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- 2021-06-15 发布
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模块综合测评
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
D [设a＝1，b＝－2，则有a>b，但a2bD⇒/a2>b2；设a＝－2，b＝1，显然a2>b2，但ab2D⇒/a>b.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．]
2．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
C [故原命题的否定为：∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.故选C.]
3．下列命题中，正确命题的个数是( )
①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；
②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分条件；
③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
④对命题p：∃x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.
【导学号：97792185】
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①正确；②由p∨q为真可知，p，q至少有一个是真命题即可，所以p∧q不一定是真命题；反之，p∧q是真命题，p，q均为真命题，所以p∨q一定是真命题，②不正确；③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，③不正确；④正确．]
4．过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝y或x2＝－y
B．x2＝y
C．y2＝－9x或x2＝y
D．x2＝－y或y2＝9x
D [P(1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y2＝2px(p
10
＞0)或x2＝－2py(p＞0)，代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－y.故选D.]
5．函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为( )
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)f(1) D．无法确定
C [f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，
f(1)＝－3，f(－1)＝5.
∴f(－1)>f(1)．]
6．已知双曲线的离心率e＝2，且与椭圆＋＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
C [双曲线的焦点为F(±4,0)，e＝＝2，∴a＝2，b＝＝2，∴渐近线方程为y＝±x＝±x.]
7．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a＞c＞0)，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是( )
A．2(a－c) B．2(a＋c)
C．4a D．以上答案均有可能
D [如图，本题应分三种情况讨论：
当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；
当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；
当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.]
8．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，过点P的切线的倾斜角的取值范围为( )
A．[0，π)
10
B．∪
C．∪
D．∪
B [f′(x)＝3x2－1≥－1，即切线的斜率k≥－1，所以切线的倾斜角的范围为∪.]
9．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
【导学号：97792186】
A. B. C. D.
D [由题意知即
由|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2得(2c)2＋＝，
即＝，所以e＝＝.]
10．若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1, ) B．(，＋∞)
C．(1, ] D．[，＋∞)
B [双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝x.由条件知，应有>2，
故e＝＝＝>.]
11．设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0的实数解x0，则称(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数g(x)＝x3－x2＋3x－，则g＋g＋g＋…＋g＝( )
A．2 017 B．2 018
C．2 019 D．2 020
10
B [(1)∵g(x)＝x3－x2＋3x－，
∴g′(x)＝x2－x＋3，g″(x)＝2x－1，令g″(x)＝2x－1＝0，得x＝，∵g＝×－×＋3×－＝1，∴g(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，∴g(x)＋g(1－x)＝2，
∴g＋g＋g＋…＋g＝2×1 009＝2 018.]
12．若0ln x2－ln x1
B．ex2－ex1x1ex2
D．x2ex1g(x2)，
∴x2ex1>x1ex2.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 [a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，
a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.]
14．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________.
【导学号：97792187】
3x－y＋1＝0 [y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，
所以切线方程为y－1＝3(x－0)，
10
即3x－y＋1＝0.]
15.如图1为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)＜0的解集为________________．
图1
(－∞，－)∪(0, ) [当x＜0时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数，
由图象可知x∈(－∞，－)；
当x＞0时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数，由图象可知x∈(0, )．
所以xf′(x)＜0的解集为(－∞，－)∪(0, )．]
16．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足1·2＝0，则的值为________．
2 [设椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，
则|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2.
平方相加得|PF1|2＋|PF2|2＝2a＋2a.
又∵1·2＝0，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴a＋a＝2c2，∴＋＝2，
即＋＝＝2.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设命题p：方程＋＝1表示的曲线是双曲线；命题q：∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
[解] 对于命题p，因为方程＋＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m)(m＋4)<0，解得m<－4或m>，则命题p：m<－4或m>.
对于命题q，因为∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0，即不等式3x2＋2mx＋m＋6<0在实数集R上有解，
所以Δ＝(2m)2－4×3×(m＋6)>0，
10
解得m<－3或m>6.
则命题q：m<－3或m>6.
因为命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以命题p与命题q有且只有一个为真命题．
若命题p为真命题且命题q为假命题，
即得0)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)已知对任意的x>0，ax(2－ln x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 由题意知函数的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝－＝(a>0)．
(1)由f′(x)>0解得x>，
所以函数f(x)的单调递增区间是；
由f′(x)<0解得x<，
所以函数f(x)的单调递减区间是.
所以当x＝时，函数f(x)有极小值f＝aln ＋a＝a－aln a，无极大值．
(2)设g(x)＝ax(2－ln x)＝2ax－axln x，
则函数g(x)的定义域为(0，＋∞)．
g′(x)＝2a－(ax·＋aln x)＝a－aln x.
由g′(x)＝0，解得x＝e.
由a>0可知，当x∈(0，e)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．
所以函数g(x)的最大值即g(x)的极大值g(e)＝ae.
要使不等式ax(2－ln x)≤1恒成立，只需[g(x)]max≤1，即ae≤1，
10
解得a≤.
又a>0，所以00，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；
当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数．
由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－，故a的取值范围为.
22．(本小题满分12分)
如图2，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2.
10
图2
(1)求椭圆C的方程．
(2)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.
①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；
②求直线AB的斜率的最小值．
[解] (1)设椭圆的半焦距为c.
由题意知2a＝4,2c＝2，所以a＝2，b＝＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①证明：设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)．
由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m)．
所以直线PM的斜率k＝＝，
直线QM的斜率k′＝＝－.
此时＝－3.所以为定值－3.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由①知直线PA的方程为y＝kx＋m，则直线QB的方程为y＝－3kx＋m.
联立
整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0.
由x0x1＝，可得x1＝，
所以y1＝kx1＋m＝＋m.
同理x2＝，y2＝＋m.
所以x2－x1＝－＝，
y2－y1＝＋m－－m＝，
10
所以kAB＝＝＝.
由m>0，x0>0，可知k>0，
所以6k＋≥2，等号当且仅当k＝时取得．
此时＝，即m＝，符合题意．
所以直线AB的斜率的最小值为.
10
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