高中数学（人教版a版选修2-1）配套课时作业：第二章　圆锥曲线与方程 章末总结 word版含答案 6页

章末总结 知识点一 圆锥曲线的定义和性质 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重 要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总 之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用． 例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2，F1，F2 为左、右焦点，P 为双曲线上一 点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12 3，求双曲线的标准方程． 知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离． 在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点， 二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是 一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲 线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两 个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情 况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是 一次的． 例 2 如图所示，O 为坐标原点，过点 P(2，0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝2x 于 M(x1，y1)， N(x2，y2)两点． (1)求 x1x2 与 y1y2 的值； (2)求证：OM⊥ON. 知识点三 轨迹问题 轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种： (1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求 x、y 之间的关 系式． (2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为 已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标 x、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动 点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标 x、y 之间的关系式． (3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可 直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． (4)参数法：当很难找到形成曲线的动点 P(x，y)的坐标 x，y 所满足的关系式时，借助第 三个变量 t，建立 t 和 x，t 和 y 的关系式 x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉 t 就间接 地找到了 x 和 y 所满足的方程，从而求出动点 P(x，y)所形成的曲线的普通方程． 例 3 设点 A、B 是抛物线 y2＝4px (p>0)上除原点 O 以外的两个动点，已知 OA⊥OB， OM⊥AB，垂足为 M，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点， 解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题 必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、 数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点 或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线 方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 例 4 若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 相交于 A、B 两点(A、B 不是左、右顶点)， A2 为椭圆的右顶点且 AA2⊥BA2，求证：直线 l 过定点． 知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略： (1)平面几何法 平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法 建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建 立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值． 例 5 已知 A(4,0)，B(2,2)是椭圆x2 25 ＋y2 9 ＝1 内的两定点，点 M 是椭圆上的动点，求|MA| ＋|MB|的最值． 例 6 已知 F1、F2 为椭圆 x2＋y2 2 ＝1 的上、下两个焦点，AB 是过焦点 F1 的一条动弦，求 △ABF2 面积的最大值． 章末总结 重点解读 例 1 解 如图所示，设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0)． ∵e＝c a ＝2，∴c＝2a. 由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c， 在△PF1F2 中，由余弦定理，得： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60° ＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)， 即 4c2＝c2＋|PF1||PF2|.① 又 S△PF1F2＝12 3， ∴1 2|PF1||PF2|sin 60°＝12 3， 即|PF1||PF2|＝48.② 由①②，得 c2＝16，c＝4，则 a＝2，b2＝c2－a2＝12， ∴所求的双曲线方程为x2 4 －y2 12 ＝1. 例 2 (1)解 过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为：y＝k(x－2)． 把 y＝k(x－2)代入 y2＝2x， 消去 y 得 k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0， 由于直线与抛物线交于不同两点， 故 k2≠0 且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0， x1x2＝4，x1＋x2＝4＋ 2 k2 ， ∵M、N 两点在抛物线上，∴y21·y22＝4x1·x2＝16， 而 y1·y2<0，∴y1y2＝－4. 例 3 解 设直线 OA 的方程为 y＝kx (k≠±1，因为当 k＝±1 时，直线 AB 的斜率不存 在)，则直线 OB 的方程为 y＝－x k ，进而可求 A 4p k2 ，4p k 、 B(4pk2，－4pk)． 于是直线 AB 的斜率为 kAB＝ k 1－k2 ， 从而 kOM＝k2－1 k ， ∴直线 OM 的方程为 y＝k2－1 k x，① 直线 AB 的方程为 y＋4pk＝ －k k2－1 (x－4pk2)．② 将①②相乘，得 y2＋4pky＝－x(x－4pk2)， 即 x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③ 又 k2x－ky＝x，代入③式并化简， 得(x－2p)2＋y2＝4p2. 当 k＝±1 时，易求得直线 AB 的方程为 x＝4p. 故此时点 M 的坐标为(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)上． ∴点 M 的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)， ∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为 2p 的圆，去掉坐标原点． 例 4 证明 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)， 联立 y＝kx＋m， x2 4 ＋y2 3 ＝1， 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， 则 Δ＝64m2k2－163＋4k2m2－3>0， x1＋x2＝－ 8mk 3＋4k2 ， x1x2＝4m2－3 3＋4k2 . 即 3＋4k2－m2>0， x1＋x2＝－ 8mk 3＋4k2 ， x1x2＝4m2－3 3＋4k2 . 又 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2 ＝3m2－4k2 3＋4k2 . ∵椭圆的右顶点为 A2(2,0)，AA2⊥BA2， ∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0. ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0. ∴3m2－4k2 3＋4k2 ＋4m2－3 3＋4k2 ＋ 16mk 3＋4k2 ＋4＝0. ∴7m2＋16km＋4k2＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－2k 7 ， 且均满足 3＋4k2－m2>0. 当 m1＝－2k 时，l 的方程为 y＝k(x－2)， 直线过定点(2,0)，与已知矛盾． 当 m2＝－2k 7 时，l 的方程为 y＝k x－2 7 ，直线过定点 2 7 ，0 ， ∴直线 l 过定点． 例 5 解 因为 A(4,0)是椭圆的右焦点，设 A′为椭圆的左 焦点，则 A′(－4,0)，由椭圆定义知|MA|＋|MA′|＝10. 如图所示，则|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|＋|MB|－|MA′|＝10＋|MB|－|MA′|≤10＋ |A′B|. 当点 M 在 BA′的延长线上时取等号． 所以当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时， (|MA|＋|MB|)max＝10＋|A′B|＝10＋2 10. 又如图所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|－|MA′|＋|MB| ＝10－(|MA′|－|MB|) ≥10－|A′B|， 当 M 在 A′B 的延长线上时取等号． 所以当 M 为射线 A′B 与椭圆的交点时， (|MA|＋|MB|)min＝10－|A′B|＝10－2 10. 例 6 解 由题意，|F1F2|＝2. 设直线 AB 方程为 y＝kx＋1， 代入椭圆方程 2x2＋y2＝2， 得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 则 xA＋xB＝－ 2k k2＋2 ，xA·xB＝－ 1 k2＋2 ， ∴|xA－xB|＝ 8k2＋1 k2＋2 . S△ABF2＝1 2|F1F2|·|xA－xB|＝2 2× k2＋1 k2＋2 ＝2 2× 1 k2＋1＋ 1 k2＋1 ≤2 2×1 2 ＝ 2. 当 k2＋1＝ 1 k2＋1 ，即 k＝0 时， S△ABF2 有最大面积为 2.