要 用归纳假设再证( )． A．n＝k＋1 时等式成立 B．n＝k＋2 时等式成立 C．n＝2k＋2 时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 【做一做 3】用数学归纳法证明 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 2n－1 ＜n(n∈N＋，且 n＞1)时，在证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加的项数是( )． A．2k B．2k－1 C．2k－1 D．2k＋1 答案： (1)正整数 n 第 1 个值 n0 第 k 个值 第 k＋1 个值 n≥n0 (2)第一个值 n0 n＝k n＝k＋1 从 n0 开始的所有正整数 【做一做 1】C 多边形中至少有三条边，故应先验证 n＝3 时成立． 【做一做 2】B 因为已假设 n＝k(k≥2，且 k 为偶数)时命题为真，接下来应该证明 n ＝2 k 2 ＋1 ， 即 n＝k＋2 时命题为真． 而选项中 n＝k＋1 为奇数，n＝2k＋2 和 n＝2(k＋2)均不满足递推关系， 所以只有 n＝k＋2 满足条件． 【做一做 3】A 1．用数学归纳法证明时注意事项 剖析：(1)n 的取值范围以及递推的起点；(2)观察首末两项的次数(或其他)，确定 n＝k 时命题的形式 f(k)；(3)从 f(k＋1)和 f(k)的差异，寻找由 k 到 k＋1 的递推中，左边要加(乘) 上的式子． 2．数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题 剖析：这是因为第一步首先验证了 n 取第一个值 n0 时成立，这样假设就有了存在的基 础．假设 k＝n0 成立，根据假设和合理推证，证明出 n＝k＋1 也成立．这实质上是证明了一 种循环．如验证了 n0＝1 成立，又证明了 n＝k＋1 也成立，这就一定有 n＝2 成立，n＝2 成 立，则 n＝3 也成立；n＝3 成立，则 n＝4 也成立．如此反复，以至无穷．对所有 n≥n0 的整 数就都成立了．数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的 神奇． 题型一 用数学归纳法证明恒等问题 【例 1】用数学归纳法证明：n∈N＋时， 1 1×3 ＋ 1 3×5 ＋…＋ 1 2n－1 2n＋1 ＝ n 2n＋1 ． 分析：在证明时，要严格按数学归纳法的步骤进行，并要特别注意当 n＝k＋1 时，等式 两边的式子与 n＝k 时等式两边式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项． 反思：在解本题时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的左边增加了一项，这里容易因忽略 而出错． 题型二 用数学归纳法证明整除问题 【例 2】证明：n3＋5n(n∈N＋)能被 6 整除． 分析：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，第一步应证明 n＝1 时成立， 第二步应明确目标，在假设 k2＋5k 能被 6 整除的前提下，证明(k＋1)3＋5(k＋1)也能被 6 整除． 反思：在证明归纳递推时，要注意使用归纳假设，把“证明的目标”牢记在心． 题型三 利用数学归纳法证明几何问题 【例 3】平面内有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求 证：这 n 个圆将平面分成 f(n)＝n2－n＋2(n∈N＋)个部分． 分析：因为 f(n)为 n 个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这 n 个圆相交， 就有 2n 个交点，这些交点将增加的这个圆分成 2n 段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一 分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加 2n 个，即 f(n＋1)＝f(n)＋2n．有 了上述关系，数学归纳法的第二步证明可迎刃而解． 反思：对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出 是怎样变化的，然后再去证明，也可以用“递推”的办法，比如本题，n＝k＋1 时的结果已 知道：f(k＋1)＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，用 f(k＋1)－f(k)就可得到增加的部分，然后从有限 的情况来理解如何增加的，也就好理解了． 答案： 【例 1】证明：(1)当 n＝1 时，左边＝ 1 1×3 ＝1 3 ，右边＝ 1 2×1＋1 ＝1 3 ，左边＝右边， ∴等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N＋，且 k≥1)时等式成立， 即有 1 1×3 ＋ 1 3×5 ＋…＋ 1 2k－1 2k＋1 ＝ k 2k＋1 ， 则当 n＝k＋1 时， 1 1×3 ＋ 1 3×5 ＋…＋ 1 2k－1 2k＋1 ＋ 1 2k＋1 2k＋3 ＝ k 2k＋1 ＋ 1 2k＋1 2k＋3 ＝ k 2k＋3 ＋1 2k＋1 2k＋3 ＝ 2k2＋3k＋1 2k＋1 2k＋3 ＝ k＋1 2k＋3 ＝ k＋1 2 k＋1 ＋1 ， ∴当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切 n∈N＋，等式都成立． 【例 2】证明：(1)当 n＝1 时，n3＋5n 显然能被 6 整除，命题成立． (2)假设当 n＝k(k∈N＋，且 k≥1)时，命题成立，即 k3＋5k 能被 6 整除． 则当 n＝k＋1 时，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6 ＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6． 由假设知 k3＋5k 能够被 6 整除，而 k(k＋1)是偶数，故 3k(k＋1)能够被 6 整除，从而(k3 ＋5k)＋3k(k＋1)＋6，即(k＋1)3＋5(k＋1)能够被 6 整除．因此，当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)知，命题对一切正整数成立，即 n3＋5n(n∈N＋)能被 6 整除． 【例 3】证明：(1)当 n＝1 时，一个圆将平面分成两个部分，且 f(1)＝1－1＋2＝2，所 以 n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k)＝k2－k＋2 个部分， 则 n＝k＋1 时，在 k＋1 个圆中任取一个圆 O，剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分， 而圆 O 与 k 个圆有 2k 个交点，这 2k 个交点将圆 O 分成 2k 段弧，每段弧将原平面一分为二， 故得 f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2． ∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 综合(1)(2)可知，对一切 n∈N＋命题成立． 1 用数学归纳法证明不等式 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n ＞13 24 (n≥2)的过程中，由 n＝k 递推到 n ＝k＋1 时不等式左边( )． A．增加了一项 1 2 k＋1 B．增加了两项 1 2k＋1 和 1 2k＋2 C．增加了 B 中的两项但减少了一项 1 k＋1 D．以上均不正确 2 在用数学归纳法证明不等式“1＋1 2 ＋1 4 ＋…＋ 1 2n－1＞127 64 成立”时，n 的第一个值应为 ( )． A．7 B．8 C．9 D．10 3 在数列{an}中，a1＝1 3 ，且 Sn＝n(2n－1)an，通过求 a2，a3，a4，猜想 an 的表达式为 __________． 4 证明凸 n 边形的对角线的条数 f(n)＝1 2 n(n－3)(n≥4)． 答案： 1．C n＝k 时，左边＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 k＋k ．① n＝k＋1 时，左边＝ 1 k＋1＋1 ＋ 1 k＋1＋2 ＋…＋ 1 k＋k ＋ 1 k＋1＋k ＋ 1 2 k＋1 ．② 观察比较①②两式，可发现增加的项是 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 － 1 k＋1 ，故选 C． 2．B 左边＝ 1－ 1 2 n 1－1 2 ＝2－ 1 2 n－1， 若 2－ 1 2 n－1＞127 64 成立，解得 n＞7． 3 ． 1 4n2－1 由 a1 ＝ 1 3 ， 且 Sn ＝ n(2n － 1)an ， 得 a2 ＝ 1 15 ， a3 ＝ 1 35 ， a4 ＝ 1 63 ． 由 1×3,3×5,5×7,7×9，…，可得 an＝ 1 2n－1 2n＋1 ＝ 1 4n2－1 ． 4．证明：(1)n＝4 时，f(4)＝1 2 ×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设 n＝k(k≥4，k∈N＋)时命题成立，即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝1 2 k(k－ 3)(k≥4)． 则当 n＝k＋1 时，凸(k＋1)边形是在 k 边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点 Ak＋1， 增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak，共增加的对角 线条数为(k＋1－3)＋1＝k－1， 则 f(k＋1)＝1 2 k(k－3)＋k－1＝1 2 (k2－k－2)＝1 2 (k＋1)(k－2)＝1 2 (k＋1)[(k＋1)－3]． 由(1)、(2)，可知对于 n≥4，n∈N＋命题成立．